高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省安陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前5項(xiàng)依次為，按照此規(guī)律，可知（）A.8 B.12 C.16 D.32【答案】A【解析】數(shù)列的前5項(xiàng)依次為，則，所以.故選：A2.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，解得，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B3.某次高三統(tǒng)考共有12000名學(xué)生參加,若本次考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,已知數(shù)學(xué)成績在70分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學(xué)成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（）A.2400 B.1200 C.1000 D.800【答案】B【解析】依題意，，，因此，所以此次考試中數(shù)學(xué)成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為.故選：B4.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則（）A.39 B.50 C.63 D.68【答案】C【解析】隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，，，，．故選：C．5.已知的展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，由，得，由，得，因此展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，所以.故選：A6.已知橢圓，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，且點(diǎn)與不重合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨設(shè),，由題意可得，即：，又的中點(diǎn)在直線上，所以，解得y0=t，故，而在橢圓上．故，解得或，由于時(shí)與坐標(biāo)相同，故．故選：C．7.為促進(jìn)消費(fèi)，某商場推出抽獎(jiǎng)游戲：甲、乙兩袋中裝有大小、材質(zhì)均相同的球，其中甲袋中為4個(gè)黑球和6個(gè)白球，乙袋中為3個(gè)黑球和5個(gè)白球.顧客要從甲袋中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙袋中，充分混合后，再從乙袋中隨機(jī)取出1個(gè)球，若從乙袋中取出的球是黑球，則獲得100元消費(fèi)券，否則獲得50元消費(fèi)券.則顧客獲得100元消費(fèi)券的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記顧客獲得100元消費(fèi)券的事件為，從甲袋中取出黑球的事件為，則，，，所以.故選：B8.若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時(shí)，，不等式，即，于是，因此，恒成立，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若隨機(jī)變量，且，則D.若隨機(jī)變量的分布列為，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為，所以，，，所以，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.已知等差數(shù)列an滿足，等比數(shù)列bn滿足，則下列說法中正確的是（）A.數(shù)列前3項(xiàng)和為86B.數(shù)列的前50項(xiàng)和為50C.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則D.若，則是公差為的等差數(shù)列【答案】BC【解析】因?yàn)樗?，因?yàn)椋裕瑢?duì)于A：的前3項(xiàng)和為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B：的前50項(xiàng)和為，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C：，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D：，，所以是公差為的等差數(shù)列，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知直線過定點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為 B.的最小值是C.的最大值是0 D.【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑．對(duì)于A，直線，可化，所以直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為，因此直線過定點(diǎn)，A項(xiàng)正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線到圓心的距離達(dá)到最大值，此時(shí)，可知的最小值是，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，，由于的最小值是，此時(shí)取最大值，故最大值為0，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，可得，故D項(xiàng)正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某快餐廳推出一種雙人組合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯材料，主食有5種可供選擇，飲料有4種可供選擇，且每份套餐中主食和飲料均不能重復(fù)，則這種雙人套餐的不同搭配有_______種.（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】先從5種主食選2種，有種選法，再從4中飲料中選2種，有種選法，所以共有種不同的搭配.故答案為：6013.設(shè)，則____.【答案】728【解析】因?yàn)?，所以，令x=1,可得，令x=0,可得，所以.故答案為：728.14.已知函數(shù)，過點(diǎn)且與曲線相切的直線有3條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】設(shè)過點(diǎn)與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)，求導(dǎo)得，則切線方程為，于是，整理得，令，過點(diǎn)且與曲線相切的直線有3條，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在數(shù)列中，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前12項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.解：（1）當(dāng)時(shí)，，①，所以當(dāng)時(shí)，②，①②得，即也滿足該式，所以.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，依次類推，可知.所以數(shù)列bn的前12項(xiàng)和為.16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若為棱的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）在四棱錐中，由平面，平面，得，在矩形中，為邊的中點(diǎn)，，則，，即有，而平面，所以平面.（2）顯然直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，所以平面與平面的夾角的余弦值.17.某校組織全校學(xué)生參加“防范校園欺凌”知識(shí)競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的得分（滿分：100分）分成如下6組：，繪制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均得分.（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）若該校決定獎(jiǎng)勵(lì)競賽得分排名前的學(xué)生，小明本次競賽獲得78分，估計(jì)他能否獲得獎(jiǎng)勵(lì).（3）從樣本中競賽得分不低于80的學(xué)生中，按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，再從參加學(xué)習(xí)交流的學(xué)生中任選3人，記這3人中得分在90,100內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）依題意，，解得，成績在區(qū)間的頻率依次為：，所以這100名學(xué)生的平均得分為.（2）由（1）知，成績在區(qū)間的頻率為，成績在區(qū)間的頻率為，則競賽得分排名前的最低成績，于是，解得，而，所以估計(jì)小明能獲得獎(jiǎng)勵(lì).（3）參加學(xué)習(xí)交流的10人中，得分在的人數(shù)為，在內(nèi)的人數(shù)為4，的可能值為0，1，2，3，，所以的分布列為0123數(shù)學(xué)期望為.18.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為，且.（1）求的方程；（2）若直線的斜率是的斜率為正的漸近線的斜率的2倍，且與交于兩點(diǎn)，直線的斜率之和為，求的方程.解：（1）設(shè)半焦距為.因?yàn)?，所以，解得，所以，所以的方程?（2）易知，因?yàn)榈男甭蕿檎臐u近線的斜率為，所以的斜率為1，故設(shè).設(shè)Ax1,y1,Bx2則，得，即或，.又，所以.整理得，解得(舍去)或，所以直線的方程為，即.19.已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，f'x>0，所以在上單調(diào)遞增，不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，解得，當(dāng)時(shí)，f'x當(dāng)時(shí)，f'x故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)，又，當(dāng)時(shí)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意，所以的取