教學設計

課程基本信息

2020QJ

課例編號11SXR學科數學年級高二學期上學期

A061

課題數學歸納法（1）

書名：普通高中教科書數學A版選擇性必修2

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學人員

姓名單位

授課教師楊若晨北京市廣渠門中學

指導教師雷曉莉北京市東城區教師研修中心

教學目標

教學目標：

1.了解數學歸納法的原理和步驟，會用數學歸納法證明關于正整數n的數學命題.

2.借助具體實例，通過對證明一個數學命題的過程和多米諾骨牌全部倒下的過程的類

比和分析，獲得證明數學命題的方法，進而推廣為數學歸納法的原理和步驟.

3.感受類比的數學思想方法，提升數學抽象素養.

教學重點：數學歸納法的原理.

教學難點：類比多米諾骨牌全部倒下的過程，理解數學歸納法的原理.

教學過程

時間教學環節主要師生活動

問題1如何證明與正整數n有關的數學命題？

師生活動：教師呈現問題情境，引發學生思考.

1

問題2已知數列a滿足a1，a(nN)，計算

n1n12a

問題導入n

，猜想其通項公式，并證明你的猜想

a2，a3，a4.

師生活動：教師提醒學生：已知反映相鄰兩項關系的遞推公式，又

已知首項，那么我們就可以求出該數列的每一項.學生在教師的指導

1

下，令，就有，把代入，可得同理，

n=1a2a11a21.

2a1

1

令，就有，把代入，可得我們用同樣

n=2a3a21a31.

2a2

的方法可以求出也等于看上去這個數列的每一項都是，由此

a41.1

猜想，該數列的通項公式就是教師提出問題：該如

an1(nN).

何證明這個猜想呢？有的學生可能會說：從n=5開始一個個往下驗

證唄！此時，教師提醒學生注意：一般來說，與正整數n有關的命

題，當n比較小時可以逐個驗證.但當n較大時，驗證起來會很麻煩.

尤其是我們這里要證明n取所有正整數都成立，這是一個無限的問

題，逐一驗證是不可能的，我們無法用常規方法嚴格證明.因此，我

們很有必要尋求一種新的方法，這種方法能讓我們通過有限個步驟

的推理，證明n取所有正整數時命題都成立.

問題3能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？

師生活動：學生在教師的引導下，通過對視頻的觀察，歸納使所有

骨牌都能倒下的條件有兩個：第一塊骨牌倒下，并且任意相鄰的兩

塊骨牌，前一塊倒下一定能導致后一塊倒下.

追問（1）：條件（1）的作用是什么？

師生活動：教師提醒學生：如果第一塊骨牌不倒，那么后面的骨牌

自然也不會倒.所以第一塊骨牌倒下，給所有骨牌倒下提供了基礎，

類比遷移

這個條件必不可少.

追問（2）：條件（2）的作用是什么？

師生活動：教師提醒學生：若骨牌間距過大，導致前一塊骨牌無法

推倒后一塊骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下.可以看出，條件（2）

實際上是給出了一個遞推關系：第k塊骨牌倒下，能推出第k+1塊

骨牌倒下.假設有無限多塊骨牌，我們可以想象前一塊推倒后一塊的

動作將永遠進行下去.也就是說，無論有多少塊骨牌，只要保證這兩

個條件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下.這就是骨牌原理.

追問（）：證明猜想“數列的通項公式是”

3anana1(n1)d

與多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個

問題嗎？

師生活動：教師引導學生回顧猜想該數列通項公式是的過程：

an1

學生發現這個過程蘊含著一個與多米諾骨牌游戲的條件（2）類似的

遞推結構：以成立為條件，推出也成立它相當于命

ak1ak11.

題：當n=k時猜想成立，則n=k+1時猜想也成立.學生在教師引導下

發現只要能證明這個命題，就可以在的條件下，由這個命題

a11

得到：對任意正整數，成立教師引導學生證明該命題：如

nan1.

1

果時猜想成立，即，那么，把代入，

n=kak1ak1ak1

2ak

11

也就是說，當時，猜想也成立這樣

ak11.n=k+1.

2ak21

我們就證明了這個命題.我們猜想的通項公式也就得到了驗證.教師

引導學生把這個猜想的證明過程與骨牌原理進行類比.

教師總結：通過以上類比、遷移的過程，我們找到了“通過有限個

步驟的推理，證明n取所有正整數時命題都成立”的方法.這個方法，

就叫做數學歸納法.

