高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省陽江市高新區2024-2025學年高一下學期2月月考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，，因為，所以，，所以，，，因為，所以.故選：D.2.設為實數，則是的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】，故解集為，而在R內無解，解集為，由于是任何非空集合的真子集，故是的必要不充分條件.故選：C.3.已知實數滿足，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，又，故，即.故選：D.4.已知，，若不等式恒成立，則實數的最大值為（）A.64 B.25 C.13 D.12【答案】B【解析】，，則，不等式恒成立，即恒成立，，當且僅當，即時等號成立，所以，即實數m的最大值為.故選：B.5.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】原不等式即為即，故，故.故選：D.6.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，，故.故選：C.7.已知函數，若關于x的方程至少有兩個不等的實根，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，作出函數的圖象，如圖所示：關于x的方程至少有兩個不等的實根，即關于x的方程至少有兩個不同的交點，所以，當時，令，解得，當時，令，解得，所以，解得．故選：A.8.已知函數，的最小正周期，若函數在上單調，且關于直線對稱，則符合要求的的所有值的和是（

）A B.2 C.5 D.【答案】D【解析】函數的最小正周期且，得，由于在上單調，該區間長度小于等于半個周期，即，得，綜上，，又關于直線對稱，所以，解得，，在的范圍內，滿足條件的值為和和，驗證可知，這兩個值均滿足函數在上單調，因此，符合要求的所有值的和為故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的定義域為，對任意實數x，y滿足，且，當時，．下列結論正確的有（）A. B.C.為上的減函數 D.為奇函數【答案】AD【解析】定義在上的函數，，，且，對于A，令，得，則，A正確；對于B，令，得，則，令，，B錯誤；對于C，由，得不為上的減函數，C錯誤；對于D，，則，因此，函數為奇函數，D正確.故選：AD.10.已知函數，下列結論正確的是（）A.是奇函數B.若在定義域上是增函數，則C.若的值域為.則D.當時，若，則【答案】AB【解析】對于A，由題函數定義域為，關于原點對稱，當時，，，；當時，，，，則函數為奇函數，故A正確；對于B，若在定義域上是增函數，則，即，故B正確；對于C，當時，在區間上單調遞增，此時值域為，當時，在區間上單調遞增，此時值域為.要使的值域為，則，即，故C不正確；對于D，當時，由于，則函數在定義域上是增函數，又函數是奇函數，故由，得，則，且，且，解得，故D不正確.故選：AB.11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.是的一個周期 B.在上有2個零點C.的最大值為 D.在上是增函數【答案】ABC【解析】對于A，因為，所以是的一個周期，故A正確，對于B，因為，所以令，解得或，當時，，故舍去，當時，而，，，，由余弦函數性質得在上單調遞減，在上單調遞增，而，我們分為不同區間進行討論，當時，得到，所以此時在上存在一個根，當時，得到，所以此時在上存在一個根，綜上可得在上有2個零點，故B正確，對于C，令，故可化為，由二次函數性質得在上單調遞減，在上單調遞增，所以最小值為，且，，故最大值為，即的最大值為，故C正確，對于D，由題意得，，所以在上不可能是增函數，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若正數滿足，則的最小值為__________.【答案】【解析】正數滿足，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.13.已知函數的圖象關于點對稱，則______．【答案】【解析】因為函數的圖象關于點對稱，所以函數的圖象關于點對稱，所以函數為奇函數，故，所以，所以，所以，，所以.14.已知，則______.【答案】【解析】由題意得，則四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）求不等式的解集；（2）設函數的最小值為，且，，，求的最小值．解：（1）由函數，當時，由，可得，解得，所以；當時，由，可得，解得，所以；當時，由，可得，解得，所以，綜上可得，不等式的解集為.（2）由（1）知，當時，可得；當時，可得；當時，可得；所以，所以，則，又由，所以，當且僅當時，等號成立．所以的最小值為．16.隨著互聯網的普及，網絡購物得到了很好的發展.雙十一期間，某服裝公司在各大網絡平臺銷售運動衣，經調研，每件衣服的售價(單位：元)與銷量(單位：萬件)之間滿足關系式已知公司每年固定成本為萬元，每生產萬件衣服需要再投入萬元設該公司一年內生產的衣服全部銷售完.當公司銷售萬件衣服時，年利潤為萬元；當公司銷售萬件衣服時，年利潤為萬元．（1）寫出年利潤(萬元)關于年銷量萬件函數解析式；（2）當年產量為多少萬件時，公司利潤最大并求出最大利潤．解：（1）因為當銷售8萬件衣服時，年利潤為990萬元，所以，解得.當銷售20萬件衣服時，年利潤為1145萬元，所以，解得.當時，；當時，所以（2）當時，，所以；當時，，由于，當且僅當，即時取等號，此時的最大值為1150，綜上可知，當時，取得最大值為1150萬元.17.已知函數是奇函數.（1）求的值；（2）若是區間上的減函數且，求實數的取值范圍.解：（1）函數是奇函數，，且，即.（2），.是奇函數，，是區間上的減函數，，即有，，則實數的取值范圍是.18.已知函數的最小正周期為.（1）求的遞增區間；（2）當時，求函數的值域.解：（1）因為函數的最小正周期為，且，則，則，由，得，所以，函數的遞增區間為.（2）當時，，所以，函數上單調遞增，所以，，因此，當時，函數的值域為.19.已知函數.（1）當時，求的單調遞增區間（只需判定單調區間，不需要證明）；（2）設在區間上最大值為，求的解析式.解：（1）當時，，當時，易得單調遞增；當時，，因為對勾函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上單調遞