試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數學總復習壓軸題訓練-二次函數與交點的問題1．如圖，已知的圓心在軸上，且經過、兩點，拋物線也經過、兩點，與軸的交點為，頂點為．(1)求點和的坐標（用含的代數式表示）；(2)連接、，當時，求的正切值；(3)當為何值時，直線與相切？2．如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數與x軸交于A，B兩點，對稱軸為直線，與y軸交點為點，點D為拋物線上任意一點．(1)求二次函數的表達式；(2)如圖2，當點D為拋物線的頂點時，求的面積；(3)如圖3，當點D在直線下方的拋物線上時，連接交于點E，求最大值．3．在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于E，F兩點，長方形的頂點C，D在x軸上，，．(1)如圖1，若拋物線過點A，求拋物線的函數表達式和點E的坐標．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點B的對應點P落在直線上，點E的對應點Q落在拋物線上，求Q點的橫坐標．(3)若拋物線與圖2中的三條邊恰有兩個交點，則的取值范圍是________．4．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點（點在點的右側），與軸交于點．若線段的長滿足，則這樣的拋物線稱為“黃金”拋物線．如圖，拋物線為“黃金”拋物線，其與軸交點為（其中在的左側），與軸交于點，且．連接，若為上方拋物線上的動點，橫坐標為，過點作軸的垂線交于點，交軸于點，過點作，垂足為．(1)求拋物線的解析式；(2)將直線沿軸向上平移個單位后，與拋物線只有一個公共點，求的值；(3)設的周長為的周長為，若，求的值．5．綜合與實踐：小宇不僅是一個蔬菜種植能手，還是一個喜愛動腦筋的創意設計者．下面是他設計的一個大棚構建縱切面示意圖，他將大棚左側的一根立柱作為軸，水平地面作為軸，構造平面直角坐標系，使整個大棚設計圖樣類似于拋物線，該拋物線的解析式為，與y軸交點為，對稱軸為，且．(1)；(2)當與恰好相等時，求拋物線的解析式；(3)在（2）的條件下，小宇想在大棚內上找一固定點，并設計一根支撐柱，使得與平行，請通過計算判斷能不能找到符合條件的固定點．若能，計算的長；若不能，請說明理由．6．如圖1，拋物線：與x軸交于A，B兩點（點A位于點B左側），與y軸交于點，拋物線由拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度后得到，頂點為點D．(1)直接寫出_______，并求出點B的坐標；(2)請說明：無論x為何值，拋物線對應的函數值都小于0．(3)①如圖2，連接．請判定的形狀，并說明理由；②平面內存在一點E，使得四邊形是以為對角線的菱形，請直接寫出E點坐標．(4)將拋物線、的圖象位于的部分組合成新圖象，記作G，當直線與圖象G有3個交點時，請直接寫出k的取值范圍________．7．如圖，拋物線過點，頂點為．拋物線（其中為常數，且），頂點為．

(1)求出的值和點的坐標．(2)當時，作直線，當與的交點到軸的距離恰為6時，求與軸交點的橫坐標．(3)設與的交點A，B的橫坐標分別為，，且，點在上，橫坐標為．點在上，橫坐標為，若點是到直線的距離最大的點，最大距離為，點到直線的距離恰好也為，請用含和的式子表示．8．如圖1，拋物線與y軸交于點A，直線經過點A，與x軸交于點B，且與拋物線的另一交點C的橫坐標為5．(1)求點A、C的坐標和拋物線的函數表達式；(2)將沿y軸向上平移到，點恰好與點A重合，點B的對應點為點B′，判斷點B′是否在拋物線上，說明理由；(3)如圖2，點P是直線上方的拋物線上的一個動點，那么平面直角坐標系內是否存在一點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的平行四邊形面積最大？如果存在，求出點P的坐標，并直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．9．如圖1，拋物線過點，點．