試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數學壓軸題專練：二次函數綜合（線段周長問題）1．直線與拋物線相交于和，點P是線段上異于C，D的動點，過點P作垂直x軸，交拋物線于點M．(1)求拋物線的解析式；(2)直接寫出的x的取值范圍；(3)是否存在這樣的P點，使的長有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由．2．如圖，二次函數的圖象與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，且圖象經過點，，連接．(1)求a，b的值．(2)P是拋物線上的一點，且位于x軸上方，是否存在點P，使得的面積恰好為4？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．(3)M（不與點A，C重合）是線段上的一個動點，過點M作軸，垂足為D．延長，交拋物線于點E，過點E作，垂足為F，求周長的最大值．3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A和點B，A在B的左側，與y軸交于點C，點P為直線上方拋物線上一動點．(1)求直線的解析式；(2)過點作y軸的平行線交于點M，求線段時點的坐標；(3)過作軸，交于M，當的值最大時，求的坐標和的最大值．4．如圖，拋物線與軸交于點，（點在點右側），與軸交于點，直線經過點，，點為拋物線上一動點．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點在第一象限內直線上方的拋物線上運動，過點作垂直拋物線的對稱軸于點，作于點，當時，求點的坐標；(3)點在拋物線對稱軸上運動，當點，關于直線對稱時，請直接寫出點的坐標．5．已知，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點B，C，與y軸交于點A，其中．(1)求拋物線的函數表達式(2)如圖1，連接，點P是直線上方拋物線上一動點，過點P作軸交于點K，過點K作軸，垂足為點E；求的最大值并求出此時點P的坐標；6．在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接，．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)如圖，點是拋物線上位于直線下方一動點，過點作軸的平行線交直線于點，點是軸上的一個動點，連接，當線段長度取得最大值時，求的最大值，及此時點的坐標；(3)如圖，將拋物線，先向右平移個單位長度，再像上平移個單位長度，得到新拋物線，點是新拋物線上一點，連接，當時，請求出點的坐標．7．如圖，拋物線與y軸交于，且對稱軸，頂點為H．(1)求拋物線的解析式；(2)點P是拋物線上位于對稱軸左側x軸上方的一個動點．過點P作x軸的平行線交拋物線于點D，作x軸的垂線交x軸于點F，過點D作x軸的垂線交x軸于點E，四邊形的周長為C：①當周長C最大時，求點P的坐標；②如圖2，當周長C最大時，點P，D的位置分別記為，將拋物線平移，使其頂點始終在直線，當平移后的拋物線與射線只有一個公共點時，設此時拋物線的頂點橫坐標為，求m的值．8．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，其中點A的坐標為，與y軸交于點C，點在拋物線上；(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得周長最小，若存在，求出P點的坐標及周長的最小值．9．如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，連接，，．(1)求拋物線的表達式；(2)若點P是上一動點，求的最小值．10．如圖，拋物線與x軸交于，兩點．(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使的周長最小？若存在，請求出M點的坐標，若不存在，請說明理由．11．如圖，拋物線與軸交于點，，與直線交于，兩點，且經過點．(1)求拋物線的解析式；(2)過點作軸，與直線交于點，作軸，與拋物線交于點．①當時，求的長；②若，直接寫出的取值范圍．12．拋物線與x軸交于點A，C（點A在點C的右側），與y軸交于點B．一次函數經過點A，B．(1)求k，b的值；(2)如圖1，過點C的直線交線段于點M，若，直接寫出點M的坐標；(3)如圖2，點D是第一象限內拋物線上的一個動點，過點D作軸交于點E，，垂足為F．當時，求點F的坐標．13．如圖，拋物線經過A，B，C三點．已知點B的坐標為，且．(1)求A，C兩點的坐標；(2)求拋物線的解析式；(3)若點P是直線下方的拋物線上的一個動點，作于點D，當的值最大時，求此時點P的坐標及的值．14．