高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖北省鄂東新領(lǐng)先協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則B可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，當(dāng)時(shí)，或，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，或，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：C.2.若雙曲線的焦距為6，則（）A.5 B.3 C. D.【答案】D【解析】若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，依題意可得，解得；若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，依題意可得，解得.綜上可得：.故選：D.3.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由不等式，化簡(jiǎn)得，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得.故選：C.4.小孟一家打算從武漢、十堰、荊州選一個(gè)城市去旅游，這三個(gè)城市都有游樂(lè)園，去武漢市、十堰市、荊州市的概率分別為0.5，0.3，0.2，到了武漢市小孟一家去游樂(lè)園的概率為0.6，到了十堰市小孟一家去游樂(lè)園的概率為0.4，到了荊州市小孟一家去游樂(lè)園的概率為0.3，則小孟一家去游樂(lè)園的概率為（）A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.21【答案】A【解析】由全概率公式可得，小孟一家去游樂(lè)園的概率為，故選：A.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示、則的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由奇偶性判斷可知：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，而函數(shù)圖象是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，必然是偶函數(shù)，所以BD錯(cuò)誤；再當(dāng)時(shí)，可知，故A錯(cuò)誤；所以C正確，故選：C.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)椋裕钟煽芍浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故選：B7.甲、乙、丙、丁對(duì)某組數(shù)據(jù)（該組數(shù)據(jù)由5個(gè)整數(shù)組成）進(jìn)行分析，得到以下數(shù)字特征，則不能判斷這組數(shù)據(jù)一定都小于12的是（）A.甲：中位數(shù)為9，眾數(shù)為11 B.乙：中位數(shù)為9，極差為3C.丙：平均數(shù)為8，極差為4 D.丁：平均數(shù)為8，方差為3【答案】B【解析】對(duì)于A，中位數(shù)為9，眾數(shù)為11，說(shuō)明11至少有兩個(gè)數(shù)，不妨取兩個(gè)11，則由中位數(shù)可知另外兩個(gè)數(shù)肯定不超過(guò)9，故A能判斷這組數(shù)據(jù)都小于12，所以不能選A；對(duì)于B，中位數(shù)為9，極差為3，由于極差是5個(gè)數(shù)中最大與最小的差，由于該組數(shù)據(jù)由5個(gè)整數(shù)組成，所以不妨取4個(gè)9，1個(gè)12，這樣不能判斷該組數(shù)據(jù)一定小于12，故選B；對(duì)于C，平均數(shù)為，極差為，由于個(gè)數(shù)都是整數(shù)，根據(jù)條件可知，這個(gè)數(shù)中肯定最大數(shù)與最小數(shù)的差為，則可知最大數(shù)肯定大于，最小數(shù)肯定小于，故最小數(shù)加得最大數(shù)肯定小于，從而能判斷這組數(shù)據(jù)一定都小于12，故不能選C；對(duì)于D，平均數(shù)為8，方差為3，由方差公式可得，若存在數(shù)12，則，這與方差為3相矛盾，所以最大數(shù)也一定小于12，故不能選D；故選：B.8.若正六棱錐的體積為，則PA的最小值為（）A. B.3 C.4 D.【答案】A【解析】設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)與高分別為,底面為正六邊形，設(shè)底面的中心為，連接，則，底面，為正六棱錐的高，所以，因?yàn)檎忮F的體積為，所以，即，則，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值，則的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知a，，，.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則不是純虛數(shù)B.若，則的實(shí)部等于虛部C.若，則的最小值為D.若，則【答案】BC【解析】對(duì)于AB，由，則，可得，解得，所以，顯然是純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，由，則，可得，所以，且，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，且.則（）A. B. C. D.可能為增函數(shù)【答案】ABD【解析】因?yàn)椋粤睿傻茫蔄正確；再令，可得，又因?yàn)椋裕至睿傻茫裕蔅正確；不妨取，則，，此時(shí)滿(mǎn)足原恒等式，但是當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；但由于此時(shí)在上是增函數(shù)，故D正確；故選：ABD.11.已知A，B，C是拋物線上不同的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線W的焦點(diǎn)，直線l為拋物線W的準(zhǔn)線，AB的中點(diǎn)為，則（）A.當(dāng)時(shí)，的最大值為32B.當(dāng)時(shí)，的最小值為22C.