(1)求拋物線的表達式；(2)點為直線下方的拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，設點的橫坐標為，當取最大值時，求的值；(3)如圖2，點，連接，將拋物線的圖象向上平移個單位得到拋物線，當時，若拋物線與直線有兩個交點，直接寫出的取值范圍．10．在平面直角坐標系中，拋物線經過點，兩點，與軸另一個交點是B，作直線．(1)求拋物線的解析式及點B的坐標．(2)如圖1，點是線段上方的拋物線上一動點，過點作，垂足為，請求出線段的最大值及此時點的坐標．(3)如圖2，點是直線上一動點，過點作線段（點在直線下方），已知，若線段與拋物線有交點，請結合圖像直接寫出點的橫坐標的取值范圍．11．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，與y軸交于點B，與x軸交于A、C兩點（A在C的左側），連接，．(1)求拋物線的解析式；(2)點P是直線AB上方拋物線上的一動點，過點P作交y軸于點D，交x軸于點E，點F為y軸上一動點，當取最大值時，求此時點P的坐標及的最大值；(3)如圖，點Q是拋物線的對稱軸與的交點，將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線剛好經過點Q，K為新拋物線上一動點，當，請寫出所有符合條件的點K的坐標，并寫出求解其中一個點K坐標的過程．12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，與拋物線的一個交點為A，點A的橫坐標為2，點分別是拋物線上的動點．(1)求拋物線的表達式；(2)當四邊形為平行四邊形時，求點的坐標；(3)設點為拋物線上另一個動點，當平分，且時，求點的坐標．13．在平面直角坐標系中，拋物線過，，三點，且與x軸交于另一點F．(1)求拋物線的對稱軸方程；(2)如圖1，點C為拋物線對稱軸與x軸的交點，連接，直線交拋物線于另一點H，P為直線下方拋物線上的點，連接，若，求P點坐標；(3)如圖2，點M為第一象限內拋物線上一點，過點M的直線與拋物線交于第四象限內一點N，連接，分別交y軸于點D、E，且，求證：直線恒經過一定點，并求出定點坐標．14．如圖1，拋物線與直線相交于O、B兩點，點A在拋物線上且橫坐標為2，點D為拋物線與x軸的交點，點E是線段上一動點．(1)求點B坐標；(2)連接、，求的最小值；(3)為什么三角形？請說明理由：(4)如圖2，點C是線段的中點，連接、，將沿折疊，得到，若與重疊部分的面積是面積的，求的長．15．已知拋物線，頂點為C．(1)求拋物線的對稱軸和C點坐標（用含a的式子表示）；(2)若拋物線與直線分別交于M，N兩點，且M，N分別位于y軸兩側，求的最大值，及此時拋物線的解析式；(3)如圖，已知矩形的四個頂點分別為，，，，設拋物線與矩形的邊界有兩個不同的交點分別為P，Q，記（其中和分別表示P，Q的縱坐標），若d滿足，直接寫出a的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數學總復習壓軸題訓練-二次函數與交點的問題》參考答案1．(1)，；(2)；(3)當時，直線與相切．【分析】（1）根據拋物線的對稱性得到對稱軸為直線，進而得到，將、兩點代入解析式，求得，再求出點和的坐標；（2）連接，結合（1）可知，當時，則，，再利用勾股定理及其逆定理，得到，即可求出的正切值；（3）先得出，由（1）可知，，，則，，設點到直線的距離為，利用等面積法，表示出，再根據圓的切線的性質，得到，進而得到關于的方程求解即可．【詳解】（1）解：拋物線經過、兩點，拋物線的對稱軸為直線，，，將、兩點代入解析式得：，解得：，，當時，；當時，；則，；（2）解：如圖，連接，由（1）可知，，；當時，則，，，，，，，，；（3）解：、，，的圓心在軸上，且經過、兩點，，，由（1）可知，，，，，設點到直線的距離為，則，，，直線與相切，，即，解得：或（舍），即當時，直線與相切．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，解直角三角形的應用，圓的切線的性質，等面積法，一元二次方程的應用等知識，利用數形結合的思想解決問題是關鍵．2．