第1課時25.1圖形的旋轉（1）

教學內容

1.什么叫旋轉？旋轉中心？旋轉角？

2.什么叫旋轉的對應點？

教學目標

了解旋轉及其旋轉中心和旋轉角的概念，了解旋轉對應點的概念及其應用它們解決一些

實際問題.

通過復習平移、軸對稱的有關概念及性質，從生活中的數學開始，經歷觀察，產生概念,

應用概念解決一些實際問題.

重難點、關鍵

1.重點：旋轉及對應點的有關概念及其應用.

2.難點與關鍵：從活生生的數學中抽出概念.

教具、學具準備

小黑板、三角尺

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下面各題.

1.將如圖所示的四邊形ABCD平移，使點B的對應點為點D,作出平移后的圖形.

D

B

2.如圖，已知AABC和直線L,請你畫出aABC關于L的對稱圖形4A'B'C'.

3.圓是軸對稱圖形嗎？等腰三角形呢？你還能指出其它的嗎？

（口述）老師點評并總結：

（1）平移的有關概念及性質.

（2）如何畫一個圖形關于一條直線（對稱軸）的對稱圖形并口述它既有的一些性質.

（3）什么叫軸對稱圖形？

二、探索新知

我們前面己經復習平移等有關內容，生活中是否還有其它運動變化呢？回答是肯定的，

下面我們就來研究.

1.請同學們看講臺上的大時鐘，有什么在不停地轉動？旋繞什么點呢？從現在到下課

時鐘轉了多少度？分針轉了多少度？秒針轉了多少度？

（口答）老師點評：時針、分針、秒針在不停地轉動，它們都繞時針的中心.如果從

現在到下課時針轉了度，分針轉了度，秒針轉了度.

2.再看我自制的好像風車風輪的玩具，它可以不停地轉動.如何轉到新的位置？（老

師點評略）

3.第1、2兩題有什么共同特點呢？

共同特點是如果我們把時針、風車風輪當成一個圖形，那么這些圖形都可以繞著某一固

定點轉動一定的角度.

像這樣，把一個圖形繞著某一點0轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點。叫做旋轉中

心，轉動的角叫做旋轉角.

如果圖形上的點P經過旋轉變為點P',那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點.

下面我們來運用這些概念來解決一些問題.

例1.如圖，如果把鐘表的指針看做三角形OAB,它繞0點按順

時針方向旋轉得到AOEF,在這個旋轉過程中：

（1）旋轉中心是什么？旋轉角是什么？

（2）經過旋轉，點A、B分別移動到什么位置？

解：（1）旋轉中心是0,ZAOE,/BOF等都是旋轉角.

（2）經過旋轉，點A和點B分別移動到點E和點F的位置.

例2.（學生活動）如圖，四邊形ABCD、四邊形EFGH都是邊長為1的正方形.

（1）這個圖案可以看做是哪個“基本圖案”通過旋轉得到的？

（2）請畫出旋轉中心和旋轉角.

（3）指出，經過旋轉，點A、B、C、D分別移到什么位置？

（老師點評）

（1）可以看做是由正方形ABCD的基本圖案通過旋轉而得到

的.（2）畫圖略.（3）點A、點B、點C、點D移到的位置是點E、點F、點G、點H.

最后強調，這個旋轉中心是固定的，即正方形對角線的交點，但旋轉角和對應點都是

不唯一的.

三、鞏固練習

教材P4練習1、2.

四、應用拓展

例3.兩個邊長為1的正方形，如圖所示，讓一個正方形的頂點與另一個正方形中心

重合，不難知道重合部分的面積為,，現把其中一個正方形固定不動，另一個正方形繞其

4

中心旋轉，問在旋轉過程中，兩個正方形重疊部分面積是否發生變化？說明理由.

分析：設任轉一角度，如圖中的虛線部分，要說明旋轉后正方形重疊部分面積不變，

只要說明SAOEE、=SAODD、，那么只要說明△OEF'^AODD*.

解：面積不變.

理由：設任轉一角度，如圖所示.

在RtZkODD'和RtZXOEE'中

NODD'=ZOEE,=90°

ZD0D,=NE0E'=900-ZBOE

OD=OD

.?.△ODD'^△OEE,

SAODD=SAOEE'

S四邊彩OE'BD'=S正方彩OEBD=T

4

五、歸納小結（學生總結，老師點評）

本節課要掌握：

1.旋轉及其旋轉中心、旋轉角的概念.

2.旋轉的對應點及其它們的應用.

六、布置作業

《基礎訓練》同步練習

第2課時25.1圖形的旋轉⑵

教學內容

1.對應點到旋轉中心的距離相等.

2.對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.

3.旋轉前后的圖形全等及其它們的運用.

教學目標

理解對應點到旋轉中心的距離相等；理解對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉

角；理解旋轉前、后的圖形全等.掌握以上三個圖形的旋轉的基本性質的運用.

先復習旋轉及其旋轉中心、旋轉角和旋轉的對應點概念，接著用操作幾何、實驗探究圖

形的旋轉的基本性質.

重難點、關鍵

1.重點：圖形的旋轉的基本性質及其應用.

2.難點與關鍵：運用操作實驗幾何得出圖形的旋轉的三條基本性質.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）老師口問，學生口答.

