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2021年初賽試題及參考解答112、設z=z(x,y)是由方程2sin(x+2y?3z)=x+2y?3z所確定的二元隱函【解】將方程兩邊分別關于x和y求偏導，得 =1，其中ξ介于0,x之間.22【解】三條直線的對稱式方程分別為所以三條直線平行. 設圓柱面上任意點的坐標為Q(x,y,z)，因為點Q到軸線的距離均為·2，【解】根據重積分的對稱性，得原式sinx2cosy2dxdy=siny2cosx2dxdy收斂，并求極限xn.yn+133易知，當x>時所以是單調減少且有下界的數列，令yn=A，則A>0且A=f解得.因此y=C1e?x+C2e?13x.------------4分22?13xe13tdt.------------6分?13x2e?13x|+e?xf(t)etdt+e?13xf(t)e13tdt2?xetdt+e?13xe13tdt2是有界的.44f(x,y,z)=a1x4+a2y4+a3z4+3a4x2y2+3a5y2z2+3a6x2z2，f(tx,ty,tz)=t4f(x,y,z).對上式兩邊關于t求導，得xf1,(tx,ty,tz)+yf2,(tx,ty,tz)+zf3,(tx,ty,tz)=4t3f(x,y,z).xfx,(x,y,z)+yfy,(x,y,z)+zfz,(x,y,z)=4f(x,y,z).------------5分設曲面Σ上點(x,y,z)處的外法線方向的方向余弦為(cosα,cosβ,cosY)，則cosα=x,cosβ=y,cosY=z，因此------------2dxdydz(利用高斯公式)五、(14分)設函數f(x)在閉區間[a,b]上有連續的二階導數，證明：2021年初賽試題及參考解答55其中x∈[xk?1,xk]，ηk介于0和x之間.于是------------4分設f,,(x)在[xk?1,xk]上的最大值和最小值分別為Mk，mk，因為2Bn因為f,,(x)在[a,b]上連續，所以f,,(x)在[a,b]上可積.根據定積分f,,(x)dx的定2021年初賽試題及參考解答66根據夾逼準則，lim.

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