專題03函數的性質及應用目錄題型一：函數的性質易錯點01復合函數定義域的理解不當致錯易錯點02使用換元法忽略新元的范圍易錯點03研究單調性、奇偶性時忽略定義域易錯點04對分段函數的理解不到位出錯題型二函數與方程易錯點05忽略函數零點存在定理的條件易錯點06二次函數零點分布問題考慮不全題型一：函數的性質易錯點01：復合函數定義域理解不當致錯典例（23-24高二下·黑龍江·期末）已知函數，則函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由根式和復合函數的定義域求解即可.【詳解】由題可知的定義域為，則為使有意義必須且只需，解得，所以的定義域為.故選：D【易錯剖析】在求解過程中，根據函數解析式求出的定義域為，然后由=然后錯誤的由分別求出的范圍進而求出函數的定義域而出錯，出錯原因在于沒有理解復合函數定義域的正確意義.【避錯攻略】1復合函數的概念：若函數y=f(t)的定義域為A，函數t=g(x)的定義域為D，值域為C，則當時，稱函數y=f[g(x)]為f(t)與g(x)在D上的復合函數，其中x稱為自變量,t為中間變量，t=g(x)叫做內層函數，y=f(t)叫做外層函數.2抽象函數或復合函數的定義域：（1）函數的定義域是自變量x的取值范圍，比如：函數f(x)的定義域是指x的取值范圍，函數y=f[g(x)]的定義域也是指x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍.（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四個函數中的t，x，φ(x)，h(x)在對應關系f下的范圍相同，在同一函數作用下，括號內整體的取值范圍相同.（3）已知f(x)的定義域為A，求f[φ(x)]的定義域，其實質是已知φ(x)的取值范圍(值域)為A，求x的取值范圍.（4）已知f[φ(x)]的定義域為B，求f(x)的定義城，其實質是已知f[φ(x)]中x的取值范圍為B，求φ(x)的取值范圍(值域)，這個范圍就是f(x)的定義域.易錯提醒：已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同，另外對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域.1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·四川南充·開學考試）已知函數的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）已知函數的定義域為.記的定義域為集合的定義域為集合.則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件1．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）的定義域為（

）A．B．C．D．2．（24-25高三上·福建寧德·開學考試）已知函數的定義域是，則的定義域是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·山東煙臺·期中）若函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·山東菏澤·期中）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮彈發射后，經過落到地面擊中目標．炮彈的射高為，且炮彈距地面的高度（單位：）與時間（單位：）的關系為．該函數定義域為（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·河南新鄉·期中）已知函數，則函數的定義域是（

）A．B．C．D．7．（2024·山東·一模）函數的定義域是（

）A． B．C． D．8．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）已知的定義域為，則函數的定義域為9．（23-24高三上·福建莆田·開學考試）已知函數的定義域為，則函數的定義域為.10．（24-25高三上·青海西寧·階段練習）函數的定義域為易錯點02：使用換元法忽略新元的范圍典例（24-25高一上·吉林·階段練習）已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【易錯剖析】本題求解時設，換元后要注意這一范圍，如果忽略新元的范圍，容易錯選A.【避錯攻略】1.換元法換元就是引入輔助未知數,把題中某一個(些)字母的表達式用另一個(些)字母的表達式來代換,這種解題方法,叫做換元法,又稱變量代換法.換元的實質是轉化,關鍵是構造元和設元,理論依據是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化.例如通過換元來降次,或化分式、根式為整式等,換元的關鍵是選擇適當的式子進行代換.常見的換元方法（1）根式代換：一般是指將根式部分通過換元，使原函數表達式轉化為我們所熟悉的一元二次方程形式；（2）整體代換：將所求表達式整體換元；（3）三角代換：三角代換分為兩種情況：①用三角函數的性質將代數或幾何問題轉化成三角問題，轉化的過程要注意定義域的取值問題；②逆向三角代換：是指將三角問題，通過換元法轉化成我們所熟悉的一元二次方程的問題。易錯提醒：換元要注意新舊變元的取值范圍的變化.要避免代換的新變量的取值范圍被縮小;若新變量的取值范圍被擴大了,則在求解之后要加以檢驗.1．（24-25高三上·江西上饒·階段練習）已知函數，則（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·重慶·階段練習）函數的值域為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川遂寧·模擬預測）下列函數滿足的是（

）A． B．C． D．1．（24-25高三上·全國·隨堂練習）函數的值域是（

）A．0,1 B． C． D．0,12．（2024高三·全國·專題練習）函數的值域為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習）若函數，則（

）A． B． C．1 D．25．（2024·四川·模擬預測）已知為定義在上的單調函數，且對，則（

）A． B．C． D．6．（2024·陜西·模擬預測）函數的最大值為（

）A．1 B． C． D．27．（23-24高一上·浙江寧波·開學考試）函數的最大值為.8．（24-25高三下·重慶·階段練習）若，則的解析式為．9．（23-24高三上·廣東江門·開學考試）函數的值域為.10．（23-24高二下·遼寧本溪·期末）已知函數滿足，則.11．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的值域為，則實數的值為．易錯點03：研究單調性、奇偶性時忽略定義域典例（2024高三·全國·專題練習）函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，再根據復合函數單調性的判斷方法求解出的單調遞減區間.【詳解】由可得，所以函數的定義域為，令，利用復合函數單調性判斷方法來分析的單調性，如下表：單調遞增單調遞增單調遞增單調遞減單調遞增單調遞減由表知，的單調遞減區間為．故選：C．【易錯剖析】本題再求單調區間時容易忽略定義域，而求出單調遞減區間為而致錯.【避錯攻略】函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域(或變量的允許值范圍)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。1.函數單調性與定義域函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。（1）單調區間區間I是定義域的子集，即應在函數的定義域內研究單調性．（2）如果函數y＝f(x)存在多個單調區間，應當用“，”或“和”連接．（3）單調性是函數的局部性質，增(減)函數是函數的整體性質．（4）復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.2.函數奇偶性與定義域偶函數的定義：如果對一切使F(x)有定義的x，F(－x)也有定義，并且F(－x)＝F(x)成立，則稱F(x)為偶函數．奇函數的定義：如果對一切使F(x)有定義的x，F(－x)也有定義，并且F(－x)＝－F(x)成立，則稱F(x)為奇函數．(1)奇偶函數定義的等價形式．奇函數?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0，偶函數?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0．(2)函數具有奇偶性的前提是定義域關于原點對稱．一個函數不論是奇函數還是偶函數，定義域必須關于原點對稱，否則這個函數就不滿足是奇函數或是偶函數的條件，即這個函數既不是奇函數也不是偶函數．例如y＝eq\r(x)，定義域為[0，＋∞)，不具有奇偶性．易錯提醒：利用函數性質解決題目的時候，應該養成先求定義域的習慣，要注意定義域對自變量的限制.1．（23-24高三上·浙江紹興·期末）函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知定義在上的函數，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·上?！て谥校┖瘮档钠媾夹詾?1．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習）函數的單調增區間為（