問題4什么是數學歸納法？

學習新知師生活動：教師呈現數學歸納法的定義：一般地，證明一個與正整

數有關的命題，可按下列步驟進行：（）證明當（）

n1nn0n0N

時命題成立；（）以“當（，≥）時命題成立”為

2n=kkNkn0

條件，推出“當n=k+1時命題也成立”.只要完成這兩個步驟，就可

以斷定命題對從開始的所有正整數都成立，這種證明方法稱為

n0n

數學歸納法特別地，當時，命題就對從開始的正整數成立，

.n011

也就是對所有正整數都成立.

追問（1）：數學歸納法中的兩個步驟都必要嗎？

師生活動：學生在教師的引導下理解第一步是命題遞推的基礎，確

定了時命題成立，成為后面遞推的出發點，沒有它，

nn0nn0

遞推就成為無源之水.就好比多米諾骨牌，只有推倒其中一塊骨牌，

后面的骨牌才有可能倒.我們把第一步稱為是歸納奠基.而第二步是

命題遞推的依據，即確認一種遞推關系，好比是多米諾骨牌游戲中，

如果第k塊骨牌倒下，那么要保證第k+1塊骨牌也能倒下，再加之

k的任意性，即保證了骨牌倒下去的傳遞性.類似地，借助第二步，

命題成立的范圍就能從正整數開始，向后一個數接一個數地無限

n0

傳遞到以后的每一個正整數，從而完成證明所以，我們把第二步

n0.

稱為是歸納遞推.“歸納奠基”和“歸納遞推”這兩個步驟缺一不可.

只有把兩步的結論結合起來，才能斷定命題對從開始的所有正整

n0

數n都成立.

追問（2）：數學歸納法的兩個步驟之間有什么關系？

師生活動：教師向學生解釋這兩個步驟之間既相互依存，又彼此聯

系，是一個有機的整體.如果我們記P（n）是一個關于正整數n的命

題第一步驗證了當時結論成立，即為真第二步是證明

.nn0P(n0).

一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：若

為真，則也為真完成這兩步，就

P(k)(kN，kn0)P(k1).

有真，真……真，真……結論就是

P(n0)P(n01)P(k)P(k1).

P(n)為真，從而完成證明.需要注意的是，第二步實際上就是從

P(k)推出P(k1)：P(k)P(k1).

追問（3）：如何理解P(k)P(k1)的意義？

師生活動：教師引導學生注意，這個關系所關注的不是P(k)和

P(k1)是否分別成立，而是命題“若P(k)為真，則P(k1)也為

真”是否成立，它強調的是這二者之間是否有遞推關系.

例用數學歸納法證明：如果是一個公差為的等差數列，那

1and

么①對任何多成立

ana1(n1)dnN.

師生活動：教師提醒學生注意因為等差數列的通項公式涉及全體正

整數，所以用數學歸納法證明的第一步應證明n=1時命題成立.（1）

當時，左邊，右邊，所以①式成立這樣就完

n=1a1=a10da1.

成了第一步.關于第二步，教師引導學生明確證明的目標，即要證明

一個新命題：如果n=k時①式是正確的，那么n=k+1時①式也是正

確的（）假設當（）時①式成立，即，

.2n=kkNaka1(k1)d

學生尋找之間的遞推關系：根據等差數列的定義，有

典例鞏固ak1與ak

，于是，就是

ak1akdak1akdak1a1(k1)dd.

學生此時可能會迷茫于接下來該沿著哪個方向化簡.教師引導學生

注意：我們一定要把”證明的目標“牢記在心！此時的目標就是要

證明n=k+1時①式也是正確的，把n給換成k+1，那也就是要證明

學生比較兩個式子，發現應該要把給提

ak1a1(k1)1d.d

出來，即，它自然也就是，

ak1a1(k1)1da1(k1)1d

這樣我們就證明了n=k+1時①式也成立.由這兩步可知，①式對任何

nN都成立.

問題5這節課學習了哪些知識？

課堂小結

師生活動：學生回顧本節課，歸納出這節課學習了一種證明與正整

數n有關的數學命題的方法，就是數學歸納法.

追問（1）：為什么要應用數學歸納法？

師生活動：學生在教師指導下歸納：我們之所以要應用數學歸納法，

是因為有些問題用常規方法很難解.此時，我們需要尋求新的思路，

即：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數時命題都成立.

數學歸納法也就應運而生了.所以，引入數學歸納法是很有必要的，

有些時候是其他方法難以替代的.

追問（2）：數學歸納法是怎樣的一種方法？

師生活動：學生在教師的引導下總結：首先，數學歸納