高級中學名校試題PAGEPAGE1廣西壯族自治區桂林市2025屆高考第一次跨市聯合模擬考試數學試卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】，所以的虛部為2，故選：D．2.已知各項均為正數的等比數列，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】，，故選：C.3.巴黎奧運會在2024年7月27日至8月12日舉行，在這期間，中國視聽大數據（CVB）顯示，直播總觀看戶次超46億，分天觀看戶次（億）分別為：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．則這組數據的第25百分位數為（）A.2.03 B.2.21 C.2.12 D.3.55【答案】B【解析】將數據從小到大排列，0.08，1.62，1.88，2.03，2.21，2.24，2.25，2.35，2.59，2.74，2.74，2.88，3.55，3.64，4.22，4.39，5.53，，取第五位數據2.21，故選：B．4.已知直線的一個方向向量為，則過點且與垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的方向向量為，則斜率為，因為直線與垂直，所以斜率為又過點，所以直線方程，整理可得.故選：D.5.在平行六面體中，，則直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以為基底，則，，則，，，所以，則直線所成角的余弦值為.故選：A.6.“，使”的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.或【答案】C【解析】當時，有解；當時，二次函數開口向上，所以有解；當時，有解，則，解得；綜上可得；因為真包含于，所以“，使”的一個充分不必要條件是.故選：C.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，直線與的兩條漸近線分別交于兩點，為坐標原點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由雙曲線可知漸近線方程為，因為，所以，在中，，，可得.即，則又因為點在漸近線上，所以，解得，可得.故選：B.8.函數.若，則的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，關于對稱.當時：為增函數，也為增函數，所以在上為增函數，關于對稱在為減函數，，，.故選：A.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知的二項式系數和為64，則（）A.B.常數項是第3項C.二項式系數最大值為20D.所有項系數之和等于1【答案】ACD【解析】對于A，由題意，二項式系數和為64，則，解得，故A正確；對于B，通項公式為，令，得，則第四項為常數項，故B錯誤；對于C，二項式系數最大項為中間項第四項，所以為，故C正確；對于D，令則系數和為，故D正確.故選：ACD.10.已知數列滿足，則（）A.B.若，則C.D.若數列滿足，記為的前項和，則【答案】ABD【解析】由遞推公式得，，構造新數列得，，所以是公比為3，首項為3的等比數列，所以，所以，故A正確，C錯誤；因為，所以數列前項和為：，所以，故B正確；由得，，所以，故D正確；故選：ABD．11.已知拋物線的焦點為，準線為與軸的交點為，過的直線與分別交于兩點，則以下選項正確的是（）A.坐標為B.當時，C.若，則D.過點作與垂直的直線與交于兩點，則四邊形面積的最小值為32【答案】ABD【解析】對于A，拋物線：，焦點坐標，故A正確；對于B，設，由題意知，直線斜率不零，設直線，，可推出：，，所以，解得，所以，故B正確；對于C，，因為，所以，，故C錯誤；對于D，設，設直線，同理推出，，當且僅當時等號成立，故D正確；故選：ABD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則在上的投影向量為__________（用坐標表示）.【答案】【解析】因為，所以，，則在上的投影向量為：.故答案為：.13.已知正四面體中，，則該四面體內半徑最大的球的表面積為__________.【答案】【解析】如圖，過點作平面的垂線，則點是的中心，正四面體內半徑最大的球為內切球，根據正四面體的性質，其內切球球心和外接球球心都在垂線上，設為點，為外接球半徑，為內切球半徑.在中，，，，則，所以，解得，所以內切球表面積.故答案為：.14.已知函數，其中，記函數的最小值為，若，都有，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】，設，則，令，，當，則，所以，得，則在單調遞減，當，則，所以，得，則在單調遞增，所以，即，所以恒成立，只需大于的最大值，令，則，可得，則的最大值為，所以，因為，則，因為，當且僅當，即時等號成立，所以，故答案為：．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求的周長的最大值；（3）若的面積為為的中點，且，求的長．解：（1），又據余弦定理，∴，．（2）由及已知得，又，，，當且僅當時，等號成立，故的周長最大值為．（3），則，，則，解得，∴，又為的中點，，又由勾股定理得．16.某所學校進行知識競賽，最終甲乙同學進入決賽，爭奪冠軍，決賽一共有文化?科技?體育三個項目，比賽采取每個項目中回答對問題多的那個同學在該項目獲勝并且獲得20分，沒獲勝的同學得0分，三個項目比賽結束，總得分高的同學獲得冠軍，已知甲同學每個項目獲勝的概率分別為，比賽沒有平局，且每個項目比賽相互獨立.（1）求乙同學總得分為40分的概率；（2）用表示甲同學的總得分，求的分布列與期望；（3）判斷甲乙兩名同學誰獲得冠軍的概率大.解：（1）設三個項目乙獲勝的事件分別為，乙同學總得分40分記為事件，則，且.（2）由題可知甲總得分的分布列：0204060.（3）甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，因為，所以甲獲勝概率更大.17.如圖，梯形中，為上一點，，且，將沿著翻折至所在位置，使得平面平面，連接，得到四棱錐為中點.（1）若為的中點，證明：平面；（2）在線段上是否存在點，使得，若存在，求直線與平面所成角的正弦值，若不存在，請說明理由.（1）證明：取的中點，連接.三點分別為的中點在平面中，，又平面平面平面同理，，平面平面，所以平面，又平面平面，平面平面，平面平面.（2）解：因為平面平面，平面平面，平面,所以，平面.過作的平行線，過作交于點.以點為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系.梯形中，，，所以，則.所以.假設在上存在點使得，設，設，則，解得.因為，所以，解得.，因為平面平面，故取平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則.所以，線段上存在點使得，直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓為的右焦點，短半軸長為為上動點，的最小值為．（1）求的方程；（2）已知點，點為外一點，直線交于兩點，（i）為原點，若，求直線的方程；（ii）記直線的斜率分別為，若，求的面積．解：（1），，可得橢圓方程：．（2）（i）設直線的方程為：，點，則，則，由題，可得：，則，，則直線的方程為：或．（ii）①當直線斜率為0時，不妨設，則，，所以，；②當直線斜率不為0時，設，由（i）得，，則，，，所以點在定直線上，平行直線，點到直線的距離，，綜上可知，的面積為．19.對，若函數在有不等式，則稱函數是在上的“凹函數”，反之，若不等式，則稱函數是在上的“凸函數”，當且僅當時等號成立．也可理解為若函數在上可導，為在上的導函數，為在上的導函數，當時，函數是在上的“凹函數”，反之，當時，則稱函數是在上的“凸函