）A． B．C．和 D．2．（2024高三·全國·專題練習）函數的單調遞增區間為（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·陜西渭南·階段練習）若函數在區間上單調遞增，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（24-25高三上·陜西漢中·期中）設函數，則下列函數中為奇函數的是（

）A． B．C． D．5．定義在上的函數滿足，且，有，且，，則不等式的解集為（

）.A． B． C． D．6．已知函數，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．67．已知是定義在上的增函數，且，則的取值范圍是.8．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，則不等式的解集為．若函數f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，定義域為[a－1，2a]，則a＝，b＝．易錯點04：對分段函數的理解不到位出錯典例（24-25高三上·河北滄州·期中）若函數在上是增函數，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由分段函數在R上遞增需滿足條件可得答案.【詳解】設；.為使在R上遞增，則在上遞增，在上遞增，且，即.故選：B【易錯剖析】本題在求解過程中容易只注意到分段函數遞增，則每一段都遞增，忽略比較分段點處函數值的大小而錯選A.【避錯攻略】1．分段函數的定義在定義域內不同部分上，有不同的解析表達式．像這樣的函數，通常叫做分段函數．【理解】(1)分段函數是一個函數，而不是幾個函數．(2)處理分段函數問題時，要首先確定自變量的取值屬于哪一個范圍，然后選取相應的對應關系．要注意寫解析式時各區間端點的開閉，做到不重復、不遺漏．(3)分段函數的定義域是各段定義域的并集，分段函數的值域是分別求出各段上的值域后取并集．2．分段函數的題型（1）分段函數圖象的畫法①作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.②對含有絕對值的函數，要作出其圖象，首先應根據絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數轉化為分段函數，然后分段作出函數圖象.（2）分段函數的求值①確定要求值的自變量屬于哪一段區間．②代入該段的解析式求值，直到求出值為止．（3）求某條件下自變量的值(或范圍)先對x的取值范圍分類討論，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需檢驗所求的值是否在所討論的區間內．若題目是含有多層“f”的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理．（4）根據分段函數的解析式解不等式①對變量分類討論代入相應的解析式求解．②畫出分段函數的圖像判斷單調性，利用單調性求解．（5）求分段函數的最值分別求出每一段的最值或值域進行比較求出最值（6）根據單調性求參數從兩方面入手，一是分析各段的單調性，二是比較分段點的大小關系.易錯提醒：(1)求某條件下自變量的值時，先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后相應求出自變量的值，切記代入檢驗．已知分段函數的單調性求參數，切記不要漏掉分段點處函數值大小的比較，常見的類型及應滿足的條件如下：類型1：函數，在上單調増遞，則滿足兩個條件：(1)在上單調増遞增；(2)在上單調増遞增；(3).類型2：函數，在上單調増遞減，則滿足兩性個條件：(1)在上單調増遞減；(2)在上單調増遞減；(3).1．（2024·吉林·模擬預測）已知若，則實數的值為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．22．（24-25高三上·江蘇南京·期中）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是(

).A． B． C． D．3．（2024·浙江溫州·一模）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．1．（24-25高三上·山東濟寧·期中）已知函數，則（

）A．8 B． C． D．2．（24-25高三上·山東濰坊·階段練習）函數的最小值為（

）A． B． C．3 D．53．（23-24高三上·河北唐山·階段練習）已知函數則的值域為（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南郴州·模擬預測）已知函數在R上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·山東聊城·期中）設，若為的最小值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·新疆·模擬預測）已知函數存在最小值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（23-24高二下·湖南·階段練習）已知函數，若的值域是，則的值為（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·山東棗莊·階段練習）（多選）已知函數，則下列關于函數的結論正確的是（

）A． B．若，則x的值是C．的解集為 D．的值域為9．（24-25高三上·上海·期中）已知函數，其中對任意的，，且，總滿足不等關系，則實數的取值范圍是.10．（2024高三·全國·專題練習）若函數在R上是增函數，則實數的取值范圍為.11．（2024·山東·一模）已知且，若函數在上具有單調性，則實數的取值范圍是．題型二：函數與方程易錯點04：忽略函數零點存在定理的條件典例（24-25高三上·陜西西安·階段練習）若函數在上的圖象是一條連續不斷的曲線，且函數在內僅有一個零點，則的符號是（）A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定【答案】D【分析】利用零點存在定理、特例法判斷即可得出結論.【詳解】因為函數在上的圖象是一條連續不斷的曲線，且函數在內僅有一個零點，若函數在上單調，則；不妨取，則函數在只有唯一的零點，但；取，則函數在只有唯一的零點，但.因此，的符號不能確定.故選：D.【易錯剖析】本題【避錯攻略】1.函數的零點對于一般函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．2.方程、函數、圖象之間的關系方程f(x)＝0有實數解?函數y＝f(x)有零點?函數y＝f(x)的圖象與x軸有公共點.3.函數零點存在定理如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷__的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．【解讀】零點存在定理的適用條件：①函數f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.此判斷方法只能判斷出零點的存在性，而不能判斷出有多少個零點．該判斷零點存在與否的方法并不是對所有函數零點的判斷都適用．只有當函數圖象“穿過”x軸時，這種方法才能奏效．4.求函數y＝f(x)的零點的方法(1)代數法：根據零點的定義，解方程f(x)＝0，它的實數解就是函數y＝f(x)的零點．(2)幾何法：若方程f(x)＝0無法求解，可以根據函數y＝f(x)的性質及圖象和零點存在定理求出零點．(3)交點法：欲求f(x)－g(x)＝0的零點，可以轉化為求方程f(x)＝g(x)的解，可在同一坐標系中畫出f(x)，g(x)的圖象，其交點的橫坐標即為f(x)－g(x)＝0的零點，交點的個數對應零點的個數．易錯提醒：對函數零點存在的判斷需注意以下三點：(1)函數在上連續；（2）滿足；（3）在內存在零點.,上述方法只能求變號零點，對于非變號零點不能用上述方法求解.另外需注意的是：若函數的圖像在x＝x0處與x軸相切，則零點x0通常稱為不變號零點.函數的零點不是點，它是函數與x軸交點的橫坐標，是方程的根.1．（24-25山東濰坊期中）已知函數在區間上的圖象是連續不斷的，設：，：在區間中至少有一個零點，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（24-25高三上·湖北·期中）已知函數，那么在下列區間中含有函數零點的是（