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸，y軸的正半軸上，．經過點O，A的拋物線L：交AB于點C，點C的橫坐標為1．點P在線段AB上，當點P與點C不重合時，過點P作軸，與拋物線交于點Q.以PQ為邊向右側作矩形，且．設點P的橫坐標為m時，解答下列問題．(1)求此拋物線L的解析式；(2)當拋物線的頂點落在邊上時，求m的值；(3)矩形為正方形時，直接寫出m的值．15．已知，如圖，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線經過A、C兩點．(1)直接寫出拋物線的解析式；(2)P為拋物線上異于A、C的一點，若點P關于直線的對稱點Q落在y軸上，求P點坐標；(3)現將拋物線平移，保持頂點在直線上，若平移后的拋物線與直線交于M、N兩點．①求：的長度；②結合（2）的條件，直接寫出的周長的最小值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數學壓軸題專練：二次函數綜合（線段周長問題）》參考答案1．(1)(2)(3)存在，線段有最大值【分析】本題考查了二次函數的綜合運用，涉及了待定系數法求函數解析式，配方法求最值等知識點，解答本題的關鍵是根據解析式設出點和點的坐標，列出的代數式．（1）將點坐標代入直線解析式，求出的值，然后把坐標代入二次函數解析式，求出，即可求得拋物線的解析式；（2）根據圖象即可求解．（3）設動點的坐標為，點的坐標為，表示出的長度，然后利用配方法求出二次函數的最大值，并求出此時的值．【詳解】（1）解：∵在直線上，∴，即，∵和在拋物線上，，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵點和點是拋物線和直線的交點，結合圖象可得：的x的取值范圍是．（3）解：存在，理由如下：設動點的坐標為，點的坐標為，，，∴拋物線開口向下，有最大值，∴當時，線段有最大值．2．(1)，(2)存在．點，(3)的周長的最大值為【分析】此題考查了二次函數的圖象和性質、二次函數的面積綜合題、二次函數的周長線段綜合題，數形結合是解題的關鍵．（1）把點，分別代入函數解析式得到方程組，解方程組即可；（2）設點，根據題意得到，解一元二次方程即可得到答案；（3）求直線的解析式為．設點，則點，得到，，則的周長．根據二次函數的性質即可求出答案．【詳解】（1）∵二次函數的圖象經過點，，∴解得（2）存在．由（1），得，，∴二次函數的解析式為．令，得，解得，．∵二次函數的圖象與x軸交于點A，B，∴點，，∴．設點，∴，∴，解得，，∴點，．（3）令，得，∴點，設直線AC的解析式為解得∴直線的解析式為．設點，則點，∴．∵點，∴．∵，∴．∵軸，∴∥軸，∴，∴，∴，∴的周長．∵∴當時，的周長有最大值，最大值為，∴的周長的最大值為．3．(1)(2)(3)點的坐標為和的最大值為【分析】本題考查了二次函數的應用、一次函數的應用、一元二次方程的應用等知識，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．（1）先根據拋物線的解析式求出點的坐標，再利用待定系數法求解即可得；（2）設點的坐標為，則，再根據建立方程，解方程求出的值，由此即可得；（3）設點的坐標為，則點的坐標為，先求出，再利用二次函數的性質求出最小值，由此即可得．【詳解】（1）解：當時，，解得或，∵拋物線與軸交于點和點，在的左側，∴，，當時，，∴，設直線的解析式為，將點，代入得：，解得，∴直線的解析式為．（2）解：設點的坐標為，由（1）可知，，∵點為直線上方拋物線上一動點，∴，∵過點作軸的平行線交于點，∴，∴，∵，∴，解得，∴，∴點的坐標為．（3）解：由題意，設點的坐標為，則點的坐標為，∴，∵，∴，∴，由二次函數的性質可知，當時，的值最大值，最大值為，此時，綜上，點的坐標為和的最大值為．4．(1)(2)(3)點的坐標為或【分析】（1）先由一次函數求出，，再用待定系數法求出拋物線的解析式即可；（2）過點P作軸交直線于點F，求出，得到，設點P的坐標為，則，得到，求出拋物線的對稱軸為直線，得到，則，解方程求出答案；（3）設對稱軸與直線相交于點G，與x軸相交于點M，連接，分點P在直線上方和點P在直線下方兩種情況分別畫出圖形，分別進行解答即可．【詳解】（1）解：當時，，解得，當時，，∴點，，經過點，，

