PAGEPAGE11第四章圖形的相像7相像三角形的性質(zhì)第2課時相像三角形中的周長和面積之比素材一新課導(dǎo)入設(shè)計情景導(dǎo)入置疑導(dǎo)入歸納導(dǎo)入復(fù)習(xí)導(dǎo)入類比導(dǎo)入懸念激趣情景導(dǎo)入如圖4－7－29，在比例尺為1∶500的地圖上，測得一個三角形地塊的周長為12cm，面積為6cm2，求這個地塊的實際周長及面積．圖4－7－29問題1在這個情境中，地圖上的三角形地塊與實際地塊是什么關(guān)系？1∶500表示什么含義？問題2要解決這個問題，須要什么學(xué)問？問題3你能對這個地塊的實際周長與面積作出估計嗎？問題4如何說明你的猜想是否正確呢？[說明與建議]說明：學(xué)生們在一個開放的環(huán)境中思索生活中遇到的實際問題，親身經(jīng)驗和感受數(shù)學(xué)學(xué)問來源于生活中的過程．建議：小組溝通、總結(jié)，學(xué)生可能會得到周長之比等于比例尺，面積之比等于比例尺的平方的猜想，通過小組合作，初步驗證猜想，引出新知．復(fù)習(xí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)比例線段的性質(zhì)(基本性質(zhì)、合比性質(zhì)、等比性質(zhì))：①假如eq\f(a,b)＝eq\f(4,3)，那么eq\f(a＋b,b)＝__eq\f(7,3)__，eq\f(a－b,b)＝__eq\f(1,3)__；②假如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝eq\f(5,7)，那么eq\f(a＋c＋e,b＋d＋f)＝__eq\f(5,7)__；③在四邊形ABCD和四邊形EFGH中，已知eq\f(AB,EF)＝eq\f(BC,FG)＝eq\f(CD,GH)＝eq\f(DA,HE)＝eq\f(2,3)，四邊形ABCD的周長是60cm，求四邊形EFGH的周長．[說明與建議]說明：通過復(fù)習(xí)比例的性質(zhì)，尤其是等比性質(zhì)，讓學(xué)生感受多邊形的周長比與相像比的關(guān)系．引導(dǎo)學(xué)生思索問題，自然地過渡到新課的學(xué)習(xí)上來．建議：重點是讓學(xué)生動手、動腦，探究相像形周長之比與相像比之間的關(guān)系．懸念激趣某城區(qū)施工隊在道路拓寬施工時遇到這樣一個問題：公路旁邊原有一個面積為100平方米、周長為80米的三角形綠化地，由于公路拓寬，綠化地被削去了一個角，變成了一個梯形，如圖4－7－30，原綠化地一邊AB的長由原來的20米縮短成12米．則被削去的部分面積有多大？它的周長是多少？圖4－7－30[說明與建議]說明：聯(lián)系生活實際，提出問題，引發(fā)學(xué)生探究的主動性，設(shè)置懸念，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲．通過思索，讓學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)新課，同時老師引出新課．建議：在學(xué)生操作時，老師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思索、分析，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)積累數(shù)學(xué)活動閱歷．素材二教材母題挖掘教材母題——第110頁例2如圖4－7－31，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF重疊部分(圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距離．圖4－7－31【模型建立】依據(jù)相像三角形的性質(zhì)——相像三角形的周長比等于相像比，面積比等于相像比的平方，可以解決圖形中的周長與面積問題，簡化計算與證明過程．對學(xué)生的要求是能精確找出相像的兩個三角形，再利用性質(zhì)求解．【變式變形】1．如圖4－7－32，△ABC∽△A′B′C′，它們的周長分別為60cm和72cm，且AB＝15cm，B′C′＝24cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的長．圖4－7－32[答案：BC＝20cm，AC＝25cm，A′B′＝18cm，A′C′＝30cm]2．如圖4－7－33，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周長是24，面積是48，求△DEF的周長和面積．圖4－7－33[答案：△DEF的周長為12，面積為12]3．如圖4－7－34所示，在ABCD中，AE∶EB＝1∶2，且S△AEF＝6cm2.(1)求△AEF與△CDF的周長比；(2)求△CDF的面積．圖4－7－34[答案：(1)1∶3(2)54cm2]4．如圖4－7－35，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點，DE⊥AB于點E.若AB＝10，BC＝6，DE＝2，求四邊形DEBC的面積．圖4－7－35[答案：eq\f(64,3)]素材三考情考向分析[命題角度1]利用相像三角形的性質(zhì)求周長比相像三角形的周長比等于相像比，有了邊長的關(guān)系，就可以求出周長比．例[湘西中考]如圖4－7－36，在ABCD中，E是AD邊上的中點，連接BE，并延長BE交CD的延長線于點F，則△EDF與△BCF的周長比是(A)圖4－7－36A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5[命題角度2]利用相像三角形的性質(zhì)求面積比敏捷運用相像三角形的面積比等于相像比的平方進(jìn)行解題．例[南京中考]若△ABC∽△A′B′C′，相像比為1∶2，則△ABC與△A′B′C′的面積比為(C)A．1∶2B．2∶1C．1∶4D．4∶1[命題角度3]利用相像三角形的性質(zhì)求相像比相像三角形的面積之比等于相像比的平方．反過來，當(dāng)已知兩個相像三角形面積之間的關(guān)系時，也可以求出相像比．例[濱州中考]如圖4－7－37，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則eq\f(AD,AB)的值是多少？圖4－7－37[答案：eq\f(\r(2),2)]素材四教材習(xí)題答案P110隨堂練習(xí)推斷正誤：(1)假如把一個三角形三邊的長同時擴(kuò)大為原來的10倍，那么它的周長也擴(kuò)大為原來的10倍；()(2)假如把一個三角形的面積擴(kuò)大為原來的9倍，那么它三邊的長都擴(kuò)大為原來的9倍．()[答案](1)√(2)×P110習(xí)題4.121．如圖，在方格紙上有△A1B1C1和△A2B2C2，這兩個三角形是否相像？假如相像，△A1B1C1與△A2B2C2的周長比和面積比分別是多少？解：相像，周長比為2∶1；面積比為4∶1.2．如圖，在△ABC和△DEF中，G，H分別是邊BC和EF的中點，已知AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.(1)中線AG與DH的比是多少？(2)△ABC與△DEF的面積比是多少？解：(1)2∶1(2)4∶1.3．如圖，Rt△ABC∽Rt△EFG，EF＝2AB，BD和FH分別是它們的中線，△BDC與△FHG是否相像？假如相像，試確定其周長比和面積比．解：相像；周長比為1∶2，面積比為1∶4.4．一塊三角形土地的一邊長為120m，在地圖上量得它的對應(yīng)邊長為0.06m，這邊上的高為0.04m，求這塊地的實際面積．解：4800m2.5．小明同學(xué)把一幅矩形圖放大觀賞，經(jīng)測量其中一條邊由10cm變成了40cm，那么這次放大的比例是多少？這幅畫的面積發(fā)生了怎樣的改變？解：放大的比例是1∶4，這幅畫的面積變?yōu)樵瓉淼?6倍．6．一個小風(fēng)箏與一個大風(fēng)箏形態(tài)相同，它們的形態(tài)如圖所示，其中對角線AC⊥BD.已知它們的對應(yīng)邊之比為1∶3，小風(fēng)箏兩條對角線的長分別為12cm和14cm.(1)小風(fēng)箏的面積是多少？(2)假如在大風(fēng)箏內(nèi)裝設(shè)一個連接對角頂點的十字交叉形的支撐架，那么至少須要多長的材料？(不計損耗)(3)大風(fēng)箏要用彩色紙覆蓋，而彩色紙是從一張剛好覆蓋整個風(fēng)箏的矩形彩色紙(如圖中虛線所示)裁剪下來的，那么從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積是多少？解：(1)設(shè)AC和BD的交點是O，風(fēng)箏面積＝△ABD的面積＋△BCD的面積＝eq\f(1,2)×BD×AO＋eq\f(1,2)×BD×CO＝eq\f(1,2)×BD×(AO＋CO)＝eq\f(1,2)×BD×AC＝eq\f(1,2)×12×14＝84(cm2)．(2)3×(AC＋BD)＝3×(12＋14)＝78(cm)．(3)彩紙面積＝12×14×3×3，簡單看出裁下的面積是彩紙的一半，故廢棄部分面積＝3×3×12×14×eq\f(1,2)＝756(cm2)．7．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB和AC上，且DE∥BC.(1)若AD∶DB＝1∶1，則S△ADE∶S四邊形DBCE等于多少？(2)若S△ADE＝S四邊形DBCE，則DE∶BC，AD∶DB各等于多少？解：(1)1∶3.(2)DE∶BC＝1∶eq\r(2)，AD∶DB＝1∶(eq\r(2)－1)．素材五圖書增值練習(xí)專題一相像三角形性質(zhì)的綜合運用1．已知兩個相像三角形對應(yīng)高的比為3∶10，且這兩個三角形的周長差為560cm，求它們的周長．2．如圖，Rt△ABC到Rt△DEF是一個相像變換，AC與DF的長度之比是3∶2．（1）DE與AB的長度之比是多少？

