第八章立體幾何初步

8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握直線與直線之間、直線與平面之間、平面與平面之間的三種位置關(guān)系，會用圖形語言

和符號語言表示；

2.理解兩異面直線的定義，會用平面襯托來畫異面直線；

3.通過對空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀

想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點

1.直線與直線之間、直線與平面之間、平面與平面之間的三種位置關(guān)系，會用圖形語言和符

號語言表示；

2.異面直線判定．

三、教學(xué)過程：

（1）創(chuàng)設(shè)情景

閱讀課本，請大家思考下列問題.

（2）新知探究

問題1:空間兩條直線如果不平行就一定相交嗎？你能找出兩條既不平行又不相交的例子

嗎？

學(xué)生回答，教師點撥,揭示出異面直線的定義.

練習(xí):垂直于同一條直線的兩條直線，有幾條種位置關(guān)系？

生答:平行、相交、異面

問題2:一支粉筆所在的直線與黑板面（或桌面）所在的平面之間有哪些可能的位置關(guān)系？

學(xué)生回答，教師點撥,揭示出直線與平面之間的三種位置關(guān)系

問題3:仔細(xì)觀察正方體，看兩個平面可能有哪幾種位置關(guān)系？

學(xué)生回答，教師點撥,揭示出平面與平面之間的三種位置關(guān)系

(提出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容)

（3）新知建構(gòu)

異面直線的定義:不同在任何一個平面的兩條直線叫做異面直線.

畫法:

用符號可表示為：如圖，若l,A,B,Bl，則直線AB與l是異面直

A

lB

α

線．

空間兩條直線的位置關(guān)系：

位置關(guān)系特點

相交同一平面內(nèi)，有且只有1個公共點

平行同一平面內(nèi)，沒有公共點

異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點

直線與平面的位置關(guān)系：

直線a在平面α外

位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a與平直線a與平

面α相交面α平行

公共點無數(shù)個公共點1個公共點0個公共點

a

符號表示aaba∥

a∥b

圖形表示

兩個平面的位置關(guān)系：

位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交

公共點0個有無數(shù)個公共點(在一條直線上)

符號表示//l,aA,aB.

圖形表示

（4）數(shù)學(xué)運用

例1.給出如下點、線、面的圖示.

（1）如何用文字語言表述以上點、線、面的位置關(guān)系？

（2）如何用數(shù)學(xué)符號語言表述上述關(guān)系？

【解析】文字語言：（1）點A在平面外，點B在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過點A,B，直線l與

平面相交.

（2）平面和相交于直線a，直線b經(jīng)過內(nèi)不在直線a上的點P且經(jīng)過內(nèi)不在直

線a上的點Q.

數(shù)學(xué)符號語言：（1）A,B,Al,Bl，lB.

（2）a,Pa,Qa,P，Q,Pb,Qb，bP,bQ.

變式訓(xùn)練1:如圖所示，用符號語言可表示為()

A．α∥β，l?αB．α∥β，l∈αC．l∥β，l?αD．α∩β＝l

【答案】A

【解析】由題意可知,圖中面面關(guān)系,線面關(guān)系用符號語言可表示為α∥β，l?α.故選：A

例2.已知如圖所示的長方體ABCDA1B1C1D1.

（1）與直線A1B異面的棱所在的直線有哪幾條？

（2）與直線A1B平行的平面有哪幾個？與直線A1B相交的平面有哪幾個？

【答案】答案見解析

【解析】（1）與直線A1B異面的棱所在的直線有6條,分別為DD1,DA,DC,C1D1,C1B1,C1C；

（2）與直線A1B平行的平面只有1個,為平面DCC1D1；與直線A1B相交的平面有4個,分

別為平面ADD1A1,

平面ABCD,平面BCC1B1,平面A1B1C1D1

變式訓(xùn)練:（多選）設(shè)直線l不在平面內(nèi)，直線m在平面內(nèi)，則下列說法不正確的是（）

A．直線l與直線m沒有公共點B．直線l與直線m異面

C．直線l與直線m至多一個公共點D．直線l與直線m不垂直

【答案】C

【解析】對于選項A，直線l不在平面內(nèi)，直線m在平面內(nèi)，但是，直線l與m可以相

交，故A錯誤；

對于選項B，直線l不在平面內(nèi)，直線m在平面內(nèi)，但是，直線l與m可以相交也可以

平行，故B錯誤；

對于選項C，直線l不在平面內(nèi)，直線m在平面內(nèi)，則直線l與直線m只可以平行或者

相交，不可能重合，所以，直線l與直線m至多一個公共點，故C正確；

對于選項D，直線l不在平面內(nèi)，直線m在平面內(nèi)，則當(dāng)直線l垂直于平面時，直線

l與直線m垂直，故D錯誤；故選：ABD

例3:在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有______組互相平行的

面，與其中一個側(cè)面相交的面共有______個.

【答案】46

【解析】六棱柱的兩個底面互相平行，每個側(cè)面與其直接相對的側(cè)面平行，故共有4組互相

平行的面.六棱柱共由8個面圍成，在其余的7個面中，與某個側(cè)面平行的面有1個，其余

6個面與該側(cè)面均為相交的關(guān)系.故答案為：46

變式訓(xùn)練:下列命題中，正確命題的個數(shù)是（）

①平行于同一條直線的兩個平面平行；

②平行于同一個平面的兩個平面平行；

③一個平面內(nèi)有一條直線與另