解得拋物線的函數解析式為：（2）過點P作軸交直線于點F，∵∴，∵∴，∵，∴，∵，∴，設點P的坐標為，則，∴，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，解得（不合題意，舍去）∴（3）設對稱軸與直線相交于點G，與x軸相交于點M，連接，如圖，當點P在直線上方時，∵軸，∴，∵點，關于直線對稱，∴，∴，∴，把代入得到，則，∴點P的縱坐標為1，把代入得到，解得（不合題意，舍去）∴，∴，∴點Q的坐標為，同理，如圖，當點P在直線下方時，∵，∴點P的縱坐標為1，把代入得到，解得（不合題意，舍去），，∴，∴，∴點Q的坐標為，綜上可知，點Q的坐標為或．【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質、軸對稱的性質、待定系數法求函數解析式、一次函數和二次函數的交點問題、解直角三角形等知識，綜合性強，分情況討論是解題的關鍵．5．(1)；(2)的最大值為4，此時點P的坐標為．【分析】本題主要考查了二次函數綜合，求二次函數解析式，一次函數與幾何綜合，熟知二次函數的相關知識是解題的關鍵．（1）利用待定系數法求解即可；（2）先求出點A坐標，進而求出直線解析式，設出點P坐標，進而表示出點K，點E的坐標，則可表示出，據此利用二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解；把代入中得：，∴，∴拋物線的函數表達式為（2）解：在中，當時，，∴，設直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為，設，則，∴，∴，，∴，∵，∴當時，有最大值，最大值為4，∴的最大值為4，此時點P的坐標為．6．(1)(2)的最大值為，此時點的坐標為(3)點的坐標為或【分析】本題主要考查了二次函數綜合，相似三角形的性質與判定，一次函數與幾何綜合等等，正確作出輔助線并利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．（1）拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，待定系數法求解析式，即可求解；（2）先求得直線的解析式為．設，則，得出的關系式，進而得出當點，，三點在一條直線上時，取得最大值為，延長，交軸于點，得出為等腰直角三角形，進而得出點的坐標為；（3）根據平移得出新拋物線的解析式，設直線與軸交于點，證明，，根據相似三角形的性質得出的坐標，進而求得直線的解析式為，聯立拋物線解析式，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，，，該拋物線的函數表達式為；（2）設直線的解析式為，，，直線的解析式為．設，則，點是拋物線上位于直線下方一動點，，，當時，取得最大值為，此時點．點是軸上的一個動點，，當點，，三點在一條直線上時，取得最大值為，延長，交軸于點，如圖，則軸，，，，，，，為等腰直角三角形，，為等腰直角三角形，，．當線段長度取得最大值時，的最大值為，此時點的坐標為；（3），將拋物線，先向右平移個單位長度，再像上平移個單位長度，得到新拋物線的解析式為．設直線與軸交于點，如圖，，，，，，，，，，，，，，．，，，，，．設直線的解析式為，，，直線的解析式為．，，．點的坐標為或7．(1)拋物線的解析式為；(2)①當C最大時，點P的坐標為；②或．【分析】（1）利用待定系數法求出拋物線解析式即可；（2）①設點P的橫坐標為p，根據對稱性得出點D的橫坐標為，求出，，則周長，求出最大值即可；②求出直線的解析式為，直線的解析式為，得出平移后拋物線的解析式為，分兩種情況：當拋物線平移后對稱軸右側部分與射線只有一個公共點時，當拋物線平移后對稱軸左側部分與射線只有一個公共點時，這個公共點在線段上，求出n的取值范圍即可．【詳解】（1）解：根據題意得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：①∵，∴；令，則，解得，，由（1）知，拋物線的對稱軸為直線．設點P的橫坐標為p，由對稱性可知，點D的橫坐標為，

當時，，∴，由題意可得：四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴當時，C取最大值18，此時．∴當C最大時，點P的坐標為；②由①可知，，設的解析式為：，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，同理由，可求得直線的解析式為，當時，，∴平移后拋物線的頂點坐標為，∴平移后拋物線的解析式為．

當拋物線平移后對稱軸右側部分與射線只有一個公共點時，，整理得，∴，解得：；當拋物線平移后對稱軸左側部分與射線只有一個公共點時，這個公共點在線段上(不包括點H)，當在平移后的拋物線上時，，解得(舍去)，，∴，綜上可知，或．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，求一次函數解析式，二次函數解析式，二次函數的最值問題，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握二次函數的性質．8．(1)(2)，【分析】（1）根據的坐標，待定系數法求解析式即可；（2）先求得點的坐標，根據拋物線的對稱性可得，當△PAD周長確定最小值時，三點共線，進而根據勾股定理求兩點坐標距離即可求得最小值，再求解直線的解析式即可得到的坐標．