高級中學名校試題PAGEPAGE1湖南省2025屆高考普通高中名校聯考第一次模擬考試數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解不等式得，即，又，所以.故選：A2.若復數，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以的虛部為.故選：D.3.甲同學每次投籃命中的概率為，在投籃6次的實驗中，命中次數的均值為2.4，則的方差為（）A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.96【答案】B【解析】根據題意可得命中次數服從二項分布，即；即可得均值，解得；所以的方差為.故選：B4.若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數的定義域為，設，則，又單調遞增，當時，，，無單調性，不成立；當時，在和上單調遞增，即在和上單調遞增，所以，則，即；當時，在和上單調遞減，即在和上單調遞減，不成立；綜上所述，故選：C.5.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在上，為的中點，且，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下圖所示：

因為的中點，且，則，由橢圓的定義，則，又為的中點，可得，因為，由勾股定理可得，即；又因，代入整理得：，即，解得或（舍）.故選：C.6.已知正四面體的高等于球的直徑，則正四面體的體積與球的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，正四面體，設其棱長為2，設的中心為，連接，延長交于，則平面且，故正四面體的高為且，所以.設球的半徑為，則，則球的體積為，故體積比為7.在中，，且邊上的高為，則（）A.的面積有最大值，且最大值為B.的面積有最大值，且最大值為C.的面積有最小值，且最小值為D.的面積有最小值，且最小值為【答案】D【解析】因為所以所以，又為三角形內角，所以，所以設角的對邊分別為，邊的高為，由三角形面積公式可得：，又，所以，又，所以，當且僅當時取等號，所以所以故選:D8.已知函數的定義域為，函數為偶函數，函數為奇函數，則下列說法錯誤的是（）A.函數的一個對稱中心為 B.C.函數周期函數，且一個周期為4 D.【答案】C【解析】對于A，因為為奇函數，所以，即，所以，所以，所以函數的圖象關于點對稱，所以A正確，對于B，在中，令，得，得，因為函數為偶函數，所以，所以，所以，令，則，所以，得，所以B正確，對于C，因為函數的圖象關于點對稱，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C錯誤，對于D，在中令，則，令，則，因為，所以，因為，所以，所以D正確，故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設公比為的等比數列的前項和為，若數列滿足，且，，則下列結論正確的是（）A B.C. D.【答案】BC【解析】對于B，當時，，，又，，或；當時，，，與矛盾，，B正確；對于A，，A錯誤；對于C，，，，，即，C正確；對于D，，又，，D錯誤.故選：BC.10.將函數圖象的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，則（）A.為偶函數B.的最小正周期為C.與在上均單調遞減D.函數在上有5個零點【答案】ACD【解析】對A，，顯然為偶函數，A正確；對B，由題知，，則最小正周期，B錯誤；對C，由得，在上單調遞減，所以在上單調遞減，由得，在上單調遞減，所以在上單調遞減，C正確；對D，由得，所以或，即或，因為，所以，所以函數在上有5個零點，D正確.故選：ACD11.若函數，則（）A.可能只有1個極值點B.當有極值點時，C.存在，使得點為曲線的對稱中心D.當不等式的解集為時，的極小值為【答案】BCD【解析】，則，令，.A項，當時，，則在上單調遞增，不存在極值點；當時，方程有兩個不等的實數根，設為，，當時，，在單調遞增；當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增；故在處取極大值，在處取極小值，即存在兩個極值點；綜上所述，不可能只1個極值點，故A錯誤；B項，當有極值點時,有解，則，即.由A項知，當時，在上單調遞增，不存在極值點；故，故B正確；C項，當時，，，所以，則曲線關于對稱，即存在，使得點為曲線的對稱中心，故C正確；D項，不等式的解集為，由A項可知僅當時，滿足題意.則且，且在處取極大值.即，則有，故，，又，解得，故，則，當時，，則在單調遞增；當時，，則在單調遞減；當時，，則在單調遞增；故在處有極大值，且極大值為；在處有極小值，且極小值為；故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是等比數列，，則數列的前項和為__________.