第六章平面向量及其應用

6.4.3第2課時正弦定理

一、教學目標

1.了解正弦定理的多種證明方法，尤其是向量證明法；

2.掌握正弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；

3.通過對正弦定理的學習，培養學生數學抽象、數學運算、數學建模等數學素養。

二、教學重難點

1.利用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題；

2.正弦定理的證明，正弦定理在解三角形時應用思路。

三、教學過程：

1、創設情境：

某游覽風景區欲在兩山之間架設一條觀光索道,現要測的兩山之間B、C兩點的距離,如

何求得B、C兩點的距離?現在岸邊選定1公里的基線AB,并在A點處測得∠A=600，在C點

測得∠C=450,如何求得B.C兩點的距離?

學生活動1

探究1：你能把它轉化成數學問題，寫出已知量和要求的量嗎？

學生活動2B

c

探究2：在ABC中，如何求邊BC的長呢？回憶一下直角三a

角形的邊角關系?（C為直角）

CbA

如右圖，RtABC中的邊角關系：

abc

sinA___c_____；sinB___c_____；sinC____c=1____；

abc

∴sinA____c____；sinB____c____；sinC____c____；

abc

∴______sinAsinBsinC____________________________

那么，上述結論，如何證明？

（學生小組活動探究）

探究3：這個關系式對任意ABC也成立嗎

二.建構數學

探究4：如何證明這個等式？（教師點撥）

(作高法)

在ΔABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c，

abc

1.在RtΔABC中，∠C=900,csinA=a,csinB=b，即sinAsinB=sinC。

ab

2.在銳角ΔABC中，過C做CD⊥AB于D，則|CD|=bsinA=asinB，即sinAsinB，

acabc

同理得sinAsinC，故有sinAsinBsinC。

3.在鈍角ΔABC中，∠B為鈍角，過C做CD⊥AB交AB的延長線D，則|CD|=bsinA=asinB，

ababc

即sinAsinB，故有sinAsinBsinC。

（學生小組活動探究）

（向量法）過A作單位向量j垂直于AC，由AC+CBAB，兩邊同乘以單位向量j得

j?(AC+CB)j?AB，則j?AC+j?CBj?AB

∴|j|?|AC|cos90+|j|?|CB|cos(90C)=|j|?|AB|cos(90A)

ac

∴asinCcsinA∴sinA=sinC

cbabc

同理，若過C作j垂直于CB得：sinC=sinB∴sinAsinBsinC

探究5：還有其它的證明方法嗎？課后嘗試用其它方法來證明!

abc

正弦定理：在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等，即：sinA=sinB=sinC它適

合于任何三角形。

探究6：正弦定理結構的最大特點是什么？

____結構和諧、對稱體現了數學的和諧美與對稱美_____________________

探究7：正弦定理里面包含了幾個等式？

abacabc

生答：3個sinAsinB，sinA=siinCA，sinBsinC

每個等式中有幾個量？

生答：4個

解斜三角形是指由六個元素(三條邊和三個角)中的三個元素(至少有一個是邊)，求其余

三個未知元素的過程。

學生活動3如圖下列哪些可以直接使用正弦定理解三角形？

歸納使用正弦定理解三角形的條件:_____（1）已知兩角及任一邊，求其他兩邊和一角

___________________________________

___（2）已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）______

三.數學應用

例1.某游覽風景區欲在兩山之間架設一條觀光索道,現要測的兩山之間B、C兩點的距

離,如何求得B、C兩點的距離?現在岸邊選定1公里的基線AB,并在A點處測得∠A=600，在

C點測得∠C=450,如何求得B.C兩點的距離?

accsinA

解：由正弦定理得a5006

sinAsinC，，所以sinC

答：BC長為5006米

變題:在△ABC中，已知b=10,A=60,C=45,求角B,a和c

答案：B=1050,a=1526;c=10310

總結:此問題歸為已知兩角和任一邊求其他兩邊和一角

例2.在△ABC中，已知a=16，b=163，A=3，求角B，C和邊c

ab

解：由正弦定理得sinAsinB

bsinA163sin303

sinB

解得a162

2

B或者

所以33

2asinC

當B時,C,c32;當B時,C,c16;

3236sinA

變題:在△ABC中，已知a=16，b=162，B=45°.求角A，C和邊c

ab

解：由正弦定理得sinAsinB

asinB16sin451

sinA

解得b1622

ab

AB450

0

法一、A30

C18003004501050

c8(26)

A300

c8(26)

00

法二、當A30時,C105,c8(26);

當A1500時,C1500,不存在;

A300

c8(26)

總結:此問題歸為已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角（從而進一