1.什么叫旋轉？什么叫旋轉中心？什么叫旋轉角？

2.什么叫旋轉的對應點？

3.請獨立完成下面的題目.

如圖，0是六個正三角形的公共頂點，正六邊形ABCDEF能否看做是

某條線段繞0點旋轉若干次所形成的圖形？

（老師點評）分析：能.看做是一條邊（如線段AB）繞0點，按照

同一方法連續旋轉60°、120°、180°、240°、300°形成的.

二、探索新知

上面的解題過程中，能否得出什么結論，請回答下面的問題：

1.A、B、C、D、E、F到0點的距離是否相等？

2.對應點與旋轉中心所連線段的夾角NBOC、ZCOD,/DOE、/EOF、NF0A是否相等？

3.旋轉前、后的圖形這里指三角形△OAB、△OBC、A0CD>A0DE>A0EF>△OFA全等

嗎？

老師點評：（1）距離相等，（2）夾角相等，（3）前后圖形全等，那么這個是否有一般性？

下面請看這個實驗.

請看我手里拿著的硬紙板，我在硬紙板上挖下一個三角形的洞，再挖一個點0作為旋

轉中心，把挖好的硬紙板放在黑板上，先在黑板上描出這個挖掉的三角形圖案（△ABC）,然

后圍繞旋轉中心0轉動硬紙板，在黑板上再描出這個挖掉的三角形（4A'B'C'）,移去

硬紙板.

（分組討論）根據圖回答下面問題（一組推薦一人上臺說明）

1.線段0A與0A',0B與OB',0C與0C'有什么關系？

2.NA0N,/BOB',ZCQC有什么關系？

3.AABC與AA'B'C'形狀和大小有什么關系？

老師點評：1.OA=OAZ,OB=OB,,OC=OCZ,也就是對應點到旋

B'

轉中心相等.

2./AOA'=/BOB'=/COC',我們把這三個相等的角，即對應點與旋轉中心所連線

段的夾角稱為旋轉角.

3.Z\ABC和AA'B'C'形狀相同和大小相等,即全等.

綜合以上的實驗操作和剛才作的(3),得出

(1)對應點到旋轉中心的距離相等；

(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

(3)旋轉前、后的圖形全等.

例1.如圖，AABC繞C點旋轉后，頂點A的對應點為點D,試確定頂點B對應點的位

置，以及旋轉后的三角形.

分析：繞C點旋轉，A點的對應點是D點，那么旋轉角就是NACD,

根據對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，即NBCB'=ACD,

又由對應點到旋轉中心的距離相等，即CB=CB',就可確定B'的位置，

如圖所示.

解：(1)連結CD

(2)以CB為一邊作NBCE,使得NBCE=NACD

(3)在射線CE上截取CB'=CB

則B'即為所求的B的對應點.

(4)連結DB'

則aDB'C就是△ABC繞C點旋轉后的圖形.

例2.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且DE=L,ZXABF是

4

△ADE的旋轉圖形.

(1)旋轉中心是哪一點？

(2)旋轉了多少度？

(3)AF的長度是多少？

(4)如果連結EF,那么4AEF是怎樣的三角形？

分析：由4ABF是4ADE的旋轉圖形，可直接得出旋轉中心和旋轉角,要求AF的長度,

根據旋轉前后的對應線段相等，只要求AE的長度，由勾股定理很容易得到.aABF與4ADE

是完全重合的，所以它是直角三角形.

解：(1)旋轉中心是A點.

(2):△ABF是由4ADE旋轉而成的，B是D的對應點.../DABugO。就是旋轉角

?.?對應點到旋轉中心的距離相等且F是E的對應點

4

(4)VZEAF=90°(與旋轉角相等)且AF=AE4EAF是等腰直角三角形.

三、鞏固練習：教材P64練習1、2.

四、應用拓展

例3.如圖，K是正方形ABCD內一點，以AK為一邊作正方形AKLM,

使L、M在AK的同旁，連接BK和DM,試用旋轉的思想說明線段BK與

DM的關系.

AB

分析：要用旋轉的思想說明就是要用旋轉中心、旋轉角、對應點的知識來說明.

解：：四邊形ABCD、四邊形AKLM是正方形

，AB=AD,AK=AM,且NBAD=NKAM為旋轉角且為90°

/.△ADM是以A為旋轉中心，ZBAD為旋轉角由AABK旋轉而成的

.\BK=DM

五、歸納小結（學生總結，老師點評）

本節課應掌握：

1.對應點到旋轉中心的距離相等；

2.對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

3.旋轉前、后的圖形全等及其它們的應用.

六、布置作業

1.教材P7閱讀與思考.

2.《基礎訓練》同步練習.

第3課時23.1圖形的旋轉（3）

教學內容

選擇不同的旋轉中心或不同的旋轉角，設計出不同的美麗的圖案.

教學目標

理解選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角度，會出現不同的效果，掌握根據需要用旋轉

的知識設計出美麗的圖案.

復習圖形旋轉的基本性質，著重強調旋轉中心和旋轉角然后應用已學的知識作圖，設計

出美麗的圖案.

重難點、關鍵

1.重點：用旋轉的有關知識畫圖.

2.難點與關鍵：根據需要設計美麗圖案.

教具、學具準備

小黑板

教學過程

一、復習引入

1.（學生活動）老師口問，學生口答.