（2）已知Rt△ABC的周長是12cm，面積是6cm2，求Rt△DEF的周長與面積．3．如圖所示，已知平行四邊形ABCD中，E是AB延長線上一點，DE交BC于點F，BE∶AB＝2∶3，S△BEF＝4，求S△CDF．專題二相像多邊形的性質(zhì)4．如圖，一般書本的紙張是在原紙張多次對開得到．矩形ABCD沿EF對開后，再把矩形EFCD沿MN對開，依此類推．若各種開本的矩形都相像，那么AB∶AD等于．5．已知兩個相像多邊形的周長比為1∶2，它們的面積和為25，則較大多邊形的面積是．6．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一點，EF∥BC，并且EF將梯形ABCD分成的兩個梯形AEFD、EBCF相像，若AD＝4，BC＝9，求AE∶EB．【學(xué)問要點】1．相像三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比，都等于相像比．2．相像三角形的周長比等于相像比，面積比等于相像比的平方．3．相像多邊形的周長比等于相像比，面積比等于相像比的平方．【溫馨提示】1．應(yīng)用性質(zhì)時，抓住關(guān)鍵詞“對應(yīng)”，找準(zhǔn)對應(yīng)邊．2．不要誤認(rèn)為相像三角形面積的比等于相像比．3．由線段的比求面積的比，或由面積的比求線段的比時，應(yīng)分兩種狀況：（1）兩個圖形是否相像，若是相像圖形，則面積比等于相像比的平方；（2）兩個圖形不相像時，常會出現(xiàn)底在同一條直線上，有同一條高，那么兩個三角形面積比等于對應(yīng)底的比．【方法技巧】1．利用相像三角形性質(zhì)是求線段長度，角的度數(shù)，周長，面積及線段的比等問題的依據(jù)．2．等底等高的兩三角形面積相等，這個規(guī)律在求三角形面積中常常用到．3．應(yīng)用相像三角形（多邊形）的性質(zhì)，常與三角形（多邊形）相像的判定相結(jié)合．4．相像多邊形的定義是判定多邊形相像的主要依據(jù)，也是多邊形相像的重要性質(zhì)．參考答案：1．解：設(shè)一個三角形周長為Ccm，

