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○○第十五屆全國大學生數學競賽決賽試卷參考答案(數學類低年級組，2024年4月)題號一二三四五六七總分滿分得分一、(本題20分，每小題5分)填空題4.微分方程xy+y=cosx定義在(-x,+x)上的全局解為1x2+2y2+3z2=4.e?=(A?1,A?2,A?3),e?=(A?1,A?2,A?3),e?=(A?1,A?2,A?3).則P+te;=(x+Ajit,y+Aj?t,z+Aj?(A}?+2A}2+3A}?)t2+2(xA;1+2yAj?+△=4[(xA;1+2yAj?+3zA;3)2-(A}?+2A}2+3A;?)(x2+2y2+32-(A2?+2A}2+3A}?)(x2+2y2+3z2-4)=0,j=1,2,3.x2+4y2+9z2-6(x2+2y2+3z2-4)=0.5x2+8y2+9z2=24.○○3三、(本題14分)設A∈Rn×n,E為單位矩陣.求證A?=E當且僅當rank(E-A)+rank(E+A+A2f(x)(1-x)+g(x)(1+x+x2+x3)=1.……......................….......................(5分)故可經分塊初等變換化為rank(E-A)+rank(E+A+A2+A3)=n+rank(A?-E).4四、(本題20分)設f,g(ii)若進一步假設f,g--○○○-○---則5令注：將(ii)中f,g為分段常值函數改為Riemann可積函數，結論仍然成立.當f,g只是Riemann可積時，f,g限制在相應的E,F上不一定積分看作Lebesgue積分.6五、(本題10分)設A為n(n≥3)階實可逆矩陣，且A^相似于A對k=X=A,1≤p<q≤s+1.○每個m;均整除于n!,當然更有m∈{1,…,n!}.結果λ1m=1,…,X"=1.7其初等因子為(λ-1)2.所以J與Ji有相同的初等因子，結果有相同的…...............................8六、(本題16分)設0<a?<a?,證明.已知a?<a?.假設則-(6分)-○○○○---——9七、(本題10分)設f,g為(-α,+x)上的連續函數且當x≠0時，xf(x)>0.證證明.法I.設x(.)為一個周期函數，T>0為它的周期.則V'(t)=g((x(t))x'(t)+x'(t)x"(t)=g((x(t)x'(t)+x'(t)(-f(x'(t))常數.故有V'(t)=-x'(t)f(x'(t))=0(t∈[0,T]),從而x'(t)=0(t∈[0,

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