（1）各對應點到旋轉中心的距離有何關系呢？

（2）各對應點與旋轉中心所連線段的夾角與旋轉角有何關系？

（3）兩個圖形是旋轉前后的圖形，它們全等嗎？

2.請同學獨立完成下面的作圖題.

如圖，^AOB繞0點旋轉后，G點是B點的對應點，作出.G

△AOB旋轉后的三角形.B

（老師點評）分析：要作出aAOB旋轉后的三角形，應找

出三方面：第一，旋轉中心：0；第二，旋轉角：ZB0G；第三，L---------

AQ

A點旋轉后的對應點：A，.

二、探索新知

從上面的作圖題中，我們知道，作圖應滿足三要素：旋轉中心、旋轉角、對應點，而旋

轉中心、旋轉角固定下來，對應點就自然而然地固定下來.因此，下面就選擇不同的旋轉中

心、不同的旋轉角來進行研究.

1.旋轉中心不變，改變旋轉角

畫出以下圖所示的四邊形ABCD以0點為中心，旋轉角分別為30°、60°的旋轉圖形.

2.旋轉角不變，改變旋轉中心

畫出以下圖，四邊形ABCD分別為0、0為中心，旋轉角都為30°的旋轉圖形.

因此，從以上的畫圖中，我們可以得到旋轉中心不變，改變旋轉角與旋轉角不變，改變

旋轉中心會產生不同的效果，所以，我們可以經過旋轉設計出美麗的圖案.

例1.如下圖是菊花一葉和中心與圓圈，現以0為旋轉中心畫出分別旋轉45°、90°、

135°、180°、225°、270°、315°的菊花圖案.

分析：只要以0為旋轉中心、旋轉角以上面為變化，旋轉長度為菊花A

的最長0A,按菊花葉的形狀畫出即可.八

解：（1）連結0A

（2）以0點為圓心，0A長為半徑旋轉45°,得A.

（3）依此類推畫出旋轉角分別為90°、135°、180°、225°、270。、

315°的A、A、A、A、A、A.

（4）按菊花一葉圖案畫出各菊花一葉.H0

那么所畫的圖案就是繞0點旋轉后的圖形.'

例2.（學生活動）如圖，如果上面的菊花一葉，繞下面

的點0'為旋轉中心，請同學畫出圖案，它還是原來的菊花八

嗎？

老師點評：顯然，畫出后的圖案不是菊花，而是另外的一

種花了?3

三、鞏固練習u

教材P7練習.

四、應用拓展

例3.如圖，如何作出該圖案繞0點按逆時針旋轉90。的圖形.

分析：該備案是一個比較復雜的圖案，是作出幾個復合圖形

組成的圖案，因此，要先畫出圖中的關鍵點，這些關鍵點往往是

圖案里線的端點、角的頂點、圓的圓心等，然后再根據旋轉的特

征，作出這些關鍵點的對應點，最后再按原圖案作出旋轉后的圖

案.

解：（1）連結0A,過0點沿0A逆時針作/AOA'=90°,在射線OA'上截取OA'=OA；

（2）用同樣的方法分別求出B、C、D、E、F、G、II的對應點B'、C'、D'、E'、F'、

G'、H'；

（3）作出對應線段A'B'、B'C'、C'D'、D'E'、E'F'、F'A'、A'G'、G'

D，、D'H'、H;A'；

（4）所作出的圖案就是所求的圖案.

五、歸納小結（學生歸納，老師點評）

本節課應掌握：

1.選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角，設計出美麗的圖案；

2.作出幾個復合圖形組成的圖案旋轉后的圖案，要先求出圖中的關鍵點——線的端點、

角的頂點、圓的圓心等.

六、布置作業

1.教材P8To.

2.《基礎訓練》同步練習.

第4課25.2圓的對稱性（一）

教學目標

1.使學生理解圓的定義，并能從集合的觀點對圓的定義加以理解；

2.掌握點與圓的位置關系.

3.通過圓的有關性質的學習，培養學生觀察、分析和歸納問題的能力.

教學重點和難點

用點的集合定義圓的有關概念是重點；使學生理解以點的集合定義圓所應具備的兩個條件是

難點.

教學過程設計

一、創設情境，引入新課

1.在小學，我們己經學過一些圓的知識，并且知道，圓不僅在幾何學中占有極重要的地位，

而且圓在日常生活和生產實踐中有著廣泛的應用.你能舉例說明我們周圍哪些物體是圓形的

嗎？

在學生回答的基礎上，教師總結：實際生活中，圓形物體的例子很多.比如說：車輛的輪子

是圓的，各種管道的截面是圓的，就連大多數的鍋沿、碗口、盆邊也都是圓的…….（教師可

出示一些實物給學生看，激發學生學習興趣）

2.介紹本章的章頭圖——幅古代的馬車圖.（可用電腦或投影演示）

通過學習此圖，說明我國勞動人民很早對圓就有了認識，并十分準確地描述了圓的定義.至

今，人們仍然把各種車輛的輪子做成圓形的.（可放一段街道上行駛的各種車輛的錄像）

3.提問：人們為什么把車輪都做成圓形的呢？

在學生回答的基礎上，教師指出.這是因為圓具有一些特殊的性質.在這一章我們將系統研

究：什么是圓？圓有哪些性質？（板書課題）

二、描述圓的發生過程，給出圓的定義

1.如何用圓規畫出一個圓？

回憶小學學過的畫圓方法，教師在黑板上畫圓，學生在下邊畫.