）A． B． C． D．3．（2024·江西新余·模擬預測）關于的方程：的實根分布在區間（

）內.A． B． C． D．1．（24-25高三上·遼寧·期中）“”是“函數在區間內存在零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（24-25高三上·江蘇揚州·期中）若函數在區間上的圖象是一條不間斷的曲線，則“”是“函數在區間上有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（24-25高一上·山東菏澤·期中）若函數有三個零點，，，若，則零點所在區間為（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·北京延慶·期中）已知函數有兩個零點，在區間上是單調的，且在該區間中有且只有一個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）已知函數，則“”是“函數在區間上沒有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?，則“”是“函數有零點”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要7．（2024·浙江杭州·一模）設，滿足.若函數存在零點，則（

）A． B． C． D．8．（2024高三·全國·專題練習）若函數在區間上存在零點，則實數a的取值范圍為（??）A． B．C． D．9．（24-25高三上·廣東·階段練習）函數在上的零點個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．610．（2024高三·全國·專題練習）（多選）下列函數在區間內存在唯一零點的是（）A． B．C． D．易錯點06：二次函數的零點分布問題討論不全典例3．（23-24高三上·江西贛州·階段練習）函數的兩個不同的零點均大于1的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用零點分布規律求出的范圍，再利用充分不必要條件的定義求解即得.【詳解】由函數的兩個不同的零點均大于1，得，解得，因此所求充分不必要條件是的非空真子集，ABD不滿足，C滿足.故選：C【易錯剖析】本題在根據根的分布列不等式組時，容易因為考慮不全面漏掉條件而出錯.【避錯攻略】一元二次方程根的分布問題是高中數學的重要知識點之一，很多涉及函數零點個數問題或方程根的個數問題，經過換元后都能轉化為根的分布問題求解，一元二次方程根的分布問題主要有以下類型：1.一元二次方程根的0分布方程的根相對于零的關系。比如二次方程有一正根，有一負根，其實就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側.0分布結合判別式、韋達定理以及0處的函數值列不等式，即可求出參數的取值范圍。2.一元二次方程根的k分布分布情況兩根都小于即兩根都大于即一根小于，一大于即大致圖象（a>0）得出的結論大致圖象（a<0）得出的結論綜合結論（不討論a）3.一元二次方程根在區間的分布分布情況兩根都在內兩根僅有一根在內（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內，另一根在內，大致圖象（）得出的結論或大致圖象（）得出的結論或綜合結論（不討論）——————易錯提醒：研究二次函數零點的分布，一般從以下三個方面考慮：(1)一元二次方程根的判別式；(2)對應二次函數區間端點函數值的正負；(3)對應二次函數圖象，即拋物線的對稱軸x＝－eq\f(b,2a)與區間端點的位置關系．1．（24-25高三上·四川眉山·開學考試）若函數在區間內恰有一個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·吉林·模擬預測）若函數既有極大值也有極小值，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·安徽·階段練習）已知函數若方程有6個不同的實數根，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．1．（2024高三·全國·專題練習）關于x的方程有兩個不相等的實數根，且，那么a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習）方程在區間和各有一個根的充要條件是（

）A． B．C． D．3．（2024·陜西咸陽·三模）已知函數的兩個零點分別在區間和上，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·北京石景山·期中）若關于的一元二次方程有兩個實根，且一個實根小于1，另一個實根大于2，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·江蘇蘇州·階段練習）已知函數.若函數有8個不同的零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（23-24高一上·浙江杭州·階段練習）（多選）已知在上有兩實根，則的值可能為（