則另一個三角形周長為（C＋560）cm，

則C∶（C＋560）＝3∶10，∴C＝240，C＋560＝800，即它們的周長分別為240cm，800cm．2．解：（1）由相像變換可得：DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；

（2）∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周長∶△ABC的周長＝2∶3，S△DEF：S△ABC＝4∶9．

∵直角三角形ABC的周長是12cm，面積是6cm2，∴△DEF的周長為8cm，S△DEF＝cm2．3．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥DC，

∴△BEF∽△CDF．∵AB＝DC，BE∶AB＝2∶3，

∴BE∶DC＝2∶3，∴S△DCF＝（）2?S△BEF＝×4＝9．4．[解析]∵矩形ABCD∽矩形BFEA，

∴AB∶BF＝AD∶AB，∴AD?BF＝AB?AB．

又∵BF＝AD，∴AD2＝AB2，則＝＝．5．20[解析]依據(jù)相像多邊形周長的比等于相像比，而面積的比等于相像比的平方，即可求得面積的比值，依據(jù)面積和為25，就可求得兩個多邊形的面積．設(shè)兩個多邊形中較小的多邊形的面積是x，則較大的面積是4x．依據(jù)題意得：x＋4x＝25，解得x＝5．因而較大多邊形的面積20．6．解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，∴＝＝．