2.要在操場上畫一個半徑為5米的大圓，如何畫呢？

讓學生動腦筋想辦法.如可用一根長5米的繩子，固定其一個端點，拉直繩子，繞著固定的

一端旋轉一周，就可畫出要求的圓.

3.從實踐活動中導出圓的定義.

首先，提問學生：以上兩種畫圓的過程，有何共同點？

答：都是在一個平面內，固定線段的一端，另一個端點隨著線段旋轉一周，形成一個圓.

然后，啟發學生用數學語言描述出圓的定義，最后教師歸納小結什么是圓，并板書圓的定義:

在一個平面內，線段0A繞它固定的一個端點。旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖

形叫做圓.固定的端點0叫做圓心，線段0A叫做半徑，以點0為圓心的圓，記作。0,讀作

“圓0”.

結合圓的定義，師生共同討論以下幾個問題：(先由學生回答)

(1)藍球是圓嗎？太陽是圓嗎？

指出：圓必須是“在同一個平面內”.

(2)以3厘米為半徑畫圓，能畫出幾個圓？為什么？

無數個，圓心不固定.

(3)以點0為圓心畫圓，能畫幾個圓？為什么？

無數個，半徑不定.

強調：圓心是確定圓的位置的，半徑是確定一個圓的大小的；一個圓的圓心是唯一的，半徑

長度是確定的，二者缺一不可；圓是一條封閉的曲線，即是“圓周”而不是“圓面”.

(4)在圓的定義中，為什么要強調“另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓”？不是端點

行嗎？

強調端點意在說明：圓上各點到圓心0(定點)的距離都等于線段0A的長(定長).如果不是“定

長”，就可能得到一個別的圖形.

(5)反過來，平面內所有到點0的距離等于線段OA的長的點都在圓上嗎？

都在圓上.(可舉反例說明，如圖2所示的圖形都不是圓)

通過(4)、(5)的討論，師生共同總結出：

(i)圓上各點到定點(圓心0)的距離都等于定長(半徑的長r).

(ii)到定點的距離等于定長的點都在圓上.

以上兩點體現了“純粹性”和“完備性”的思想，是圓的本質屬性.

于是可用集合的概念給出圓的定義(根據情況情況教師可補充講)：

圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

4.由于平面內的一個圓，把平面內所有的點分成三類，即圓上的點、圓內的點和圓外的點.引

導學生進一步觀察圓內各點和圓外各點的情況（圖3）,由學生類比圓的定義，用集合的思想定

義圓的內部和圓的外部：

圓的內部可以看作是到圓心的距離小于半徑的點的集合；

圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點的集合.

5.從圓、圓的內部和圓的外部的定義可以看出，圓上、圓內、圓外這三類點分類的條件是由

一個點到圓心的距離與半徑的大小關系-一相等、小于或大于而決定的，也就是說，點和圓的

位置關系與點到圓心的距離的數量關系是相互對應的，這種對應關系啟發學生自己得出：

如果圓的半徑為r,點到圓心的距離為d,則：

點在圓上Od=r；

點在圓內Od<r；

點在圓外Od>r；

三、例題分析，變式練習

例1求證：矩形的四個頂點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上.

首先引導學生搞清題目中的已知和求證，并畫出圖形.結合圖形進一步分析：

要證A,B,C,D四點在以對角線的交點0為圓心的圓上，只須證明A,B,C,D四個點與點

0的距離相等.即證OA=OB=OC=OD.由矩形對角線的性質，很容易證得.

證明：（學生口述，教師板書）

為了證明的書寫方便，可先用“因為、所以”的形式寫出證明過程，然后給同

學們介結一種新的符號“n”，讀作“推出

練習1求證：菱形各邊的中點在同一個圓上.

（先由學生回答證明思路，后由一名學生板演，要求用“=”符號）

練習2填空：（投影打出）

已知。0的半徑r=5厘米，A為線段0P的中點，當0P=6厘米時，點A在。0；當0P

=10厘米時，點A在00；當0P=14厘米時，點A在00

（學生回答，目標是使學生初步掌握點與圓的三種位置關系）

練習3設AB=3厘米，畫圖說明具有下列性質的點的集合是怎樣的圖形.

(1)和點A的距離等于2厘米的點的集合；

(2)和點B的距離等于2厘米的點的集合；

(3)和點A,B的距離都等于2厘米的點的集合；

(4)和點A,B的距離都小于2厘米的點的集合.

(此題采取邊畫圖邊解答的方式進行，師生共同完成，目標使學生初步掌握幾何圖形與點的集

合之間的對應關系.圖5)

四、課堂小結

問：這節課學習的主要內容是什么？在學習時應注意哪些問題？

在學生回答的基礎上，教師小結：

1.這節課主要學習了圓的兩種不同的定義方法以及點與圓的二種位置關系；

2.在用點的集合定義圓時，必須注意應具備兩個條件，二者缺一不可.

五、作業:略

第5課25.2圓的對稱性(二)

教學目標

1.使學生理解弦、弧、半圓、優弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧、弓形等與圓有關的概念;

2.使學生掌握和圓有關的概念之間的區別與聯系，為進一步研究圓與其它圖形的位置及數

量關系打基礎.