【答案】【解析】由是等比數列可得其公比，因此數列的首項為，公比，所以，即；所以數列的前項和為.故答案為：13.甲?乙玩一個游戲，游戲規則如下：一個盒子中裝有標號為的6個大小質地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機取一個球，比較小球上的數字，數字更大者得1分，數字更小者得0分，以此規律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為__________.【答案】【解析】將問題轉化為：在三個盒子中各放入2個編號不同小球，甲從每個盒子中各取一個小球，求甲取到每個盒子中編號較大小球的概率.甲從三個盒子中各取一球，共有種取法，三個都是編號較大小球只有一種取法，所以，甲獲得3分的概率為.故答案為：14.已知正方體的棱長為，若在該正方體的棱上恰有個點，滿足，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】當在、上時由、，即，即；當在、上時為等腰三角形，，即，即；當在、、、上時的取值范圍均一致，當在上時，繞翻折，使平面與平面在同一平面內，如圖所示，則，即，又在每條棱上運動時，所在位置與的值一一對應，又，所以若滿足條件的點恰有個，則，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.為了研究學生的性別和是否喜歡跳繩的關聯性，隨機調查了某中學的100名學生，整理得到如下列聯表：男學生女學生合計喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計4555100（1）依據的獨立性檢驗，能否認為學生的性別和是否喜歡跳繩有關聯？（2）已知該校學生每分鐘的跳繩個數，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有明顯進步.假設經過訓練后每人每分鐘的跳繩個數都增加10，該校有1000名學生，預估經過訓練后該校每分鐘的跳繩個數在內的人數（結果精確到整數）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，則，.解：（1）：學生性別和是否喜歡運動無關.，所以根據的獨立性檢驗，不能認為學生的性別與是否喜歡跳繩有關.（2）訓練前該校學生每人每分鐘的跳繩個數，則，，，即訓練前學生每分鐘的跳繩個數在，，，，由（人）估計訓練前該校每分鐘的跳繩個數在內的人數為.即預估經過訓練后該校每分鐘的跳繩個數在內的人數為.16.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為棱的中點，點在棱上，，且.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，取棱靠近的三等分點，連結，則是的中點，因為為棱的中點，所以是的中位線，所以，因為，所以，設，因為，所以，作，連接，則，因為，所以．在中，由余弦定理得，．又面，平面，因為面，所以．又由平面平面，平面平面，平面得證.（2）解：由（1）知，．以為原點，的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系．令．設平面的法向量為，則即令，可得．連接，此時，，由余弦定理得，所以，所以，因為平面，所以，因為面，，所以面，故平面的一個法向量為．設平面和平面的夾角為，則，平面和平面夾角的余弦值為．17.已知函數，且曲線在點處的切線斜率為.（1）比較和的大小；（2）討論的單調性；（3）若有最小值，且最小值為，求的最大值.解：（1），由題知，整理得.（2）由（1）知，，當時，恒成立，此時在上單調遞增；當時，令，解得，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（3）由（2）知，當時，無最小值，當時，在處取得最小值，所以，記，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在單調遞減，所以當時，取得最大值，即的最大值為.18.已知雙曲線：與直線：交于、兩點（在左側），過點的兩條關于對稱的直線、分別交雙曲線于、兩點（在右支，在左支）．（1）設直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；（2）若直線與雙曲線在點處的切線交于點，求的面積．解：（1）由題意知直線斜率為1，直線的傾斜角，設直線、的傾斜角分別為、（、），直線、關于直線對稱，，．（2）聯立，雙曲線在點處的切線方程為．不妨設直線為，，，聯立得，整理得，將等式看作關于的方程：兩根之和，兩根之積，而其中，由（1）得，直線為，過定點，又雙曲線在點處的切線方程為，過點，，．19.若數列滿足，且，則稱數列為“穩定數列”.（1）若數列為“穩定數列”，求的取值范圍；（2）若數列的前項和，判斷數列是否為“穩定數列”，并說明理由；（3）若無窮數列為“穩定數列”，且的前項和為，證明：當時，.（1）解：由“穩定數列”的定義可知,，解得，又因為，所以.（2）