課程基本信息

課例編號2020QJ11SXRA075學科數學年級高二學期第一學期

課題函數的極值與最大（小）值（1）

書名：普通高中教科書數學選擇性必修第二冊A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學人員

姓名單位

授課教師范方兵北京市第二中學

指導教師雷曉莉北京市東城區教師研修中心

教學目標：

1．了解函數極值的概念，會從函數圖象直觀認識函數極值與導數的關系.

2．初步掌握求函數極值的方法．

3．體會滲透在數學中的整體與局部的辯證關系．

教學重點：

掌握求函數極值的方法

教學難點：

x=x0是函數y=f(x)的極值點與f′(x0)=0的關系

教學過程

時間環節主要師生活動

在用導數研究函數的單調性時，我們發現利用導數的正負可以判斷函數的

增減，

一般情況下，我們可以通過如下步驟判斷函數y=f(x)的單調性：

第１步，確定函數的定義域；

第２步，求出導數f′(x)的零點；

新第３步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在

2

課各區間上的正負，由此得出函數y=f(x)在定義域內的單調性．

分

引一般地，函數f(x)的單調性與導函數f′(x)的正負之間具有如下的關系：

鐘

入在某個區間（a，b）上，如果f′(x)＞０，那么函數y=f(x)在區間（a，b）上

單調遞增；

在某個區間（a，b）上，如果f′(x)＜０，那么函數y=f(x)在區間（a，b）上

單調遞減．

我們自然要問：

問題1如果函數在某些點的導數為0，那么在這些點處函數有什么性質呢？

1

１函數的極值

觀察下圖，我們發現，當t=a時，高臺跳水運動員距水面的高度最大．那

么，

問題2函數h(t)在此點的導數是多少呢？此點附近的圖象有什么特點？相

應地，導數的正負性有什么變化規律？

放大t=a附近函數h(t)的圖象，如圖．可以看出，h′(a)＝０；在t=a的附近，

當t<a時，函數h(t)單調遞增，h′(t)>0；當t>a時，函數h(t)單調遞減，h′(t)<0．

這就是說，在t=a附近，函數值先增（當t<a時，h′(a)>0）后減（當t>a時，

h′(a)<0）．

探

這樣，當t在a的附近從小到大經過a時，h′(t)先正后負，且h′(t)連續變化，

15究

于是有h′(a)=0．

分新

問題3對于一般的函數y=f(x)，是否也有同樣的性質呢？

鐘知

如圖，函數y=f(x)在x=a，b，c，d，e等點的函數值與這些點附近的函數值

有什么關系？y=f(x)在這些點的導數值是多少？在這些點附近，y=f(x)的導數的正

負性有什么規律？

以x=a，b兩點為例，可以發現，函數y=f(x)在點x=a的函數值f(a)比它在

點x=a附近其他點的函數值都小，f′(a)=0；而且在點x=a附近的左側f′(x)<0，右

側f′(x)>0．類似地，函數y=f(x)在點x=b的函數值f(b)比它在點x=b附近其他點

的函數值都大，f′(b)=0；而且在點x=b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0．

我們把a叫做函數y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y=f(x)的極小值；b叫做

函數y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y=f(x)的極大值．極小值點、極大值點統稱

為極值點，極小值和極大值統稱為極值（extremum）．

問題4極大值一定大于極小值嗎？

極值反映了函數在某一點附近的大小情況，刻畫了函數的局部性質．

2

問題5導數值為0的點一定是函數的極值點嗎？

導數值為0的點不一定是函數的極值點．

例如，對于函數f(x)=x3，我們有f′(x)=3x2．

雖然f′(0)=0，但由于無論x>0，還是x<0，

恒有f′(x)>0，即函數f(x)=x3是增函數，

所以0不是函數f(x)=x3的極值點．

一般地，函數y=f(x)在一點的導數值為0是

函數y=f(x)在這點取極值的必要條件，

而非充分條件．

例求函數f(x)=x34x+4的極值.

1

分析：一般地，3可按如下方法求函數y=f(x)的極值，

解方程f′(x)=0，當f′(x0)=0時：

(1)如果在x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；

(2)如果在x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．

解:函數定義域為(∞，+∞).

因為f(x)=x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).

知1

23

識令f′(x)=0，解得x=2或x=2.

分

應當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表所示

鐘

用

x(∞，2)2(2，2)2(2，+∞)

f′(x)+00+

單調遞增單調遞減單調遞增

f(x)

284

3

因此，當x=2時，3f(x)有極大值，并且極大值為f(2)=.

28

3

當x=2時，f(x)有極小值，并且極大值為f(2)=.

4

3

函數f(x)=x34x+4的圖象如圖所示.

1

3

3

小結一般地，我們可以通過如下步驟求函數y=f(x)的極值：

第１步，確定函數的定義域；

第２步，求出導數f′(x)的零點；

第３步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在

各

區間上的正負，由此得出函數y=f(x)在定義域內的單調性，進而求出函數的

極值.

下面我們小結一下本節課的學習內容.在之前的學習中，我們利用導數的正負

性來研究函數的單調性，進而又利用導數的零點來研究函數的極值點，體現了

課

2

堂導數的工具性作用.

分

小

鐘要提醒同學們的是，要注意判斷零點附近導數的正負性有無變化，是怎么

結

變化的，另外，我們還可以利用極值和極值點的定義去進行判斷.

在整個探究過程中，我們也體會到了數形結合、化歸轉化的數學思想.

1.導函數y=f′(x)的圖象如圖所示．在標記的點中，在哪一點處

(1)導函數y=f′(x)有