教學重點和難點

圓的有關概念及其應用是重點；等弧概念的理解是難點.

教學過程設計

一、從學生已有的認知結構引導學生認識圓的有關概念.

1.提問：請一位學生用點的集合敘述圓的定義，并畫出圖形。0.(教師用投影打出圖形O

0,如圖1)

2.弦和直徑.

利用上述圖形，讓學生任意連結圓上兩點，就得到一條線段.指出：連結圓上任意兩點的

線段叫做弦.如線段CD,AB,EF,DF都叫做00的弦.(如圖2)

進一步指出：圖中弦AB經過圓心0,我們把經過圓心的弦叫做直徑.最后讓學生觀察，得

出：直徑等于半徑的2倍.

3.弧.

繼續觀察圖2,發現，連結圓上任意兩個點可以得到一條弦同時，這兩個點還將

圓分成兩部分，我們把每一部分叫做圓弧，即：圓上任意兩臂的部分叫做圓弧，簡

稱弧.用符號“一”表示，如以C、D為端點的弧，記作五.

繼續引導學生觀察會進一步發現，直徑AB的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧

我們把它叫做半圓；大于半圓的弧叫做優弧，如圖中的弧而、Q等，小于半圓

的弧叫做劣弧.如圖中的歷,宣等.

強調：為了區別優弧與劣弧，優弧用三個字母表示.

4.弓形.

用投影打出圖3,告訴學生：由弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形.如圖3中的（1）、（2）

都叫做弓形.

5.同心圓.

圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.如圖4所示.（投影打出圖形）

6.等圓.

能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓.（用投影或電腦演示圓重合的

過程，圖程

7.等弧.

電腦或投影演示兩段弧重合的過程，指出：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

二、概念辨析

1.直徑是弦，弦是直徑.這句話正確嗎？（學生口答并說明理由）

教師強調：直徑是弦，但在一般情況下弦不是直徑，只有在弦經過圓心時，這弦才叫做直

徑.

2.半圓是弧嗎？弧是不是半圓？（學生口答，并說明理由）

教師強調：半圓是弧，但在一般情況下弧不是半圓，只有直徑的兩個端點分圓成的兩條弧

才是半圓.

3.長度相等的兩條弧是等弧嗎？為什么？（學生口答）

教師強調：長度相等的弧不一定是等弧，等弧必須是在同圓或等圓中的弧.（教師用兩根長

度相等的鐵絲，變成弧度不同的兩條弧加以比較，此難點很容易被突破）

三、應用舉例，鞏固概念

例1指出圖6中所有的弦和弧.（由學生口答，投影打出）

例2已知：如圖7,在。0中，AB,CD為直徑，求證：AD〃BC.

分析：要證AD〃BC,由圖可直接想到證內錯角相等.由已知條件容易證得△AODg^COB,

于是有NA=/B或NC=/D；

或者要證AD〃BC,聯想到平行四邊形的性質，于是連結AC和BD得二ADBC,所以結論

成立.

證明：（學生口述，教師板書.）

練習1如圖8,已知AB為。。的直徑，AC為弦，OD〃AC,交BC于D,AC=6厘米，求0D

的長.（學生板演）

思路：由點0為直徑AB的中點和OD〃AC的條件，聯想到“三角形的中位線”這一基本圖

形，于是只要證得D為BC的中點，就可求出0D的長.

四、師生共同小結：

1.先由教師提出以下幾個問題，由學生回答：

（1）這節課我們學習了哪些主要概念？

（2）在學習這些概念時應該注意哪些問題？

2.在學生回答的基礎上，教師強調：

本節課學習了圓的有關概念.在這些概念中，要特別注意“直徑和弦”、“弧和半圓”，

以及“同圓、等圓和同心圓”這些概念的區別和聯系.

另外還要注意，等圓和等弧的概念，是建立在“能夠完全重合”這一前提條件下的，它將作為

今后判斷兩圓或兩弧相等的依據.

五、作業：略

第6課25.2圓的對稱性（三）

教學目標：

1、使學生理解圓的軸對稱性。

2、使學生掌握垂徑定理，并能應用它解決有關弦的計算和證明問題。

3、激發學生探索和發現問題的欲望，培養學生觀察、分析、歸納的能力。

教學重點：垂徑定理及其應用。

教學難點：垂徑定理的題設和結論以及垂徑定理的證明。

教學過程：

一、復習提問

1.敘述：前面學習了圓，你會畫圓嗎？（根據學生畫圖的情況，教師進行修正和說明）

2.教師問：連結圓上任意兩點的線段叫圓的,圓上兩點間的部分叫做

在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做。

二、動手實踐，發現新知

1.（教師拿出一張圓形紙片）同學們能不能找到這個圓的圓心？動手試一試，有方法的同學請舉

手。C

2.（請一名學生到前面做演示，教師圖示并有目標地引導，提問；）犬

問題：①在找圓心的過程中，把圓紙片折疊時，兩個半圓\/\）

②回憶一下，如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分互相

重合，那么這個圖形叫做,這條直線叫做D

③問答式指出：剛才的實驗說明圓是，對稱軸是經過圓心的每一條。

板書：一.圓的軸對稱性”

