高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省南陽市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月5日模擬檢測數(shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，則，故，而，所以.故選：B2.已知復(fù)數(shù)的虛部是實(shí)部的3倍，則（）A.4 B. C.3 D.【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)的虛部是實(shí)部的3倍，得，解得，所以，.故選：B3.已知向量在上的投影向量為，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，向量在上的投影向量為，則，由，得，于是，又，所以.故選：A4.已知是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)是增函數(shù)，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D5.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C.5 D.10【答案】A【解析】展開式的通項(xiàng)，顯然，則當(dāng)，即時(shí)，，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故選：A6.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋移鋱D象是連續(xù)的曲線，若在區(qū)間上的值域?yàn)椋谏系闹涤驗(yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】C【解析】由題意有，即.故選：C.7.有三串氣球，每串氣球的個(gè)數(shù)如圖所示，某人每次用氣槍射擊一只氣球，且每次都射擊某一串氣球中最下面的一只，直到所有的氣球均被擊破為止.假設(shè)此人每次射擊均能擊破一只氣球，則其擊破氣球的不同順序的種數(shù)為（）A.8 B.144 C.120 D.280【答案】D【解析】將被射擊的8個(gè)氣球排成一列，同一串氣球按由下往上的順序放入，相當(dāng)于8個(gè)位置，取4個(gè)位置將中間一串氣球按由下往上的順序放入，有種方法，再從余下4個(gè)位置中取3個(gè)將左邊一串的3個(gè)氣球按由下往上的順序放入，有種方法，最后放入右邊的一個(gè)氣球于最后一個(gè)位置，有種方法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理得擊破氣球的不同順序的種數(shù)為.故選：D8.從正整數(shù)中取出100個(gè)不同的數(shù)組成遞增的等差數(shù)列，這樣的數(shù)列共有（）A.4555個(gè) B.4654個(gè) C.5445個(gè) D.5500個(gè)【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，則從正整數(shù)中取出100個(gè)不同的數(shù)組成遞增的等差數(shù)列，要滿足，且，，對于每一個(gè)公差，首項(xiàng)的范圍為，共有種情況，所以滿足條件的遞增等差數(shù)列個(gè)數(shù)為：，故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選徣的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù)B.的值域?yàn)镃.不存在，使得D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，因此為偶函數(shù)，A正確；對于B，令，函數(shù)是R上增函數(shù)，值域?yàn)镽，函數(shù)的值域?yàn)椋虼说闹涤驗(yàn)椋珺正確；對于C，由選項(xiàng)B知，存在唯一使得，則，且，因此存在，使得，C錯(cuò)誤；對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確.故選：ABD10.已知等比數(shù)列不是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，，則（）A.B.C.數(shù)列的最大項(xiàng)為D.數(shù)列的最小項(xiàng)為【答案】ACD【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為.對于A，由題意得，則，故A正確；對于B，由A項(xiàng)，可得，∴，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可知數(shù)列為遞增數(shù)列，故舍去；故，∴，故B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，而指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，而指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，故得，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，當(dāng)時(shí)，時(shí)為最大項(xiàng)，故C正確，當(dāng)時(shí)，為最小項(xiàng)，故D正確.故選：ACD.11.已知拋物線與圍成的封閉曲線如圖所示，設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.恒關(guān)于點(diǎn)中心對稱B.若，則與的準(zhǔn)線之間的距離為C.若上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則D.若，且對于任意給定的常數(shù)，上任意一點(diǎn)均滿足為定值，則的取值范圍是【答案】BC【解析】對A：對，令，可得，則，對，令，可得，則，點(diǎn)關(guān)于中心對稱的點(diǎn)為，不在曲線上，故點(diǎn)不是曲線的對稱中心，故A錯(cuò)誤；對B：由、，則，令，解得，則，由拋物線對稱性可知、關(guān)于軸對稱，故，則有，解得，又拋物線為拋物線向左平移個(gè)單位而來，拋物線為拋物線向右平移個(gè)單位而來，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，即與的準(zhǔn)線之間的距離為，故B正確；對C：由，則，則，化簡得，故或（舍），則，由，則該點(diǎn)在上，，由，則，則，故，故C正確；對D：由，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即時(shí)，有，則，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即時(shí)，有，則，即，則對上一點(diǎn)，有，則，由對于任意給定的常數(shù)，為定值，則恒成立，即，即的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的一條漸近線的斜率為，則的離心率為__________.【答案】2【解析】雙曲線的漸近線方程為，依題意，，即，所以雙曲線的離心率.故答案為：213.已知，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】令，則，所以，因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?14.已知正三棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為1和2，且體積不大于，若該棱臺(tái)的外接球球心位于棱臺(tái)內(nèi)部（不含表面），則外接球表面積的取值范圍是__________.【答案】【解析】如圖，令正三棱臺(tái)上下底面正三角形中心分別為，則，，設(shè)正三棱臺(tái)的高為，則，解得，設(shè)球的半徑為，顯然球心在線段上（不含端點(diǎn)）因此，，解得，且，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，得，，解得，因此，，所以外接球表面積的取值范圍是.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.現(xiàn)有一個(gè)六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字的正方體骰子，連續(xù)拋擲兩次，設(shè)分別為第一次和第二次拋擲骰子落地后朝上的點(diǎn)數(shù)，.（1）求的概率；（2）求的數(shù)學(xué)期望.解：（1）由題設(shè)，，即或，連續(xù)拋擲兩次骰子，得到朝上的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)組共有36種可能，的情況有共6種，故，的情況有共10種，故，所以的概率為.（2）由題意，的所有可能值為，同（1）分析，的情況有共8種，則，情況有共6種，則，的情況有共4種，則，的情況有共2種，則，所以.16.如圖，四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，.（1）若，求；（2）若，且為等邊三角形，求圓的面積.解：（1）∵，，∴，在中由余弦定理可得，∴，解得（舍去）或，∴.（2）設(shè)，為等邊三角形，設(shè)在中由余弦定理可得，在中由余弦定理可得，由∵，∴，即，則，即①，又∵正中，∴，在中，即，∴，②由①②可知，，，如圖，取中點(diǎn)，連接，由對稱性可知圓心在中線上，連接，∴，又∵，∴半徑，∴圓的面積為：.17.如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，且，為的中點(diǎn).（1）證明：為平面與平面的交線；（2）設(shè)，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在直四棱柱中，連接，由，，得，由為的中點(diǎn)，得，則四邊形為平行四邊形，于是，即在同一平面內(nèi)，平面，由，得點(diǎn)四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，即平面，所以為平面與平面的交線.（2）解：連接，由四邊形為等腰梯形，且，，令，則，，，，則，而平面，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓與的短軸長相等，的離心率為，且左、右焦點(diǎn)分別為為上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線均過點(diǎn).（1）求的方程.（2）若過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭手e為時(shí)，求的值.（3）問：是否存在點(diǎn)，滿足均與相切，且的斜率之積為？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）由題設(shè)且，可得，故；（2）由（1）知，，設(shè)斜率為，則的斜率為，所以，由，可得，設(shè)，則，，所以，同理可得，所以；（3）設(shè)，顯然、，過的直線為，由，消去y并整理得，因?yàn)橹本€與相切，則，所以，即，設(shè)的斜率分別為，顯然是上述方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，則，結(jié)合，可得，故存在為滿足題意.19.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（3）若，數(shù)列滿足，證明：.（1）證明：由題設(shè)，定義域?yàn)椋遥桑栽谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且趨向于0或正無窮時(shí)，均趨向于負(fù)無窮，