(1)(2)15(3)【分析】本題主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．（1）由題意得：，即可求解；（2）由的面積，即可求解；（3）證明，即，即可求解．【詳解】（1）解：根據題意，得，將代入得，二次函數的表達式為．（2）解：令得，，解得，．當時，．設直線交對稱軸于點的解析式為，把代入解析式得：解得：直線的解析式為．當時，，．．（3）解：如圖，過點作軸的垂線交于點，則軸，．，設，則，．，當時，有最大值，此時的最大值為．3．(1)(2)(3)或【分析】本題考查二次函數的綜合，涉及待定系數法求函數解析式、二次函數的圖象與性質、坐標與圖形、平移性質等知識，熟練掌握二次函數的圖象與性質，借助圖象找到臨界點是解答的關鍵．（1）先根據坐標與圖形性質得到，，再利用待定系數法求得拋物線的函數表達式為；令，求解x值即可；（2）先利用待定系數法求得直線的解析式為，設，利用平移性質得到，代入中求解即可；（3）根據該拋物線的對稱軸為直線，開口向上，只需上下平移拋物線，分別求得臨界點的c值，結合圖形可得答案．【詳解】（1）解：∵長方形的頂點C、D在軸上，，．∴，，∵拋物線過點A，∴將代入中，得，∴拋物線的函數表達式為；令，由得，，∴；（2）解：設直線的解析式為，將、代入，得，解得，∴直線的解析式為，設，∵，，由平移所得，∴點Q向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到點P坐標，即，∵點P在直線上，∴將P坐標代入中，得，整理得：，即，解得，（與點E重合，舍去），∴Q點的橫坐標為；（3）解：由得該拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為，當拋物線經過點B時，將代入中，得，此時拋物線與恰有一個交點B；當拋物線經過點A時，由（1）知，此時拋物線與恰有三個交點，∴當時，該拋物線與恰有兩個交點；當拋物線的頂點在線段上時，則，解得，此時拋物線與恰有三個交點，當拋物線與線段只有一個交點時，由得，由得，此時拋物線與線段有一個交點，與無交點，當拋物線經過點D時，將代入中，得，∴當時，該拋物線與恰有兩個交點，綜上，當或時，該拋物線與圖2中恰有兩個交點，故答案為：或．4．(1)；(2)；(3)【分析】（1）求出點和點的坐標，然后代入拋物線的關系式即可求得結果；（2）根據待定系數法求解直線的解析式，與二次函數聯立得一元二次方程，當時，即可求解；（3）證明，得，求得，，由點橫坐標為，得，，，進而得，，得，解方程即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，，，，，，，，，，解得，，；（2）解：，，設直線為，代入，，得，解得：，，將直線沿軸向上平移個單位后，直線為：，當直線與拋物線只有一個公共點時，，整理得，令，即，解得；（3）解：，軸，，，，，，，，軸，，，，點橫坐標為，，，，，，，即，整理得，解得：，（舍去），當時，的值為1．【點睛】本題考查了二次函數及其圖象性質，求一次函數關系式，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是“化斜為正”．5．(1)10(2)；(3)在大棚內上找不到符合條件的固定點．理由見解析【分析】此題考查二次函數的應用．（1）根據勾股定理求出；（2）由對稱軸得到，由，即當時，，得到，即可得到函數解析式；（3）求出直線的解析式為，再求出直線的解析式為．令，解得；令，解得（負值不合題意，已舍去），即可進行判斷得到結論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，，即，∴．∵，即當時，，∴，∴，∴拋物線的解析式為；（3）解：設直線的解析式為．把點代入得，解得，∴直線的解析式為．∵與平行，設直線的解析式為，∵點在直線上，∴，，直線的解析式為，令，解得；令，解得（負值不合題意，已舍去），故在大棚內上找不到符合條件的固定點．6．(1)；(2)見解析(3)①是等腰三角形，見解析；②E點坐標為(4)且，【分析】（1）待定系數法求出函數解析式，進而求出拋物線與軸的交點坐標即可；（2）根據平移規則，求出新的拋物線的解析式，得到函數值的最大值小于0即可；（3）①求出的長，判斷三角形的形狀即可；②根據菱形的性質結合中點坐標公式進行求解即可；（4）設與軸交于點，交于點，分，分別求出直線經過三點時的值，利用數形結合的思想進行求解即可．