）A． B． C． D．7．（2024高三·全國·專題練習）若方程得兩根滿足，則實數的取值范圍是.8．（24-25高三上·山西呂梁·開學考試）已知函數在區間有零點，則的取值范圍是.9．（23-24高三上·寧夏石嘴山·階段練習）若二次函數在區間上存在零點，則實數m的取值范圍是.10．（2024高三·全國·專題練習）若函數在上至少有一個零點.則實數的取值范圍為.11．（23-24高三上·河北石家莊·期末）關于的方程有3個不等實數根，則的取值范圍是．專題03函數的性質及應用目錄題型一：函數的性質易錯點01復合函數定義域的理解不當致錯易錯點02使用換元法忽略新元的范圍易錯點03研究單調性、奇偶性時忽略定義域易錯點04對分段函數的理解不到位出錯題型二函數與方程易錯點05忽略函數零點存在定理的條件易錯點06二次函數零點分布問題考慮不全題型一：函數的性質易錯點01：復合函數定義域理解不當致錯典例（23-24高二下·黑龍江·期末）已知函數，則函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由根式和復合函數的定義域求解即可.【詳解】由題可知的定義域為，則為使有意義必須且只需，解得，所以的定義域為.故選：D【易錯剖析】在求解過程中，根據函數解析式求出的定義域為，然后由=然后錯誤的由分別求出的范圍進而求出函數的定義域而出錯，出錯原因在于沒有理解復合函數定義域的正確意義.【避錯攻略】1復合函數的概念：若函數y=f(t)的定義域為A，函數t=g(x)的定義域為D，值域為C，則當時，稱函數y=f[g(x)]為f(t)與g(x)在D上的復合函數，其中x稱為自變量,t為中間變量，t=g(x)叫做內層函數，y=f(t)叫做外層函數.2抽象函數或復合函數的定義域：（1）函數的定義域是自變量x的取值范圍，比如：函數f(x)的定義域是指x的取值范圍，函數y=f[g(x)]的定義域也是指x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍.（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四個函數中的t，x，φ(x)，h(x)在對應關系f下的范圍相同，在同一函數作用下，括號內整體的取值范圍相同.（3）已知f(x)的定義域為A，求f[φ(x)]的定義域，其實質是已知φ(x)的取值范圍(值域)為A，求x的取值范圍.（4）已知f[φ(x)]的定義域為B，求f(x)的定義城，其實質是已知f[φ(x)]中x的取值范圍為B，求φ(x)的取值范圍(值域)，這個范圍就是f(x)的定義域.易錯提醒：已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同，另外對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域.1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據抽象函數定義域的求法及分式和對數有意義，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意可知，要使Fx只需要，解得，所以，所以函數Fx的定義域為.故選：D.2．（24-25高三上·四川南充·開學考試）已知函數的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意求出的定義域，結合函數列出相應不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意可知函數的定義域為，即，故，則的定義域為，則對于，需滿足，即的定義域為，故選：C3．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）已知函數的定義域為.記的定義域為集合的定義域為集合.則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先利用抽象函數的定義域求得集合A，B，再利用充分條件、必要條件的定義判斷.【詳解】的定義域為.當時，的定義域為，即.令，解得的定義域為，即.“”是“”的必要不充分條件，故選：B.1．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）的定義域為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】復合函數定義域問題，分解函數，分別求定義域再求交集.【詳解】令，函數的定義域為：，函數的定義域：，則，即，所以的定義域為故選：A2．（24-25高三上·福建寧德·開學考試）已知函數的定義域是，則的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據給定條件，利用抽樣函數定義域列式求解即得.【詳解】由函數的定義域是，得，因此在函數中，，解得，所以所示函數的定義域為.故選：A3．（24-25高三上·山東煙臺·期中）若函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用抽象函數求定義域的相關概念，即可求解.【詳解】由x<2，得，且，所以，因此，故函數的定義域為.故選：D.4．（24-25高三上·山東菏澤·期中）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對于函數f2x+1，先由求出，而對于函數fx?1，應使，解出，即得函數fx?1的定義域.【詳解】因為函數f2x+1的定義域為，由可得，對于函數fx?1，由可得，即函數fx?1的定義域為．故選：B．5．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮彈發射后，經過落到地面擊中目標．炮彈的射高為，且炮彈距地面的高度（單位：）與時間（單位：）的關系為．該函數定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據實際意義分析即可.【詳解】由題意可知，炮彈發射后共飛行了，所以，即函數的定義域為.故選：C6．（24-25高三上·河南新鄉·期中）已知函數，則函數的定義域是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據的表達式，即可結合根式以及分式的性質求解.【詳解】,由且，得且，所以函數的定義域是.故選：D7．（2024·山東·一模）函數的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由函數有意義得，解該不等式即可得解.【詳解】要使函數有意義，則，即，所以或，解得或，所以函數的定義域為.故選：D.8．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）已知的定義域為，則函數的定義域為【答案】【分析】根據函數成立的條件，建立條件關系即可.【詳解】因為的定義域為，要使函數有意義，則，即，解得，所以定義域為.故答案為：9．（23-24高三上·福建莆田·開學考試）已知函數的定義域為，則函數的定義域為.【答案】【分析】利用給定的函數有意義，列不等式求解作答.【詳解】函數的定義域為，則由有意義，得，解得，即，所以函數的定義域為.故答案為：10．（24-25高三上·青海西寧·階段練習）函數的定義域為【答案】【分析】根據題意，結合函數的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數有意義，則滿足，可得，即，解得，所以函數的定義域為.故答案為：.易錯點02：使用換元法忽略新元的范圍典例（24-25高一上·吉林·階段練習）已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用換元法求函數解析式，注意函數的定義域即可.【詳解】令，由，則，即.故選：C.【易錯剖析】本題求解時設，換元后要注意這一范圍，如果忽略新元的范圍，容易錯選A.【避錯攻略】1.換元法換元就是引入輔助未知數,把題中某一個(些)字母的表達式用另一個(些)字母的表達式來代換,這種解題方法,叫做換元法,又稱變量代換法.換元的實質是轉化,關鍵是構造元和設元,理論依據是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化.例如通過換元來降次,或化分式、根式為整式等,換元的關鍵是選擇適當的式子進行代換.常見的換元方法（1）根式代換：一般是指將根式部分通過換元，使原函數表達式轉化為我們所熟悉的一元二次方程形式；（2）整體代換：將所求表達式整體換元；（3）三角代換：三角代換分為兩種情況：①用三角函數的性質將代數或幾何問題轉化成三角問題，轉化的過程要注意定義域的取值問題；②逆向三角代換：是指將三角問題，通過換元法轉化成我們所熟悉的一元二次方程的問題。易錯提醒：換元要注意新舊變元的取值范圍的變化.要避免代換的新變量的取值范圍被縮小;若新變量的取值范圍被擴大了,則在求解之后要加以檢驗.1．（24-25高三上·江西上饒·階段練習）已知函數，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法求函數的解析式.【詳解】令，則，且，則，可得，所以.故選：B.2．（24-25高一上·重慶·階段練習）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用換元法轉化為二次函數求解值域即可．【詳解】根據題意知函數定義域為，令，所以，當時，，所以函數的值域為.故選：C.3．（2024·四川遂寧·模擬預測）下列函數滿足的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，則，結合各選項代入驗證，即可判斷答案．【詳解】令，，則，由可得，對于A，，故A錯誤；對于B，，不滿足，B錯誤；對于C，，即，即，C正確；對于D，，即不成立，D錯誤．故選：C．1．（24-25高三上·全國·隨堂練習）函數的值域是（

