高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省云浮市羅定市2023-2024學年高二下學期期中檢測數學試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.甲、乙、丙三名高一學生都已選擇物理、化學兩科作為自己的高考科目，三人獨自決定從政治、歷史、地理、生物、技術中任選一科作為自己的第三門高考選考科目，則不同的選法種數為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意甲、乙、丙每位同學的第三門高考選考科目都有種選擇，按照分步乘法計數原理可知不同的選法種數為.

故選：A2.已知函數的導函數的圖象如圖，則下列結論正確的是（）A.函數在區間上單調遞增B.函數在區間上單調遞減C.函數在區間上單調遞增D.函數在區間上單調遞增【答案】C【解析】由導數的圖象可知，當時，，所以在區間，上單調遞增，故C正確；當時，，所以在區間上單調遞減，當時，，則在區間上單調遞減，故A、B、D錯誤；故選：C．3.若隨機變量滿足，.則下列說法正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】隨機變量滿足，，則，，據此可得，.故選：D4.設曲線在處的切線方程為，則a的值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】依題意，曲線，求導得：，則，因曲線在處的切線方程為，則，即，解得，所以a的值為-2.故選：A5.若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，則a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值為()A.29 B.29－1 C.39 D.39－1【答案】D【解析】(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，∴a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.故選：D6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，所以當時，當時，即在上單調遞增，在上單調遞減，又，，，又，所以，即.故選：A7.國際高峰論壇上，組委會要從6個國內媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問，要求這3個媒體團中既有國內媒體團又有國外媒體團，且國內媒體團不能連續提問，則不同的提問方式的種數為（）A.306 B.198 C.268 D.378【答案】B【解析】由題可知選出的3個媒體團的構成有如下兩類：①選出的3個媒體團中只有一個國內媒體團，有種不同的提問方式；②選出的3個媒體團中有兩個國內媒體團，有種不同的提問方式．綜上，共有種不同的提問方式．故選：B.8.數學家高斯在各個領域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數論問題時，他在他的著作《算術研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在嗓音工程學、密碼學以及大數分解等各個領域都有廣泛的應用.已知對于正整數，若存在一個整數，使得整除，則稱是的一個二次剩余，否則為二次非剩余.從1到20這20個整數中隨機抽取一個整數，記事件“與互質”，“是的二次非剩余”，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在到中與互質的有1,5,7,11,13,17,19，即；由二次剩余的定義，假設是的二次非剩余，則整數的整數不存在，當時，，當時，，當時，不存在，即，由事件中有種情況，事件有種情況，所以.故選：C.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.現有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（）A.從中任選1個球，有15種不同的選法B.若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C.若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D.若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法【答案】ABD【解析】A.從中任選1個球，有15種不同的選法，所以該選項正確；B.若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法，所以該選項正確；C.若要選出不同顏色的2個球，有種不同的選法，所以該選項錯誤；D.若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法，所以該選項正確.故選：ABD10.設隨機變量的分布列為，則A. B.C. D.【答案】ABC【解析】隨機變量分布列為,，解得，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故答案為：A、B、C.11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.函數存在三個不同的零點B.函數既存在極大值又存在極小值C.若時，，則t的最小值為2D當時，方程有且只有兩個實根【答案】BD【解析】，令，解得或，當或時，，故函數在，上單調遞減，當時，，故函數在上單調遞增，且函數有極小值，有極大值，當趨近負無窮大時，趨近正無窮大，當趨近正無窮大時，趨近于零，故作函數草圖如下，由圖可知，選項BD正確，選項C錯誤，t的最大值為2．故選：BD．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設隨機變量X服從兩點分布，若，則______．【答案】0.6【解析】隨機變量X服從兩點分布，則，又，聯立解得．故答案為：0.6.13.長期熬夜可能影響免疫力.據某醫療機構調查，某社區大約有的人免疫力低下，而該社區大約有的人長期熬夜，長期熬夜的人中免疫力低下的概率約為，現從沒有長期熬夜的人中任意調查一人，則此人免疫力低下的概率為___________.【答案】【解析】設事件表示“免疫力低下”，事件表示“長期熬夜”，則，，，所以，，所以，所以．故答案為：．14.已知函數，且滿足，則實數的值為__________.【答案】1【解析】令，其定義域為為，則，則為奇函數，且，因為和在上均單調遞增，且恒成立，則在上單調遞增，由得，即，則.令，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，故時取最小值0，故不等式的解為.故答案為：1.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.若是函數的極大值點．（1）求a的值；（2）求函數在區間上的最值．解：（1），由題意知或時，，在區間遞增；在區間遞減，是的極大值點，符合題意.時，，在區間遞增；在區間遞減，是的極小值點，不符合題意.則.（2）由（1）知，且在，單調遞增，在單調遞減，又，，，，則，.16.二項式展開式中第五項的二項式系數是第三項系數的倍．求：（1）展開式中所有二項式系數的和；（2）展開式中所有的有理項．解：（1）二項式展開式的通項為（且），所以第五項的二項式系數，第三項的系數為，依題意可得，即，所以，則，所以展開式中所有二項式系數和為.（2）由（1）可得二項式展開式的通項為（且），令，又且，則或或，所以有理項有，，.17.玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假設各箱含有0，1，2只殘次品的概率對應為，和.一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機查看4只玻璃杯，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯；否則不買.求：（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率；（2）在顧客買下的一箱中，沒有殘次品的概率.解：（1）設事件表示“顧客買下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只殘次品”，由題設可知，，，，且，，，所以.即顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率為.（2）因為，所以在顧客買下的一箱中，沒有殘次品的概率是.18.已知某闖關游戲，第一關在兩個情境中尋寶．每位參賽選手先在兩個情境中選擇一個開始第一關，若尋寶失敗則比賽結束；若尋寶成功則進入另一個情境，無論尋寶成功與否，第一關比賽結束．情境尋寶成功獲得經驗值分，否則得分；情境尋寶成功獲得經驗值分，否則得分．已知某玩家在情境中尋寶成功的概率為，在情境中尋寶成功的概率為，且每個情境中尋寶成功的概率與選擇初始情境的次序無關．（1）若該玩家選擇從情境開始第一關，記為經驗值累計得分，求的分布列；（2）為使經驗值累計得分的期望最大，該玩家應選擇從哪個情境開始第一關？并說明理由．解：（1）由題意知：所有可能的取值為，，，；；，的分布列為：（2）由（1）得：從情境開始第一關，則；若從情境開始第一關，記為經驗值累計得分，則所有可能的取值為，，，；；，；，應從情境開始第一關.19.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）當時，若存在，，使得恒成立，求實數m的取值范圍．解：（1）定義域，若,則,令,得，當單調遞減，當單調遞增，若,得或，若,則對恒成立,所以在上單調遞減，若,