【詳解】（1）解：把代入，得：，∴，∴，當時，解得：，∴；（2）∵，∴平移后的解析式為：，∴當時，函數有最大值，∴無論x為何值，拋物線對應的函數值都小于0；（3）①是等腰三角形，理由如下：由（2）可知，，∵，，∴，∴，∴是等腰三角形；②設，∵四邊形是以為對角線的菱形，且，，，∴的中點和的中點重合，∴，∴，∴E點坐標為；（4）如圖，設與軸交于點，交于點∵，∴當時，，∴點，聯立，解得：，∴，∵，∴當時，，∴直線恒過點，當時，直線為，此時直線與圖象有2個交點，當直線過點時，，解得：；此時直線與圖象有2個交點；當直線過點時，，解得，此時直線與圖象有3個交點；當直線過點時，，解得：，此時直線與圖象有3個交點；由圖象可知，當且，時，直線與圖象有3個交點．故答案為：且，．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法求函數解析式，二次函數圖象的平移，等腰三角形的判定，菱形的性質等知識點，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．7．(1)，(2)或(3)【分析】（1）直接利用待定系數法求解拋物線的解析式，再化為頂點式即可得到頂點坐標；（2）如圖，先求得直線的函數解析式，當可得，可得交點，交點，再進一步求解即可；（3）如圖，由題意可得是由通過旋轉，再平移得到的，兩個函數圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，可得四邊形是平行四邊形，當點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，此時與重合，與重合，再進一步利用中點坐標公式解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，頂點為Q．∴，解得：，∴拋物線為：，∴；（2）解：當時，，∴頂點，而，∴設為，∴，解得：，∴為；如圖，由題意，時兩直線重合不符合題意，∴，解得，∴交點，交點，當直線過點時，由直線，設直線為，∴，解得：，∴直線為：，當時，，此時直線與軸交點的橫坐標為；同理當直線過點，直線為：，當時，，此時直線與軸交點的橫坐標為，綜上，直線與軸交點的橫坐標為或；（3）解：如圖，∵，，∴是由通過旋轉，再平移得到的，兩個函數圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，∴四邊形是平行四邊形，當點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，此時與B重合，與A重合，∵，，∴的橫坐標為，∵，，∴的橫坐標為，∴，解得：；【點睛】本題考查的是利用待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質，二次函數與一次函數的綜合應用，二次函數的平移與旋轉，以及特殊四邊形的性質、坐標與圖形性質等知識，理解題意，利用數形結合的方法解題是關鍵．8．(1)，；(2)點在拋物線上，理由見解析(3)存在，Q點坐標為或或【分析】（1）求出，將點A與C代入即可求解析式；（2）由平移至，可知且，再由點與點A重合，可求，即可判斷點是在拋物線上；（3）過P作軸于點D，交于點E，設，，過C作于點F，由，當時，最大值，以點A，C，P，Q為頂點的平行四邊形面積，所以當最大時，平行四邊形面積最大，即可求，當時，或；；當時，或．【詳解】（1）解：∵C的橫坐標為5，，，∵直線經過點A，∴當時，，，∵拋物線經過點A、C，得，解得，∴拋物線的表達式為；（2）當時，，，平移至，且，∵點與點A重合，∴點的縱坐標為2，，∵當時，，∴點在拋物線上；（3）過P作軸于點D，交于點E，設，，，過C作于點F，，∵，∴當時，最大值，∵以點A，C，P，Q為頂點的平行四邊形面積，∴當最大時，平行四邊形面積最大，∴將代入拋物線表達式，得，∴，∴過點P平行直線為，，設Q點為，當時，，或，或；當時，，設直線的解析式為，得，，，∴過C點與平行的直線為，設，，或，或；綜上所述：Q點坐標為或或．