說明：圓的對稱軸有無數多條，圓的對稱軸就是“直徑所在的直線”，但不能說成是圓的直徑。

三、創設情境，探索垂徑定理

1.在找圓心的過程中，折疊的兩條相交直徑可以是哪樣一些位置關系呢？（斜交，垂直）

垂直是特殊情況，你能得出哪些等量關系？（AO=BO,CO-DO,AC=BC,AD=BD）

2.若把AB向下平移到任意位置，變成非直徑的弦，觀察一下，還有與剛才相類似的結論嗎？

（AE=BE,弧AC=MBC,弧AD=MBD）

3.要求學生在圓紙片上畫出圖形，并沿CD折疊，實驗后提出猜想。

4.猜想結論是否正確，要加以理論證明引導學生寫出已知，求證。然后讓學生閱讀課本61面的

證明，并回答下列問題：

①書中證明利用了圓的什么性質？

②若只證AE=BE,還有什么方法？

5.猜想得以證明，命題是真命題，我們把真命題叫做

板書：“2.定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條弧”

指出：該定理反映了圓中垂直于弦的直徑的性質，故名“垂徑定理”

板書：“7.3垂徑定理”

6.給出定理的推理格式

CD是直徑AE=BE

弧AC=MBC

CD1AE弧AE=MBD

7.辨析題：下列各圖，能否得到AE=BE的結論？為什么？

C

DDD

8.垂徑定理還可表達為：

一條直線①過圓心③平分弦

若滿足④平分弦所對的優弧

②垂直于弦⑤平分弦所對的劣弧

強調兩個條件缺一不可。

四、定理的應用

例1、已知：在圓0中，⑴弦AB=8,0到AB的距離等于3,求圓0的半徑。

⑵若OA=10,0E=6,求弦AB的長。

小結：①輔助線：添半徑和過圓心作弦的垂線段是兩條常用的輔助線；②若圓的半徑為r,圓心

到弦的距離為d,弦長為a,則r,a,d間有什么關系？根據什么？

（由學生歸納出r2=d2+（a/2）2,因此已知r,a,d中的兩個量就可求出第三個量。）

變式訓練：

問題1：如圖1,AB是兩個以0為圓心的同心圓中大圓的直徑，AB交

小圓交于C、D兩點，求證：AC=BD

問題2：把圓中直徑AB向下平移，變成非直徑的弦AB,如圖2,是否

圖1

仍有AC=BD呢？

分析：從已知的圖形觀察，AB是大圓的弦，若有一條直徑垂直于它，

則一定平分AB且又將CD垂直平分，從而得出AC=BD,要求學生

自己寫出證明過程，并指出該題就是書中的例2,然后讓學生對照課

本的證明過程校對。

問題3：將圖2變成圖3,則有①EA=,②EC=。試證明。

分析：將圖3中的小圓隱去，等式①的證明只與大圓、中圓有關，與小

圓無關。問題轉化為與圖2情況一樣。將圖3中的中圓隱去，等式②

的證明只與大圓、小圓有關，與中圓無關。問題轉化為與圖2情況一

樣。

問題4：在圓2中連結OC,0D,將小圓隱去，得圖4,設OC=OD,求證:

AC=BD

問題5：在圖2中，連結OA、0B,將大圓隱，得圖5,設AO=BO,求證：

AC=BD

問題6：在圖5中，已知AC=BD,求證：OA=OB

指出：在圓中解有關弦的問題時，常要作一條輔助線，它是圓心到弦的

垂線段。

五、課堂小結

師生共同小結本節課所學知識點，常用輔助線方法，蘊含的數學思想。

六、作業：

課本相應的習題。

（注：此課在不借助多媒體手段的情況下，需兩課時。變式訓練的4,5,6都可進行一題多解,

教案中直角符號、半邊大括號及少數圖圓心未標記。教學時學生興趣很高，教學效果很好。）

第7課25.2圓的對稱性（四）

教學目標

1.使學生理解圓的旋轉不變性，理解圓心角、弦心距的概念;

2.使學生掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系定理及推論，并初步學會運用這些

關系解決有關問題；

3.培養學生觀察、分析、歸納的能力，向學生滲透旋轉變換的思想及由特殊到一般的認識

規律.

教學重點和難點

圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系是重點；從圓的旋轉不變性出發，推出圓心角、弧、

弦、弦心距之間的相等關系是難點.

教學過程設計

一、創設情景，引入新課

圓是軸對稱圖形.圓的這一性質，幫助我們解決了圓的許多問題.今天我們再來一起研究一

下圓還有哪些特性.

1.動態演示，發現規律

圖7-47

投影出示圖7—47,并動態顯示：平行四邊形繞對角線交點0旋轉180。后.問：

(1)結果怎樣？

學生答：和原來的平行四邊形重合.

(2)這樣的圖形叫做什么圖形？

學生答：中心對稱圖形.

投影出示圖7—48,并動態顯示：繞圓心0旋轉180。.由學生觀察后，歸納出：圓是

以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.

圖7-48

投影繼續演示如圖7-49,讓直徑AB兩個端點A,B繞圓心旋轉30°,45。，90。，讓

學生觀察發現什么結論？

B1V/901

62^

圖7-49

得出：不論繞圓心旋轉多少度，都能夠和原來的圖形重合.

進一步演示，讓圓繞著圓心旋轉任意角度a,你發現什么？

學生答：仍然與原來的圖形重合.

