高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期2月收心考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令解得，∴，∵，∴即，∴．故選：C.2.比較，，的大小（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知：，，，∴．故選：B.3.下列四個(gè)函數(shù)中以為最小正周期且為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】A選項(xiàng)，函數(shù)圖象如下：不是周期函數(shù)，BC選項(xiàng)，與是偶函數(shù)，D選項(xiàng)，的周期為且，故為奇函數(shù)，D正確.故選：D．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，易知，即分別為奇函數(shù)、偶函數(shù)、偶函數(shù)、偶函數(shù)，由圖象可知為奇函數(shù)，且在處無定義，顯然對(duì)于A項(xiàng)，在處有定義，對(duì)于D項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、D項(xiàng)；又因?yàn)楫?dāng)且時(shí)，，可排除B項(xiàng).故選：C．6.中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水溫經(jīng)有關(guān)研究可知：在室溫25℃下，某種綠茶用85℃的水泡制，經(jīng)過后茶水的溫度為，且，當(dāng)茶水溫度降至70℃時(shí)，此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為（）（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）．A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則，令，∴，，解得．故選：B.7.下列選項(xiàng)中是“，”成立的一個(gè)必要不充分條件的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，即，，∴，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即，由于是的真子集，故“”的必要不充分條件為“”.故選：A.8.已知是定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱可得圖象關(guān)于對(duì)稱，所以為R上的奇函數(shù)，則函數(shù)圖象大致如圖所示：要解，即，即，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以或者，解得或；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以，解得，綜上可得不等式的解集為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知集合，，則=B.終邊落在軸上的角的集合可表示為C.若，則D.在中，若，則為等腰三角形【答案】AC【解析】集合表示終邊落在直線上角的集合，集合表示終邊落在直線及坐標(biāo)軸上角的集合，因此A正確；B選項(xiàng)出現(xiàn)角度與弧度混用錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，即，即，所以，解得，故C正確；D選項(xiàng)，若，因?yàn)椋裕曰颍曰颍詾榈妊切位蛑苯侨切危蔇錯(cuò)誤．故選：AC.10.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則（）A B. C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)A：由及基本不等式得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以即，故C正確；對(duì)D：，其中，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知，則下列說法正確的有（）A.圖象對(duì)稱中心為B.的最小正周期為C.的單調(diào)遞增區(qū)間為D.若，則【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，令，則，即圖象對(duì)稱中心為；故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，最小正周期為，故B正確；C選項(xiàng)，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，只需求的單調(diào)遞減區(qū)間，顯然無單調(diào)增區(qū)間，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，即，故，解得，故D正確．故選：BD.12.一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋瑒t稱為函數(shù)的“倍伴隨區(qū)間”，另函數(shù)的定義域?yàn)椋涤蛞矠椋瑒t稱為的“伴隨區(qū)間”，下列結(jié)論正確的是（）A.若為函數(shù)的“伴隨區(qū)間”，則B.函數(shù)存“伴隨區(qū)間”C.若函數(shù)存在“伴隨區(qū)間”，則D.二次函數(shù)存在“3倍伴隨區(qū)間”【答案】AD【解析】對(duì)于A：在上單調(diào)遞增，又，∴即，∴（舍）或，A正確；對(duì)于B：在和上單調(diào)遞減，若存在“伴隨區(qū)間”則，，即，，解得或，與矛盾，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在上單調(diào)遞減，假設(shè)存在“伴隨區(qū)間”，，則且，∴，∴即或，因此，∴在內(nèi)有兩個(gè)不同根，令，∴，，，，∴，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：不妨取，則，所以，解得，故存在，，所以D正確．故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則______．【答案】【解析】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得或，又因?yàn)樵谏线f減，所以，故．故答案為：.14.已知扇形的圓心角為2，其所對(duì)弦長(zhǎng)也為2，該扇形的面積為______.【答案】【解析】設(shè)扇形的半徑為，由題意，所以扇形半徑，則弧長(zhǎng)為，所以扇形面積為：.故答案為：.15.若函數(shù)在上值域?yàn)椋瑒t的取值范圍為___________．【答案】【解析】因?yàn)椋睿瑒t，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，此時(shí)；令即，解得，又，，結(jié)合圖象可知：，所以的取值范圍為.故答案為：.16.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】由題可得圖象大致如圖所示：令，則，由圖象易知：，，，所以，且，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：.故答案為：．四、解答題（本題共6小題，共70分）．17.計(jì)算：（1）；（2）已知，求.解：（1）原式．（2）∵，∴，，∵，∴，原式．18.已知函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1），.（2）由（1）知，，故，原式．19.某甜品店今年年初花費(fèi)21萬元購(gòu)得一臺(tái)新設(shè)備，經(jīng)估算該設(shè)備每年可為甜品店提供12萬元的總收入，已知使用年所需的總維護(hù)費(fèi)用為萬元．（1）該甜品店第幾年開始盈利？（2）若干年后，該甜品店計(jì)劃以2萬的價(jià)格賣出設(shè)備，有以下兩種方案：①當(dāng)年平均盈利最大時(shí)賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大時(shí)賣出；試問哪一方案較為劃算？說明理由．解：（1）設(shè)該甜品店年后所得總利潤(rùn)為萬元，則，若開始盈利即，∴，解得，∴第四年開始盈利．（2）方案①：設(shè)年平均利潤(rùn)為，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，上為單調(diào)遞減，又，，時(shí)，，4年總利潤(rùn)為3萬元，時(shí)，，5年總利潤(rùn)為4萬元，故選擇第5年賣出，方案②：，，即時(shí)總利潤(rùn)最大為4萬元，故選擇方案一或方案二是一樣的，最終都是在即第5年總利潤(rùn)達(dá)到最大值4萬元，加上賣設(shè)備的2萬元，一共6萬元利潤(rùn)．20.已知函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，且函數(shù)圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為4．（1）求，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（3）若方程在有兩個(gè)根，求的取值范圍．解：（1）∵圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為4，且，∴，∴，即，∴，又圖象關(guān)于對(duì)稱，∴，，∴，，又∵，∴．（2），由解得，∴的單調(diào)增區(qū)間為．（3）當(dāng)時(shí)，作出時(shí)的圖象如下圖：若方程在有兩個(gè)根，則．21.已知函數(shù)定義域?yàn)椋?）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象上方，求的取值范圍．解：（1）對(duì)恒成立，即，∵則，即．（2）根據(jù)已知條件有：對(duì)恒成立，令，單調(diào)遞增，也單調(diào)遞增，單調(diào)遞增；令，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減；，是單調(diào)減函數(shù)時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，，即，結(jié)合定義域有：，即，.22.定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，恒成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為的上界．（1）若在上是以2為上界的有界函數(shù)，求的取值范圍；（2）已知，為正整數(shù)，是否存在整數(shù)，使得對(duì)，不等