又∵AD＝4，BC＝9，∴EF2＝AD?BC＝4×9＝36．

∵EF＞0，∴EF＝6，∴＝＝，即＝．【學(xué)問要點】1.幾種特別四邊形的性質(zhì)和判定：（1）特別平行四邊形具有一般平行四邊形的一切性質(zhì)，須要留意各自圖形的特別性質(zhì).（2）判別菱形：①說明是平行四邊形+鄰邊相等;②說明是平行四邊形+對角線垂直；③四條邊相等。判定矩形：①說明是平行四邊形+90°角；②說明是平行四邊形+對角線相等；③有三個90°角。判定正方形:①說明是菱形+90°角；②說明是矩形+鄰邊相等;③兩條對角線相互平分垂直且相等的四邊形.2.幾種特別四邊形的面積問題：（1）設(shè)矩形ABCD的兩鄰邊長分別為a,b，則S矩形=ab．（2）設(shè)菱形ABCD的一邊長為a，高為h，則S菱形=ah；若菱形的兩對角線的長分別為a,b，則S菱形=．（3）設(shè)正方形ABCD的一邊長為a，則S正方形=；若正方形的對角線的長為a，則S正方形=．（4）設(shè)梯形ABCD的上底為a，下底為b，高為h，則S梯形=．【溫馨提示】（1）矩形的對角線是矩形比較常用的性質(zhì)，當(dāng)對角線的夾角中，有一個角為60度時，則構(gòu)成一個等邊三角形；在判定矩形時，要留意利用定義或?qū)蔷€來判定時，必需先證明此四邊形為平行四邊形，然后再證明一個角為直角或?qū)蔷€相等。許多同學(xué)簡單忽視這個問題.（2）在求菱形的邊長、角度、對角線長等問題時，通常是在某一個直角三角形中運用勾股定理及有關(guān)直角三角形的學(xué)問來解決．正方形的性質(zhì)許多，要依據(jù)題目的已知條件，選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ菇忸}思路簡捷．【方法技巧】面積法是解決有關(guān)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的推理與計算問題常用的方法，因此，熟識它們的面積的計算方法是特別必要的．【答案】1.15°或75°【解析】如下左圖，當(dāng)點E在正方形ABCD外時，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，所以∠AED=；如下右圖，當(dāng)點E在正方形ABCD內(nèi)時，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=90°－60°=30°，所以∠AED=.2.C【解析】∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，且DE＝BC．∵∠C=90°，∠B=60°，∴AB＝2BC，AE＝BE＝BC．又∠C＝90°，∴AC＜AB，DC＜BE．如圖(1)，把△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°，使AE與BE重合，由題意可得∠C＝∠D＝∠F＝90°，則四邊形BCDF是矩形，且CD＜BC，所以構(gòu)成鄰邊不等的矩形，則①成立．如圖(2)，把△ADE繞點D旋轉(zhuǎn)180°，使AD與CD重合，由題意可得BC＝BE＝EM＝MC，則四邊形BCME是菱形，且∠B＝60°為銳角，則③成立．如圖(3)，移動△ADE，使A與D重合，D與C重合，點E在BC的延長線上，由題意可知DE∥BN，且DE≠BN，所以四邊形BNDE是梯形，又DN＝BE，所以梯形BNDE是等腰梯形，則②成立．因拼成矩形只有圖(1)一種狀況，而圖(1)中的矩形不是正方形，則④不成立．3.或【解析】第一種狀況，如左圖，AB=BF=a，則CF=CH=1﹣a，DH=a﹣（1﹣a）=2a﹣1，四邊形EGNM和四邊形MNHD都是正方形，所以2DH=CF，即2（2a﹣1）=1﹣a，解得a=．其次種狀況，如右圖，AB=BF=a，則CF=CH=1﹣a，四邊形CFGH、四邊形HGMN、四邊形DEMN都是正方形，因此AB=3CH，即a=3（1﹣a），解得．4.11＋6【解析】如圖，分割成四個小等腰梯形，則AE＝＝2，過E作EM⊥A