【詳解】（1）解：在二次函數的圖象上，解得拋物線的解析式為；（2）解：對稱軸為如圖，連接，關于軸對稱的周長等于，當三點共線時，的周長取得最小值，最小值為由拋物線解析式，令，即，解得，，，∴，，的周長的最小值為，，設直線為，∴，解得：，∴直線為，當時，，∴．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數，勾股定理的應用，一次函數的解析式，根據拋物線的對稱性求線段和的最小值，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．9．(1)(2)【分析】本題考查了二次函數的綜合題，待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的性質和判定，拋物線與坐標軸的交點，二次函數求最值．（1）首先求出，，然后證明出得到，然后利用待定系數法求解即可；（2）依據垂線段最短，利用等積法求解即可．【詳解】（1）當時，，∴，即，∵，即∵∴，∵∴∴

∴即把點，點代入，得，

解得：∴；（2）當時，取最小值，∵，則，，解得：，∴的最小值為．10．(1)(2)【分析】本題主要考查了利用拋物線與x軸的交點坐標確定函數解析式，二次函數的性質及圖象上的坐標特征，解題的關鍵是利用待定系數法得到關于b、c的方程，解方程即可解決問題（1）由拋物線與x軸交點，得到方程的兩根，然后利用根與系數即可確定b、c的值，即可得出解析式，（2）點B是點A關于拋物線對稱軸的對稱點，在拋物線的對稱軸上有一點M，要使的值最小，則點M就是BC與拋物線對稱軸的交點，利用待定系數法求出直線的解析式，把拋物線對稱軸代入即可得到點M的坐標；【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點．∴方程的兩根為或，∴，，∴，，∴該拋物線的解析式（2）∵點A、B關于對稱軸對稱，∴點M為與對稱軸的交點時，的值最小，設直線的解析式為，解得∶，∴直線的解析式為，∵拋物線的對稱軸為直線，∴把代入，得．∴拋物線對稱軸上存在點符合題意．11．(1)(2)①；②或【分析】本題考查了二次函數綜合，待定系數法求解析式，二次函數與不等式綜合；（1）先求得點的坐標，進而由待定系數法即可求解；（2）①當時，即，則，即點，則，當時，，即點，則，即可求解；②當且，則，且，即可求解；當且，同理可解【詳解】（1）拋物線與軸交于點，，拋物線與直線交于，兩點，則點，則，解得：所以拋物線的表達式為：；（2）①由題意：點，當時，即，則，即點，則，當時，，即點，則，則；②點，當時，即，則，即點，則，當時，，即點，則，當且，即則，且，解得：，即；當且，即則，且，解得：，即；綜上，或．12．(1)，(2)(3)F點坐標或F點坐標為【分析】（1）先求出，，將代入解方程組即可；（2）設，其中，求解，結合，再建立方程求解即可；（3）過點作軸于點G，過點E作于點H，由（1）得一次函數解析式為：，設，則，則，得到，可得或，得到為等腰直角三角形，在中，由勾股定理得，而，則在中，由勾股定理得，故當時，此時，；當時，此時，；【詳解】（1）解：當，，解得：或，∴，當，∴，將代入得：，解得：；（2）解：由（1）得直線為，∵過點C的直線交線段于點M，∴設，其中，∵，∴，∵，∴，解得：，∴；（3）解：過點作軸于點G，過點E作于點H，由（1）得一次函數解析式為：，∵點在直線上，∴設，則，∴，∴，解得：或，∴或，∵，∴，而，∴，∵軸，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴在中，由勾股定理得，又軸，∴，∴在中，由勾股定理得，∴當時，此時，∴；當時，此時∴，綜上所述：或；【點睛】本題考查了二次函數與面積的綜合題，涉及待定系數法求一次函數解析式，拋物線與坐標軸的交點問題，勾股定理等知識點，熟練掌握知識點是解題的關鍵．13．(1)，(2)(3)最大值為，此時點【分析】（1）根據點B的坐標得出，則，即可得出點的坐標，結合當時，，可得點C的坐標；（2）將，，代入，利用待定系數法即可求解；（3）先求出直線的解析式，過點P作y軸的平行線交于點H，設點，則點，利用勾股定理可得，則，即可求解．【詳解】（1）解：∵點B的坐標為，∴，∵，∴，∴，當時，，∴；（2）將，，代入得：，解得：，∴該拋物線的解析式為：；（3）設直線函數表達式為：，將點，代入得：，解得：，∴直線的表達式為：，過點P作y軸的平行線交于點H，∵，∴，∵軸，∴，則，由，得，設點，則點，∴，∵，∴當時，有最大值，其最大值為，此時點．【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，涉及到一次函數，勾股定理，用二次函數關系表示是解題的關鍵．14．(1)拋物線L的解析式為(2)(3)m的值為或【分析】本題考查了待定系數法求函數