）A．0,1 B． C． D．0,1【答案】C【分析】利用換元法，結合反比例函數的單調性進行求解即可.【詳解】令，函數，在時，單調遞減，因此，當時，，所以的值域是，故選：C2．（2024高三·全國·專題練習）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，，運用換元法轉化為求三角函數在給定區間上的值域.【詳解】令，，則，∵，∴，∴，∴，故選：B．3．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習）若函數，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】由二倍角公式結合換元法求出函數解析式即可求解.【詳解】因為所以，則，所以.故選：B.5．（2024·四川·模擬預測）已知為定義在上的單調函數，且對，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意，設，用求的值，進而可得的解析式，從而可得.【詳解】設，則，所以，即，設，易知在上單調遞增，所以，即，故，所以．故選：B．6．（2024·陜西·模擬預測）函數的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】令，則，設，再結合三角函數的性質即可得解.【詳解】函數的定義域為，令，則，設，可得，當時，有最大值為2，所以函數的最大值為2.故選：D.7．（23-24高一上·浙江寧波·開學考試）函數的最大值為.【答案】/【分析】首先將函數化簡，利用對勾函數的單調性，即可求函數的最值.【詳解】，設，而在上單調遞增，所以，當且僅當時等號成立，則.所以函數的最大值為.故答案為：8．（24-25高三下·重慶·階段練習）若，則的解析式為．【答案】【分析】直接利用換元法求函數解析式即可.【詳解】令，則，因為，所以，故，故答案為：．9．（23-24高三上·廣東江門·開學考試）函數的值域為.【答案】【分析】令,將原函數轉化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】的定義域為，令，當且僅當，即x=?1時取“等號”∴fx的值域為.故答案為：10．（23-24高二下·遼寧本溪·期末）已知函數滿足，則.【答案】【分析】利用解方程組法和換元法即可求解.【詳解】由①，得②，由①②得，則，令，則，所以，故.故答案為：.11．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的值域為，則實數的值為．【答案】13【分析】令，則，結合二次函數的性質即可求解.【詳解】由題意可得可得，令，則，，∴當時取得最大值，但由于，故當即時，，解得．故答案為：13．易錯點03：研究單調性、奇偶性時忽略定義域典例（2024高三·全國·專題練習）函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，再根據復合函數單調性的判斷方法求解出的單調遞減區間.【詳解】由可得，所以函數的定義域為，令，利用復合函數單調性判斷方法來分析的單調性，如下表：單調遞增單調遞增單調遞增單調遞減單調遞增單調遞減由表知，的單調遞減區間為．故選：C．【易錯剖析】本題再求單調區間時容易忽略定義域，而求出單調遞減區間為而致錯.【避錯攻略】函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域(或變量的允許值范圍)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。1.函數單調性與定義域函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。（1）單調區間區間I是定義域的子集，即應在函數的定義域內研究單調性．（2）如果函數y＝f(x)存在多個單調區間，應當用“，”或“和”連接．（3）單調性是函數的局部性質，增(減)函數是函數的整體性質．（4）復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.2.函數奇偶性與定義域偶函數的定義：如果對一切使F(x)有定義的x，F(－x)也有定義，并且F(－x)＝F(x)成立，則稱F(x)為偶函數．奇函數的定義：如果對一切使F(x)有定義的x，F(－x)也有定義，并且F(－x)＝－F(x)成立，則稱F(x)為奇函數．(1)奇偶函數定義的等價形式．奇函數?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0，偶函數?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0．(2)函數具有奇偶性的前提是定義域關于原點對稱．一個函數不論是奇函數還是偶函數，定義域必須關于原點對稱，否則這個函數就不滿足是奇函數或是偶函數的條件，即這個函數既不是奇函數也不是偶函數．例如y＝eq\r(x)，定義域為[0，＋∞)，不具有奇偶性．易錯提醒：利用函數性質解決題目的時候，應該養成先求定義域的習慣，要注意定義域對自變量的限制.1．（23-24高三上·浙江紹興·期末）函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函數的定義域，再利用復合函數單調性可求得函數的單調遞減區間.【詳解】由，，解得或，所以函數的定義域為，令，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，而函數在上為增函數，由復合函數單調性可得的單調遞減區間為.故選：C.2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知定義在上的函數，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據的奇偶性以及單調性，即可將問題轉化為，即可求解.【詳解】記，則所以所求解不等式為，，是奇函數在上是增函數由得，化簡得，所以的取值范圍是，故選：B.3．（24-25高三上·上?！て谥校┖瘮档钠媾夹詾?【答案】非奇非偶函數【分析】先求得函數的定義域，然后根據奇偶性的定義來求得正確答案.【詳解】由解得，所以的定義域是，由于的定義域不對稱，所以是非奇非偶函數.故答案為：非奇非偶函數1．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習）函數的單調增區間為（

）A． B．C．和 D．【答案】C【分析】令，根據二次函數的性質求出的單調區間，再由復合函數的單調性即可得函數的單調增區間.【詳解】設，則有且，，則，所以函數的定義域為：且，由二次函數的性質可知的單調遞增區間為：；單調遞減區間為：和；又因為在區間和上單調遞減，由復合函數的單調性可知：函數的單調增區間為：和.故選：C.2．（2024高三·全國·專題練習）函數的單調遞增區間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函數的定義域，再根據二次函數及復合函數的性質求解即可.【詳解】由題意可得，即，解得或，令（或），則，因為的對稱軸為，所以在上遞減，在上遞增，因為在定義域內遞增，所以在上遞減，在上遞增.故選：C3．（24-25高三上·陜西渭南·階段練習）若函數在區間上單調遞增，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復合函數的單調性，結合對數函數、二次函數的單調性即可求解.【詳解】由于在上單調遞減，令，，因為為減函數，又在區間上單調遞增，由復合函數的單調性法則可知，在上單調遞減，且在上恒成立，因為為二次函數，開口向下，對稱軸為，由在上單調遞減，可得，解得，由在上恒成立，即，，可得在上恒成立，則，綜上，實數a的取值范圍為故選：D4．（24-25高三上·陜西漢中·期中）設函數，則下列函數中為奇函數的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】運用奇函數的定義證明即可.【詳解】，則,定義域為R,且，則是奇函數.故選：D.5．定義在上的函數滿足，且，有，且，，則不等式的解集為（