于是由學生歸納總結，得出圓所特有的性質：圓的旋轉不變性.即圓繞圓心旋轉任意一個角

度a,都能夠與原來的圖形重合.

2.圓心角，弦心距的概念.

我們在研究圓的旋轉不變性時，。。繞圓心0旋轉任意角度a后，出現一個角NAOB,請同

學們觀察一下，這個角有什么特點？如圖7—50.（如有條件可電腦閃動顯示圖形.）

在學生觀察的基礎上，由學生說出這個角的特點：頂點在圓心上.

在此基礎上，教師給出圓心角的定義，并板書.

頂點在圓心的角叫做圓心角.

再進一步觀察，AB是NA0B所對的弧，連結AB,弦AB既是圓心角NAOB也是AB所對的弦.請

同學們回憶，在學習垂徑定理時，常作的一條輔助線是什么？

學生答：過圓心0作弦AB的垂線.

在學生回答的基礎上，教師指出：點0到AB的垂直線段OM的長度，即圓心到弦的距離叫做

弦心距.如圖7—51.（教師板書定義）最后指出：這節課我們就來研究圓心角之間，以及它們所

對的弧、弦、弦的弦心距之間的關系.（引出課題）

二、大膽猜想，發現定理

在圖中，再畫一圓心角/A'OB',如果NA0B=NA'OB',（變化顯示兩角相等）再作出它們

所對的弦AB,A'B，和弦的弦心距0M,0M',請大家大膽猜想，其余三組量晶與密，弦AB

與A'B',弦心距0M與0M'的大小關系如何？

學生很容易猜出：息=宙，AB=A'B',OM=OMZ.

教師進一步提問：同學們剛才的發現僅僅是感性認識，猜想是否正確，必須進行證明，怎樣

證明呢？

學生最容易想到的是證全等的方法，但得不到黜，怎樣證明弧相等呢？

讓學生思考并啟發學生回憶等弧的定義是什么？

學生：在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫等弧.

請同學們想一想，你用什么方法讓和重合呢？

學生：旋轉.

下面我們就來嘗試利用旋轉變換的思想證明魂=矯.

把/AOB連同旋轉，使0A與0A'重合，電腦開始顯示旋轉過程.教師邊演示邊提問.

我們發現射線0B與射線OB'也會重合，為什么？

學生：因為/A0B=NA'OB',

所以射線0B與射線OB'重合.

要證明與重合，關鍵在于點A與點A',點B與點B'是否分別重合.這兩對點分別重合嗎？

學生：重合.

你能說明理由嗎？

學生：因為OA=OA',OB=OB',

所以點A與點A'重合，點B與點B'重合.

當兩段孤的兩個端點重合后，我們可以得到哪些量重合呢？

學生：@與函重合，弦AB與A'B'重合，0M與0M'重合.

為什么0M也與0M'重合呢？

學生：根據垂線的唯一性.

于是有結論：超，AB=A'B',OM=OMZ.

以上證明運用了圓的旋轉不變性.得到結論后，教師板書證明過程，并引導學生用簡潔的文

字敘述這個真命題.

教師板書定理.

定理：在同圓—中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.

教師引導學生補全定理內容.

投影顯示如圖，?0與00'為等圓，ZA0B=ZA"O'B',0M與O'M'分別為AB與A'B'的弦心距,

請學生回答與.AB與A'B',0M與O'M'還相等嗎？為什么？

在學生回答的基礎上，教師指出：以上三組量仍然相等，因為兩個等圓可以疊合成同圓.（投

影顯示疊合過程）

這樣通過疊合，把等圓轉化成了同圓，教師把定理補充完整.

然后，請同學們思考定理的條件和結論分別是什么？并回答：

條件結論

‘圓心角所對弧相等;

在同圓或等圓中

‘圓心角相等,圓心角所對寇相等；

圓心角所對弦的弦心距相等.

定理是在同圓或等圓這個大前提下，已知圓心角相等，得出其余三組量相等.請同學們思考,

在這個大前提下，把圓心角相等與三個結論中的任何一個交換位置，可以得到三個新命題，這

三個命題是真命題嗎？如何證明？

在學生討論的基礎上，簡單地說明證明方法.

最后，教師把這四個真命題概括起來，得到定理的推論.

請學生歸納，教師板書.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相

等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.

三、鞏固應用、變式練習

例1判斷題，下列說法正確嗎？為什么？

(1)如圖：因為NAOB=/A'OB',所以

(2)在。0和。O'中，如果弦AB=A'B',那么@=說.

分析：(1)、(2)都是不對的.在圖7—54中，因為和不在同圓或等圓中，不能用定理.對于

(2)也缺少了等圓的條件.可讓學生舉反例說明.

例2如圖，點P在。。上，點0在/EPF的角平分線上，/EPF的兩邊交。0于點A和B.求

證：PA=PB.

讓學生先思考，再敘述思路，教師板書示范.

證明：作OMJ_PA,ONXPB,垂足為M,N.

ZAPO=ZBPO1

OM1PA，=OM=ON=PA=PB.

ON1PB

J

把P點當做運動的點，將例2演變如下：

變式1(投影打出)

F

圖7-56

己知：如圖，點。在NEPF的平分線上，。。和NEPF的兩邊分別交于點A,B和C,D.

求證：AB=CD.