【點睛】本題考查二次函數的幾何綜合，二次函數圖象及性質，待定系數法求二次函數解析式，熟練掌握二次函數的圖象及性質，數形結合、分類討論是解題的關鍵．9．(1)(2)(3)【分析】本題是二次函數的綜合題，關鍵是掌握二次函數的圖象和性質、一次函數圖象和性質等知識，數形結合，通過構建方程組，利用根的判別式解決問題．（1）利用待定系數法求解；（2）由點，軸，得點的縱坐標為，把點縱坐標代入直線解析式求出點的橫坐標，用參數表示出的長，再配方求最大值．（3）設平移后的拋物線解析式為，求出直線上橫坐標為和的兩點和點的坐標，當平移后的拋物線過點時有兩個公共點，求出的最小值，當平移后的拋物線與直線有唯一公共點時，求出的值，從而求出的取值范圍．【詳解】（1）解：∵過點、∴解之得∴拋物線的表達式為；（2）解：∵點C在拋物線上，點C的橫坐標為h∴∵軸，∴點的縱坐標為，設直線表達式為：，∵點，點，∴，解得：，∴直線表達式為，把代入得∴點∴∵點C為直線下方的拋物線上一動點∴∴當時，的最大值為；（3）解：設的解析式為∵直線過點、∴解之得∴直線的解析式為當時，，直線對應點為，當時，，直線對應點為．設拋物線的圖象向上平移個單位得到拋物線為當拋物線經過點時，拋物線與線段有一個公共點，如圖：當拋物線經過點時，有拋物線與線段兩個公共點．如圖此時：，∴當拋物線與直線有唯一的公共點時，如圖：解之得∴當時，若拋物線與直線有兩個交點，m的取值范圍為．10．(1)，(2)，(3)

或【分析】本題主要考查了二次函數的性質，待定系數法求解析式，靈活運用相關知識是解答本題的關鍵．（1）利用待定系數法即可求得解析式；（2）求出直線的解析式為，設，則，求得，求出，求出的最大值即可解答問題；（3）設，得出，得到，由求得

根據線段與拋物線有交點，結合圖像可知點M的橫坐標的取值范圍．【詳解】（1）解：∵拋物線過，兩點，∴∴，∴，令，得解得，∴點；（2）解：∵，，∴，∴，設直線的解析式為：，把代入，得：，∴，

過點作軸，交于點，設，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當最大時，最大，∵，∴當時，的最大值為，此時最大，為，∴；（3）解：設，則，當點恰好在拋物線上時，則，∴，當時解得：

∵線段與拋物線有交點，∴結合圖像可知點M的橫坐標的取值范圍是：

或11．(1)(2)，的最大值為(3)或【分析】（1）先求出點B的坐標，再解直角三角形求出的長，進而得到點A的坐標，再利用待定系數法求解即可；（2）求出直線解析式為；設，則直線解析式，求出，，進而求出，，則，據此可得到有最大值時，點P的坐標為；再由，得到當A、P、F三點共線時，有最大值，最大值為的長，據此利用勾股定理即可求出答案；（3）先求出；可設原拋物線向下平移個單位長度，向左平移個單位長度得到拋物線，則新拋物線解析式為，利用待定系數法可得新拋物線解析式為；如圖所示，取，連接，證明，得到；導角可證明，如圖所示，過點Q作交新拋物線與，則，即點即為所求；可求出直線的解析式為，聯立，可得；如圖所示，過點A作，且使得，連接并延長，交新拋物線于，則，可證明，即點即為所求；求出點R的坐標，進而求出直線的解析式，同理可得．【詳解】（1）解：在中，當時，，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，把，代入中得：，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為；設，直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，在中，當時，，當時，，∴，，∴，，∴，∵，∴當，即時，有最大值，∴此時點P的坐標為；∵，∴，∴當A、P、F三點共線時，有最大值，最大值為的長，∵，∴；∴的最大值為；（3）解：∵原拋物線解析式為，∴拋物線對稱軸為直線，在中，當時，，∴；∵將原拋物線沿射線方向平移，得到新拋物線，∴可設原拋物線向下平移個單位長度，向左平移個單位長度得到拋物線，∴新拋物線解析式為，∵平移后的拋物線經過，∴，∴或（舍去），∴新拋物線解析式為；如圖所示，取，連接，在中，當時，或，∴，∴，又∵，∴，∴；∵，，∴，∵，∴，如圖所示，過點Q作交新拋物線與，則，即點即為所求；同理可得直線解析式為，∴直線的解析式為，聯立，解得或，∴；如圖所示，過點A作，且使得，連接并延長，交新拋物線于，則，∵，∴，∴，即點即為所求；同理可得直線解析式為，設，∵，∴，∴，解得，∴，同理可得直線解析式為；聯立，解得或，∴；綜上所述，點K的坐標為或．