）.A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：，即，，，可轉化為：，即，即，滿足，且，有，在上單調遞增，即，解得：，即不等式的解集為：.故選：C.6．已知函數，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】C【詳解】因為，且，則或，解得.故選：C7．已知是定義在上的增函數，且，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意可得，，解得.所以的取值范圍是.故答案為：.8．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，則不等式的解集為．【答案】0,1【分析】先把函數寫成分段函數的形式，利用二次函數的性質分析函數單調性，把函數不等式轉化為代數不等式，求解即可.【詳解】由已知得，則在上單調遞減，∴解得，∴所求不等式的解集為．答案：.若函數f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，定義域為[a－1，2a]，則a＝，b＝．【答案】eq\f(1,3)0【解析】因為偶函數的定義域關于原點對稱，所以a－1＝－2a，解得a＝eq\f(1,3)．又函數f(x)＝eq\f(1,3)x2＋bx＋b＋1為二次函數，結合偶函數圖象的特點，易得b＝0．易錯點04：對分段函數的理解不到位出錯典例（24-25高三上·河北滄州·期中）若函數在上是增函數，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由分段函數在R上遞增需滿足條件可得答案.【詳解】設；.為使在R上遞增，則在上遞增，在上遞增，且，即.故選：B【易錯剖析】本題在求解過程中容易只注意到分段函數遞增，則每一段都遞增，忽略比較分段點處函數值的大小而錯選A.【避錯攻略】1．分段函數的定義在定義域內不同部分上，有不同的解析表達式．像這樣的函數，通常叫做分段函數．【理解】(1)分段函數是一個函數，而不是幾個函數．(2)處理分段函數問題時，要首先確定自變量的取值屬于哪一個范圍，然后選取相應的對應關系．要注意寫解析式時各區間端點的開閉，做到不重復、不遺漏．(3)分段函數的定義域是各段定義域的并集，分段函數的值域是分別求出各段上的值域后取并集．2．分段函數的題型（1）分段函數圖象的畫法①作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.②對含有絕對值的函數，要作出其圖象，首先應根據絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數轉化為分段函數，然后分段作出函數圖象.（2）分段函數的求值①確定要求值的自變量屬于哪一段區間．②代入該段的解析式求值，直到求出值為止．（3）求某條件下自變量的值(或范圍)先對x的取值范圍分類討論，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需檢驗所求的值是否在所討論的區間內．若題目是含有多層“f”的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理．（4）根據分段函數的解析式解不等式①對變量分類討論代入相應的解析式求解．②畫出分段函數的圖像判斷單調性，利用單調性求解．（5）求分段函數的最值分別求出每一段的最值或值域進行比較求出最值（6）根據單調性求參數從兩方面入手，一是分析各段的單調性，二是比較分段點的大小關系.易錯提醒：(1)求某條件下自變量的值時，先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后相應求出自變量的值，切記代入檢驗．已知分段函數的單調性求參數，切記不要漏掉分段點處函數值大小的比較，常見的類型及應滿足的條件如下：類型1：函數，在上單調増遞，則滿足兩個條件：(1)在上單調増遞增；(2)在上單調増遞增；(3).類型2：函數，在上單調増遞減，則滿足兩性個條件：(1)在上單調増遞減；(2)在上單調増遞減；(3).1．（2024·吉林·模擬預測）已知若，則實數的值為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2【答案】B【分析】分和，求解，即可得出答案.【詳解】當時，，則，解得：（舍去）；當時，，則，解得：.故選：B.2．（24-25高三上·江蘇南京·期中）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是(

).A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一次函數和二次函數單調性，結合分段函數區間端點的函數值大小關系求解即可.【詳解】已知函數，當時，單調遞增，所以最大值為；當且時，在上單調遞增，最小值為；所以要使函數在上單調遞增，則，解得或(舍去).故選：C.3．（2024·浙江溫州·一模）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可知當時，的取值范圍是，當時，的最大值為，且注意到趨于負無窮時，也會趨于負無窮，由此即可列出不等式求解.【詳解】當時，的取值范圍是，注意到，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，的最大值為，且注意到趨于負無窮時，也會趨于負無窮，若函數的值域為，則當且僅當，解得.故選：A.1．（24-25高三上·山東濟寧·期中）已知函數，則（

）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】利用分段函數求值.【詳解】因為函數，所以，即，故選：B.2．（24-25高三上·山東濰坊·階段練習）函數的最小值為（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】根據給定條件，分段探討函數的單調性，進而求出最小值.【詳解】當時，函數在上單調遞增，；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，所以當時，.故選：B3．（23-24高三上·河北唐山·階段練習）已知函數則的值域為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別求每段函數的值域，再求并集.【詳解】在上單調遞增，所以，在上單調遞增，所以，因為，，所以函數的值域是.故選：A4．（2024·湖南郴州·模擬預測）已知函數在R上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分段函數單調遞減，需滿足每一段函數均單調遞減，且分段處左端點函數值大于等于右端點函數值，從而得到不等式，求出答案.【詳解】顯然在上單調遞減，要想在R上單調遞減，則，解得.故選：D5．（24-25高三上·山東聊城·期中）設，若為的最小值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，先求得時的最小值，再由導數可得時的最小值，再由為的最小值列出不等式，代入計算，即可得到結果.【詳解】當時，，對稱軸為，當時，即，，當時，即，，不符合題意，所以，當時，，則，令，則，當時，f′x<0，則當x∈0,+∞時，f′則是函數的極小值點，又為的最小值，則滿足，即，解得，又，所以實數的取值范圍是0,1.故選：A6．（2024·新疆·模擬預測）已知函數存在最小值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據分段函數分別應用復合函數單調性及導數求解單調性，分段求解函數值范圍及最值再比較列不等式關系即可.【詳解】當時，函數單調遞減，無最小值；當時，函數當時，函數，所以單調遞增，當時，要使函數存在最小值，即.故選：C.7．（23-24高二下·湖南·階段練習）已知函數，若的值域是，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出函數圖像，由分段函數中定義域的范圍分別求出值域的取值范圍再結合二次函數和對數運算可得正確結果.【詳解】當時，，因為的值域是，又在上單調遞減，所以.故選：C.8．（24-25高三上·山東棗莊·階段練習）（多選）已知函數，則下列關于函數的結論正確的是（