師生共同分析之后，由學生口述證明過程.

變式2(投影打出)

已知：如圖，的弦AB,CD相交于點P,ZAPO=ZCPO,

求證:AB=CD.

圖7-57

由學生口述證題思路.

說明：這組例題均是利用弦心距相等來證明弦相等的問題，當然，也可利用其它方法來證,

只不過前者較為簡便.

練習1已知：如圖，AD=BC.

求證：AB=CD.

師生共同分析后，學生練習，一學生上黑板板演.

變式練習.已知：如圖7—58,AD=BC,求證：AB=CD.

四、師生共同小結

教師提問：

(1)這節課學習了哪些具體內容？

(2)本節的定理和推論是用什么方法證明的？

(3)應注意哪些問題？

在學生回答的基礎上，教師總結.

(1)這節課主要學習了兩部分內容：一是證明了圓是中心對稱圖形.得到圓的特性一一圓的

旋轉不變性；二是學習了在同圓或等圓中，圓心角、圓心角所對的弧、所對的弦、所對的弦的

弦心距之間的關系定理及推論.這些內容是我們今后證明弧相等、弦相等、角相等的重要依據.

(2)本節通過觀察一一猜想一一論證的方法，從運動變化中發現規律，得出定理及推論，同

時遵循由特殊到一般的思維認識規律，滲透了旋轉變換的思想.

(3)在運用定理及推論解題時，必須注意要有“在同圓或等圓”這一前提條件.

五、布置作業(略)

思考題：已知AB和CD是。。的兩條弦，0M和ON分別是AB和CD的弦心距，如果AB>CD,

那么0M和ON有什么關系？為什么？

板書設計

圓心角、荻、弦、弦心距之間的關系（一）

一、圓的旋轉不變性例題一變式練習

二、定理:

三、推論:

課堂教學設計說明

這份教案為1課時.

如果內容多，部分練習題可在下節課中處理.

第8課25.2圓的對稱性（五）

教學目標

1.使學生理解并掌握1°的弧的概念；

2.使學生進一步掌握同圓或等圓中圓心角，及其所對弧、所對弦、所對弦的弦心距之間的

關系，并能熟練地進行有關計算.

教學重點和難點

對1°的弧的概念的理解是重點；靈活運用本節知識進行有關證明和計算是難點.

教學過程設計

一、從學生已有的知識結構提出問題

1.在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之間有什么樣的關系？

學生根據上節課所學知識進行口答.

2.如何證明同圓或等圓中的兩條弦相等？

學生回答后，教師強調：

在同圓或等圓中證明兩條弦相等，除了可以證明所在的兩個三角形全等外，常用的方法是

證明它們所對的兩個圓心角或兩條弧或它們各自的弦心距相等.

3.我們知道線段可以用長度單位進行度量，角也可用1°做單位來度量.那么作為圓弧能

否度量呢？如果能，又怎樣度量呢？度量單位又是什么呢？

提出問題讓學生思考，討論，猜想.在此基礎上，告訴學生，這就是今天我們要討論的課

題.（板書課題）

二、對比聯想，學習新知

1.T的弧的概念.（投影出示圖7—59）

先讓學生觀察圖（1）,提問：圓周所對的圓心角多大？（360。）請大家想象一下，當把頂點

在圓心的圓周角等分成360份后，相應的把整個圓分成多少份？（360份）為什么？（由定理可

知）這時，每一份圓心角即1°的圓心角就對著1份弧，（出示圖（2））我們把這一份的弧叫1。

的弧.（板書）

由圖⑵可以看出1°的圓心角對著1°的孤，1°的孤對著1°的圓心角.同樣由

學生想象，2°的圓心角對著2°的孤，2°的孤對著2°的圓心角；n°的圓心角對

著n°的弧，n°的弧對著n°的圓心角.(出示圖(3))

最后由學生歸納出：

圓心角的度數和它所對的弧的度數相等.

應使學生明確，這里指的是角與弧的度數相等，而不是角與弧相等.即不能寫成圓N

AOB=AB,這是錯誤的.

2.弦、弦心距之間的不等量關系.

上節課，我們曾留了一道思考題，(投影打出)同學們考慮了沒有？

先由思考過的同學回答，最后由教師作具體分析.

讓學生直觀看圖7—60,會發現：若AB>CD,則OMVON.

進一步啟發學生用所學過的知識，對上述結論加以證明.

已知，如圖7—60,00中，弦AB>CD,0M1AB,ON±CD,垂足分別為M,N.

求證：OM<ON.

圖7-60

分析：因為0M±AB,0N±CD,所以M,N將AB,CD平分，在RtAAOM中，由勾股定理知0A2=0M2

+AM2,同樣在RtZXCON中，OC2=ON2+CN2.而AB>CD,可得到AM>CN,則0MV0N.

證明：連結0A,0D.

,1

AM=-AB

ON1CD=>CN=1CD>=AM〉CN

AB>CD

>=OM<ON.

在RtZXAOMnOA2=OM2+AM2

在RtZXCON=OC2=ON2+CN2，=OM2+AM2=ON2+CN2

OA=OC

J

三、應用舉例，鞏固新知

例1已知：如圖7-61,在。O中，弦AB所對的劣弧為圓的;，圓的半徑為2厘

米.求AB的長.

圖7-61

分析：圓的;即品.因此