當(dāng)時(shí)，直線AB的斜率為D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為14【答案】ACD【解析】對(duì)于A，如圖設(shè)直線的方程為，代入可得：，由可得，設(shè)，則，因的中點(diǎn)為，則，故，，即，則，于是，故當(dāng)時(shí)，取得最大值為32，故A正確；對(duì)于B，如圖，分別過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，設(shè)交拋物線于點(diǎn)，因，故，由圖知當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值為長(zhǎng)，因的中點(diǎn)為，則為梯形的中位線，且，故此時(shí)，即的最小值為15，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A項(xiàng)得到，因，故得，解得，故直線的斜率為，故C正確；對(duì)于D，由可得直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，代入可得：，設(shè)，則，仿照B項(xiàng)作圖，則點(diǎn)P到直線l的距離為：，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為14，即D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，，，則______.【答案】【解析】由三角形正弦定理可得：，再由，聯(lián)立上兩式可解得：，再由余弦定理得：，所以，故答案為：.13.在正方體的底面ABCD所在平面中，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓與以點(diǎn)C為圓心，3為半徑的圓外切，則該正方體外接球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意可知：，即正方體邊長(zhǎng)為，正方體的體對(duì)角線為，而正方體外接球的直徑為體對(duì)角線，即正方體外接球半徑為，所以外接球的表面積為，故答案為：.14.函數(shù)的最小值為_(kāi)_____，此時(shí)______.【答案】①.②.【解析】由所以可知當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最小值，故答案為：①；②.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某醫(yī)院計(jì)劃從急診科、骨科中選調(diào)醫(yī)生組建一支6人醫(yī)療救援隊(duì)，該院骨科、急診科各有5名醫(yī)生報(bào)名加入醫(yī)療救援隊(duì).（1）若小張是這次報(bào)名的骨科醫(yī)生，求小張被選入醫(yī)療救援隊(duì)的概率；（2）設(shè)被選入醫(yī)療救援隊(duì)的骨科醫(yī)生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）由題意可得從人中選出人組成一隊(duì)，總的情況數(shù)為，選中小張之后，醫(yī)療救援剩下的人從總?cè)藬?shù)剩下的人中選出，情況數(shù)為，所以小張被選人醫(yī)療救援隊(duì)的概率.（2）的可能取值為，則，，，，，所以的分布列如下表：所以數(shù)學(xué)期望.16.如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，M是的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）證明：平面.（3）求平面與平面的夾角.（1）證明：連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危詾榈闹悬c(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且平面，不在平面內(nèi)，所以平面；（2）證明：因?yàn)槠矫妫宜倪呅螢榫匦危詢(xún)蓛纱怪保室詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又因?yàn)椋裕O(shè)平面的法向量為，且，則，故，取，則，因?yàn)椋裕裕云矫?（3）解：設(shè)平面的法向量為，且，則，故，取，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，因此平面與平面的夾角為.17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）求的通項(xiàng)公式.（2）試問(wèn)有多少項(xiàng)為整數(shù)？（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）數(shù)列是等差數(shù)列，且，，所以，設(shè)等差數(shù)列公差為，所以，所以，所以，所以.（2）因?yàn)椋?dāng)為整數(shù)時(shí)，則為整數(shù)，所以，所以有5項(xiàng)為整數(shù)；（3）因?yàn)椋裕瑪?shù)列的前n項(xiàng)和.設(shè)，于是，兩式相減得，所以，所以18.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，且離心率為.（1）求C的方程.（2）過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線與橢圓C交于S，T不同的兩點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作直線ST的平行線與橢圓C交于G，H不同的兩點(diǎn).①證明：為定值.②求面積的取值范圍.解：（1）由已知得，因?yàn)椋钟桑山獾茫詸E圓方程為：.（2）①設(shè)斜率不為0的直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，化簡(jiǎn)得，由于橢圓與直線交于兩點(diǎn)，，因此，所以或，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，又因?yàn)椋虼耍畹姆匠虨椋瑱E圓與直線交于兩點(diǎn)，聯(lián)立直線和橢圓方程，化簡(jiǎn)得，同理：，，，因此（為定值）．②由于，又由于，因此，化簡(jiǎn)可得，設(shè)，由于，因此，因此，又由于當(dāng)時(shí)，，因此，因此，所以面積的取值范圍為．19.定義：，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則稱(chēng)為“M函數(shù)”.（1）若為“M函數(shù)”，求m的取值范圍.（2）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).①求a的取值范圍；②證明：為“M函數(shù)”.解：（1）由，求導(dǎo)可得，令，解得，由函數(shù)為“函數(shù)”，則，可得，解得.（2）①由，則，求導(dǎo)可得，令，由題意可得函數(shù)存在兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，由，令，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，則，由，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，可得，解得