）A． B．若，則x的值是C．的解集為 D．的值域為【答案】ABD【分析】將代入，得，將代入，可知A正確；分別在和的情況下，根據解析式構造不等式和方程可判斷BC正誤；分別在和的情況下，結合一次函數和二次函數的值域求法可知D正確.【詳解】對于A，因為，則，所以，故A正確；對于B，當時，，解得：（舍）；當時，，解得：（舍）或；的解為，故B正確；對于C，當時，，解得：；當時，，解得：；的解集為，故C錯誤；對于D，當時，；當時，；的值域為，故D正確.故選：ABD.9．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?，其中對任意的，，且，總滿足不等關系，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】根據單調性定義可得函數單調遞減，再根據分段函數單調性的判斷方法即可求解．【詳解】由,結合單調性定義可得函數在上單調遞減，則由分段函數單調性可得：，即，故答案為：10．（2024高三·全國·專題練習）若函數在R上是增函數，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】根據分段函數單調性的判定方法可列得不等式組，即可求出結果.【詳解】由題意知，在區間上是增函數，在區間1,+∞上是增函數，且，∴實數應滿足，解得，故實數的取值范圍為，故答案為：.11．（2024·山東·一模）已知且，若函數在上具有單調性，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】利用分段函數的單調性，結合指數函數單調性，按單調遞減和單調遞增分類列式求解.【詳解】函數在上單調，當在上單調遞減時，，解得；當在上單調遞增時，，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為：題型二：函數與方程易錯點04：忽略函數零點存在定理的條件典例（24-25高三上·陜西西安·階段練習）若函數在上的圖象是一條連續不斷的曲線，且函數在內僅有一個零點，則的符號是（）A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定【答案】D【分析】利用零點存在定理、特例法判斷即可得出結論.【詳解】因為函數在上的圖象是一條連續不斷的曲線，且函數在內僅有一個零點，若函數在上單調，則；不妨取，則函數在只有唯一的零點，但；取，則函數在只有唯一的零點，但.因此，的符號不能確定.故選：D.【易錯剖析】本題【避錯攻略】1.函數的零點對于一般函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．2.方程、函數、圖象之間的關系方程f(x)＝0有實數解?函數y＝f(x)有零點?函數y＝f(x)的圖象與x軸有公共點.3.函數零點存在定理如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷__的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．【解讀】零點存在定理的適用條件：①函數f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.此判斷方法只能判斷出零點的存在性，而不能判斷出有多少個零點．該判斷零點存在與否的方法并不是對所有函數零點的判斷都適用．只有當函數圖象“穿過”x軸時，這種方法才能奏效．4.求函數y＝f(x)的零點的方法(1)代數法：根據零點的定義，解方程f(x)＝0，它的實數解就是函數y＝f(x)的零點．(2)幾何法：若方程f(x)＝0無法求解，可以根據函數y＝f(x)的性質及圖象和零點存在定理求出零點．(3)交點法：欲求f(x)－g(x)＝0的零點，可以轉化為求方程f(x)＝g(x)的解，可在同一坐標系中畫出f(x)，g(x)的圖象，其交點的橫坐標即為f(x)－g(x)＝0的零點，交點的個數對應零點的個數．易錯提醒：對函數零點存在的判斷需注意以下三點：(1)函數在上連續；（2）滿足；（3）在內存在零點.,上述方法只能求變號零點，對于非變號零點不能用上述方法求解.另外需注意的是：若函數的圖像在x＝x0處與x軸相切，則零點x0通常稱為不變號零點.函數的零點不是點，它是函數與x軸交點的橫坐標，是方程的根.1．（24-25山東濰坊期中）已知函數在區間上的圖象是連續不斷的，設：，：在區間中至少有一個零點，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據給定條件利用充分條件、必要條件的定義分析判斷即可作答.【詳解】由“函數在區間上的圖象是連續不斷的，且”，根據零點存在定理，可得在區間上至少存在一個零點，所以能推出，反之，當在區間中至少有一個零點時，比如，在上有一個零點，但是，所以不能推出，故是的充分不必要條件。故選：A.2．（24-25高三上·湖北·期中）已知函數，那么在下列區間中含有函數零點的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】我們將通過計算區間端點的函數值的正負來判斷函數在哪個區間存在零點.【詳解】因為在上均單調遞減，則在上單調遞減，對A，可得.因為冪函數在上單調遞增，所以，且函數在上連續不間斷，則在上無零點，故A錯誤；對B，因為在上單調遞減，則，則，且函數在上連續不間斷，故在上存在零點，故B正確；對C，因為，且函數在上連續不間斷，則在上無零點，故C錯誤；對D,計算，且函數在上連續不間斷，則在上無零點，故C錯誤；故選：B.3．（2024·江西新余·模擬預測）關于的方程：的實根分布在區間（

）內.A． B． C． D．【答案】B【分析】根據導數以及零點存在性定理來求得正確答案.【詳解】令，當時，，此時無零點，排除A.當時，，此時無零點，排除D.當時，，而，所以單調遞減，而，故.又，且，故，所以.故選：B1．（24-25高三上·遼寧·期中）“”是“函數在區間內存在零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由零點存在性定理確定的范圍，再結合集合間包含關系即可判斷.【詳解】由函數在區間內存在零點得，解得或所以“”是“函數在區間內存在零點”的充分不必要條件，故選：A3．（24-25高三上·江蘇揚州·期中）若函數在區間上的圖象是一條不間斷的曲線，則“”是“函數在區間上有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據函數零點存在定理：如果函數在區間上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點.來判斷兩個條件之間的關系.【詳解】充分性判斷:若，因為函數在區間上的圖象是一條不間斷的曲線，根據零點存在定理可知，函數在區間上有零點，所以“”是“函數在區間上有零點”的充分條件.