【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性質與判定，解（2）的關鍵在于設出點P的坐標，進而求出直線解析式，再用點P的橫坐標表示出的長，解（3）的關鍵在于證明．12．(1)(2)或或(3)或【分析】（1）先求出A點的坐標，再用待定系數法求出函數解析式即可；（2）設點P的坐標為，分兩種情況討論：為平行四邊形的一條邊，為平行四邊形的一條對角線，用x表示出Q點坐標，再把Q點坐標代入拋物線中，列出方程求解即可；（3）當點P在y軸左側時，拋物線不存在點R使得平分，當點P在y軸右側時，不妨設點P在的上方，點R在的下方，過點P、R分別作y軸的垂線，垂足分別為S、T，過點P作于點H，則有，證明可得，設點P坐標為，點R坐標為，由相似比得到，進而得，過點Q作軸于點K，設點Q坐標為，由得到關于m的方程求得m，進而完成解答．【詳解】（1）解：將代得，∴點A的坐標為，將，代入，得∶，解得∶，∴拋物線：．（2）解：如圖，設點P的坐標為，第一種情況：為平行四邊形的一條邊，①當點Q在點P右側時，則點Q的坐標為，將代入，得：，解得或，因為時，點P與C重合，不符合題意，所以舍去，此時點P的坐標為；②當點Q在點P左側時，則點Q的坐標為，將代入得∶，解得∶或，∴此時點P的坐標為或；第二種情況：當為平行四邊形的一條對角線時，∵，∴的中點坐標為，得的中點坐標為，故點Q的坐標為，將代入得∶，解得，或，因為時，點P與點C重合，不符合題意，所以舍去，此時點P的坐標為．綜上所述，點P的坐標為或或．（3）解：當點P在y軸左側時，拋物線不存在點R使得平分，當點P在y軸右側時，不妨設點P在的上方，點R在的下方，過點P、R分別作y軸的垂線，垂足分別為S、T，過點P作于點H，則有，由平分，得，則，∴，∴，設點P坐標為，點R坐標為，所以有整理得：，在中，，過點Q作軸于點K，設點Q坐標為，若，則需，所以，所以解得∶，所以點Q坐標為或．【點睛】本題主要考查了待定系數法求函數的解析式、平行四邊形的性質、解直角三角形的應用、相似三角形的性質與判定、角平分線的性質等知識點，正確作出輔助線并靈活運用所學知識成為解題的關鍵．13．(1)；(2)P點坐標為；(3)直線恒過定點．【分析】（1）根據，坐標以及對稱性可求對稱軸；（2）由對稱軸得到，所以拋物線，再代入點A坐標，即可得，最后可得拋物線解析式為，再求出的解析式為，與拋物線聯立可得．根據已知條件可轉化為證明，求得．再由待定系數法可得直線的解析式，與拋物線解析式聯立可解得P點坐標為；（3）設，，利用待定系數法可得直線，和的解析式，求得，，根據可列式化簡整理可得，進而可得①，把①式代入直線的解析式中，化簡后可得：，令，據此求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過，，∴拋物線的對稱軸方程為直線；（2）解：∵對稱軸為直線，∴，∴拋物線，代入點，得，解得，∴拋物線解析式為；∵點C為拋物線對稱軸與x軸的交點，∴，又∵，設直線的解析式為，代入得，解得，由待定系數法可知直線的解析式為，聯立與，得，解得或0（舍去），即．如圖1所示，設交y軸于點F，∵，∴，∵，∴，當時，在和中，∵，∴，∴，故，同理，由待定系數法可得直線的解析式為，聯立直線解析式與拋物線解析式可得，解得或，故P點坐標為；（3）證明：如圖2所示，設，，故由待定系數法可得直線的解析式為．∵，再由拋物線對稱性可知，同理可得直線的解析式為，則，同理可得直線的解析式為，則，∵，即，化簡整理可得，進而可得①，把①式代入直線的解析式中，得：，令，解得，此時，故直線恒過定點．【點睛】本題考查了二次函數的圖象性質，全等三角形的判定與性質，待定系數法求一次函數、二次函數解析式，函數與方程的轉化，函數恒過定點問題，難度較大，對運算變形能力要求高，熟練掌握以上內容是解題關鍵．14．(1)(2)(3)直角三角形，見解析(4)或【分析】本題綜合考查二次函數的性質．難點在于分類探討折疊后的圖形，以此判斷出