2025年江蘇省南京市中考《二次函數綜合》專題復習講義專題解讀二次函數綜合題是中考的必考題，一方面考查了一次函數、二次函數的圖象與性質，幾何圖形的性質與判定，圖形變換等；另一方面考查了方程與函數思想、數形結合思想、分類討論思想、數學建模思想等.主要類型包括：線段問題，角度問題，面積問題，全等、相似三角形存在性問題，平行四邊形存在性問題，特殊三角形存在性問題等.解題方法二次函數的綜合應用問題常常與幾何動點問題，圖形周長面積問題，三角形和特殊四邊形的存在性問題商品利潤及最值問題結合，所以解決二次函數的綜合應用問題，需要同學們能夠掌握與二次函數相融合的相關知識點，比如存在性問題中，等腰三角形的兩圓一線加勾股，直角三角形的兩線一圓加K字形相似，特殊四邊形中所涉及到的中點坐標公式列方程，面積倍分相等問題中極限思想平行線法等等，在解題思想上面也一定要有化動為靜的思想，對于綜合問題的化歸思想等典例、（2024南京中考25題）已知二次函數的圖象經過點，它的頂點在函數的圖象上．(1)當取最小值時，____________．(2)用含的代數式表示．(3)已知點都在函數的圖象上，當時，結合函數的圖象，直接寫出的取值范圍．變式、（2024南京模擬預測）已知函數．(1)若函數圖象經過點，求m的值；(2)若函數圖象與x軸只有一個交點A，求點A的坐標；(3)若函數滿足時，y隨x的增大而增大；時，y隨x的增大而減小，且圖象與x軸的兩個交點為，．求證：．1．（2024·江蘇南京·二模）二次函數的圖像過點，．(1)的值為______；(2)若，是該函數圖像上的兩點，當，時，試說明：；(3)若關于的方程有一個正根和一個負根，直接寫出的取值范圍．2．（2024·江蘇南京·三模）已知二次函數．(1)直接寫出該函數圖象的對稱軸．(2)求證：當時，該函數圖象與軸的兩個交點均在正半軸．(3)點、在該函數圖象上，直接寫出與的大小關系及相應的的取值范圍．3．（2024·江蘇南京·二模）已知二次函數（m為常數）．(1)求證：該二次函數的圖像與x軸總有兩個公共點；(2)設該函數圖像的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D，當的面積與的面積相等時，求m的值．4．（2024·江蘇南京·三模）已知二次函數過點．(1)用含m的代數式表示n；(2)求證：該函數的圖像與x軸總有公共點；(3)若點在該函數圖像上，且當時，總有．直接寫出m的取值范圍．5．（2025·江蘇南京·模擬預測）數、形二法“戰”不等式！(1)解不等式時，根據“兩數相乘，同號的正，異號得負”可得x應滿足不等式組①或②．解不等式組①，得，解不等式組②，得．所以，不等式的解集是．(2)已知函數的大致圖象如圖所示，根據圖象，可得不等式的解集是．6．（2025·江蘇南京·模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線存在兩點．(1)；(2)求證：不論為何值，該函數的圖象與軸沒有公共點；(3)若點也是拋物線上的點，記拋物線在之間的部分為圖象（包括兩點），記圖形上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為，若，則的取值范圍為．7．（2025·江蘇南京·一模）已知二次函數．(1)如果直線經過二次函數圖象的頂點，求此時的值；(2)隨著的變化，該二次函數圖象的頂點是否都在某條拋物線上？如果是，請求出該拋物線的函數解析式；如果不是，請說明理由；(3)將該二次函數以為對稱軸翻折后的圖象過點（a未知，b為常數），求原函數與軸的交點縱坐標．8．（2024·江蘇南京·二模）已知二次函數（a，m為常數，）．(1)求證：不論a，m為何值，該二次函數的圖像與x軸總有兩個公共點；(2)該二次函數的圖像與x軸交于A，B兩點，若不論m為何值，該二次函數的圖像上都只有兩個點C，D，使和的面積均為4，求a的取值范圍．9．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知二次函數（m為常數）(1)下列結論：①當時，該函數的圖像開口向上；②該函數的圖像的對稱軸是直線；③該函數的圖像一定經過，兩點其中，正確結論的序號是___________．(2)若點在該函數圖像上，當時，結合圖像，直接寫出的取值范圍．10．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知二次函數（，且為常數）(1)若，求證：該二次函數圖象與軸有兩個公共點；(2)該函數一定經過兩個定點，分別是，；(3)若該二次函數的圖象與函數有不少于兩個交點，直接寫出的取值范圍．11．（2024·江蘇南京·模擬預測）在平面直角坐標系中，二次函數的圖象經過點．(1)求二次函數的解析式以及函數圖象頂點的坐標；(2)一次函數的圖象經過點，點在一次函數的圖象上，點在二次函數的圖象上，若，求的取值范圍．12．（2024·江蘇南京·三模）兩個函數交點的橫坐標可視為兩個函數聯立后方程的根，例如函數的圖像與函數的圖像交點的橫坐標可視為方程的根．(1)函數的圖像與函數的圖像有兩個不同交點，求取值范圍．(2)已知二次函數（為常數）．①設直線與拋物線有兩個不同交點，求取值范圍．②已知點，若拋物線與線段只有一個公共點，請直接寫出的取值范圍．13．（2024·江蘇南京·二模）已知二次函數（m為常數，）．(1)當時，求該函數的圖象的頂點坐標；(2)當m取不同的值時，該函數的圖象總經過一個或幾個定點，求出所有定點的坐標；(3)已知，，若該函數的圖象與線段恰有1個公共點，直接寫出m的取值范圍．14．（2024·江蘇南京·一模）在平面直角坐標系，二次函數的圖象與軸交于點，將點向右平移個單位長度得到點，點恰好也在該函數的圖象上．(1)寫出該函數圖象的對稱軸；(2)已知點．①若函數圖象恰好經過點，求的值；②若函數圖象與線段只有一個交點，結合函數圖象，直接寫出的取值范圍．15．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知二次函數（a為常數且）．(1)求證：不論a為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點(2)設該二次函數的圖象與x軸的兩個交點分別記為A、B，線段（含端點）上有若干個橫坐標為整數的點，且這些點的橫坐標之和為9．①直接寫出a的取值范圍；②若a為負整數，則函數的圖像與函數的圖像的交點個數隨b的值變化而變化，直接寫出交點個數及對應的b的取值范圍．16．（2024·江蘇南京·模擬預測）在二次函數中．(1)求證：不論取何值，該函數圖像與軸總有兩個公共點(2)當時，的最小值為，則的值為________．(3)當時，點，，都在這個二次函數的圖象上，且．則的取值范圍是________．17．（2024·江蘇南京·一模）已知二次函數．(1)求證：該函數的圖像與x軸總有兩個公共點；(2)若該函數圖像與x軸的兩個交點坐標分別為且，求證(3)若，，都在該二次函數的圖像上，且結合函數的圖像，直接寫出k的取值范圍．18．（2025·江蘇南京·模擬預測）二次函數表達式中的二次項系數a有何幾何意義？【理解a的幾何意義】（1）圖①是二次函數（a，h，k為常數，）的圖象，觀察圖象，用含a和k的式子填寫下表：

（2）若點