必要性判斷:當函數在區間上有零點時，比如函數在區間[0,2]上有零點，此時，，，即存在函數在區間上有零點時，的情況，所以“”不是“函數在區間上有零點”的必要條件.

綜上所得，“”是“函數在區間上有零點”的充分不必要條件.故選：A.3．（24-25高一上·山東菏澤·期中）若函數有三個零點，，，若，則零點所在區間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先可得，，從而得到，再由零點存在性定理判斷即可.【詳解】依題意可得，則，所以，顯然為連續函數，又，所以，，，，，根據零點存在性定理可知的第三個零點.故選：A4．（24-25高一上·北京延慶·期中）已知函數有兩個零點，在區間上是單調的，且在該區間中有且只有一個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數的單調區間，再結合集合的包含關系及零點存在性定理列式求解即得.【詳解】函數在上單調遞減，在上單調遞增，由在區間上是單調的，且在該區間中有且只有一個零點，得且或且，則或，解得或，所以實數的取值范圍是.故選：C5．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）已知函數，則“”是“函數在區間上沒有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據題意，結合函數零點的定義，分別驗證充分性以及必要性，即可得到結果.【詳解】因為函數在區間上的圖象是連續不斷的，當，不能推出函數在區間上沒有零點，故充分性不滿足；當函數在區間上沒有零點時，可以推出，故必要性滿足；所以“”是“函數在區間上沒有零點”的必要不充分條件.故選：B6．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?，則“”是“函數有零點”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要【答案】A【分析】根據特值法與零點存在定理可快速得出結論.【詳解】函數，定義域為，當時，，當時，，根據零點存在定理，知此時函數必有零點，所以充分性成立；當，時，，易知，所以函數有零點，此時，所以必要性不成立.故“”是“函數有零點”的充分不必要條件.故選：.7．（2024·浙江杭州·一模）設，滿足.若函數存在零點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數的單調性，結合函數的零點判斷定理判斷選項的正誤即可．【詳解】函數的定義域為，且均為單調遞增函數，故函數是增函數，由于，故，滿足，說明中有1個是負數一定是，兩個正數或3個負數，由于存在零點，故．故選：B．8．（2024高三·全國·專題練習）若函數在區間上存在零點，則實數a的取值范圍為（??）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用導數判斷函數在給定區間上的單調性，再根據題設條件，結合零點存在定理得到不等式組，求解即得.【詳解】由在區間上恒為正可得，函數在區間上為增函數，依題意，函數在區間上存在零點，則由零點存在定理可得，且，解得.故選：C.9．（24-25高三上·廣東·階段練習）函數在上的零點個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出給定函數的周期，在區間上利用導數及零點存在性定理確定零點個數即可得解.【詳解】函數都是周期函數，其最小正周期為，則函數的最小正周期為，當時，，求導得，當時，，，函數在上單調遞減，，函數在上有唯一零點；當時，令，求導得，，，而，則，函數在上單調遞增，而，存在，使得，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，，函數在上無零點；當時，，求導得，當時，，，，，函數在上單調遞增，，則函數在上存在唯一零點；當時，令，求導得，，，而，則，函數在上單調遞減，而，存在，使得，當時，，當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，，函數在上無零點；從而函數在有且只有2個零點，函數在有2個零點，在上有1個零點，而，且，所以函數在上有5個零.點故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題求解零點個數，探討函數的周期，再在區間上分段討論零點個數是關鍵.10．（2024高三·全國·專題練習）（多選）下列函數在區間內存在唯一零點的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由一元二次方程的根可得A錯誤；先判斷函數的單調性，再分別求出，結合零點存在定理得到BCD正確；【詳解】對于A，因為的解為或4，所以在區間內沒有零點，故A錯誤；對于B，因為在上為增函數，且，，即，所以在區間內存在唯一零點，故B正確；對于C，因為在R上為增函數，且，，即，∴在區間內存在唯一零點，故C正確；對于D，因為在上為減函數，且，，即，所以在區間內存在唯一零點，故D正確；故選：BCD.易錯點06：二次函數的零點分布問題討論不全典例3．（23-24高三上·江西贛州·階段練習）函數的兩個不同的零點均大于1的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用零點分布規律求出的范圍，再利用充分不必要條件的定義求解即得.【詳解】由函數的兩個不同的零點均大于1，得，解得，因此所求充分不必要條件是的非空真子集，ABD不滿足，C滿足.故選：C【易錯剖析】本題在根據根的分布列不等式組時，容易因為考慮不全面漏掉條件而出錯.【避錯攻略】一元二次方程根的分布問題是高中數學的重要知識點之一，很多涉及函數零點個數問題或方程根的個數問題，經過換元后都能轉化為根的分布問題求解，一元二次方程根的分布問題主要有以下類型：1.一元二次方程根的0分布方程的根相對于零的關系。比如二次方程有一正根，有一負根，其實就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側.0分布結合判別式、韋達定理以及0處的函數值列不等式，即可求出參數的取值范圍。2.一元二次方程根的k分布分布情況兩根都小于即兩根都大于即一根小于，一大于即大致圖象（a>0）得出的結論大致圖象（a<0）得出的結論綜合結論（不討論a）3.一元二次方程根在區間的分布分布情況兩根都在內兩根僅有一根在內（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內，另