高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省梅州市2025屆高三下學期2月質檢數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列集合之間關系正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】對于A選項，，，故，A錯；對于B選項，，，故，B對；對于C選項，為數集，為點集，則、無包含關系，C錯；對于D選項，，故，D錯.故選：B.2.已知復數滿足，其中為虛數單位，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，由題意可得，即，由復數相等的概念可得，解得，即，故.故選：D.3.如圖，已知同一平而上的三條直線a，b，c相交于同一點O，兩兩夾角均為，點A，B分別在直線a，b上，且，設，若點P落在陰影部分（不含邊界），則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設依題意，，因點P落在陰影部分（不含邊界），且，易得，且，由，可得，由，又，故可得：，即，因，則，即，由，可得，整理得：，因，故得，即；由，可得，整理得：顯然成立.綜上分析，可得.故選：C.4.如圖，往一個正四棱臺密閉容器內倒入的水，水面高度恰好為棱臺高度的，且，，則這個容器的容積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設水體對應的臺體的高為，則水體對應臺體的上底面是邊長為的正方形，由臺體的體積公式可得，解得，故容器的高為，容器的容積為，故選：A.5.已知等差數列的前項和為，若，則一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為等差數列的前項和為，且，則，，無法判斷ABC選項，，D對.故選：D.6.某科技公司在人工智能領域逐年加大投入，根據近年來該公司對產品研發年投入額x（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數據統計，得到散點圖如圖．用線性回歸和指數型回歸模型擬合y與x關系的決定系數分別為和，則根據參考數據，下列表達式中最適宜描述y與x之間關系的函數為（）參考公式：用最小二乘法求經驗回歸直線方程的系數公式為．參考數據：令32.50.510126A. B. C. D.【答案】D【解析】由用線性回歸和指數型回歸模型擬合y與x關系的決定系數分別為和，得，則指數型回歸模型最適宜擬合y與x關系，排除AB；設y與x之間關系的函數為，兩邊取對數得，設，則，因此，，即，，C錯誤，D正確.故選：D7.在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，M為母線的中點，圖中的截面邊界曲線（拋物線）的焦點到準線的距離為（）A. B.5 C.6 D.【答案】A【解析】在截面所在的平面中，以M為原點．MO為x軸，過M點與MO垂直的直線為y軸，建立直角坐標系，在直角三角形中，已知，，可得.因為為的中點，在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半，所以.設拋物線于底面圓的一個交點為H,由已知可得點的橫坐標為的長度，縱坐標為，不妨取.設拋物線方程為，把代入拋物線方程可得，即，解得.對于拋物線，其焦點到準線的距離就是的值，所以拋物線的焦點到準線的距離為.故選：A.8.函數在的值域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，則，令，，則，所以，，由二次函數的性質可得當，取得最大值，又，所以.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，則下列結論中正確的有（）A.函數的圖象關于y軸對稱 B.函數的圖象關于原點對稱C.函數存在最小值 D.函數不存在最大值【答案】BD【解析】已知函數，其定義域為，關于原點對稱.根據奇函數的定義可知，函數是奇函數，所以函數的圖象關于原點對稱，故選項A錯誤，選項B正確.令，則或.由，解得；由，解得，.當時，，的值在之間不斷變化.當時，，此時；當時，，此時.這說明函數既沒有最大值也沒有最小值，故選項C錯誤，選項D正確.故選：BD.10.如圖，四邊形是一個矩形，，，半圓面平面，動點沿著半圓弧從點運動到點（點不與點、重合），下列說法錯誤的是（）A.當點運動到某一位置時，B.總有平面平面C.當點運動到半圓弧的中點時，二面角的正切值為D.三棱錐的外接球的體積先增后減【答案】ACD【解析】因為四邊形為矩形，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，對于A選項，當點運動到某一位置時，，由圓的幾何性質可知，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面，平面，所以，這與矛盾，A錯；對于B選項，因為平面，平面，所以，因為，，、平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，B對；對于C選項，取線段的中點，連接，過點在平面內作，垂足為點，連接，當點為半圓弧的中點時，，因為為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為平面，所以，因為，，、平面，所以平面，因為平面，所以，所以，二面角的平面角為，因為，所以，所以，，即二面角的正切值為，C錯；對于D選項，因為平面，，將三棱錐補成長方體，則三棱錐的外接球直徑為為定值，故三棱錐的外接球的體積為，D錯.故選：ACD.11.如圖所示，P，Q為數軸上兩點，初始位置的數字分別為2，0，它們每隔1秒鐘都在數軸上獨立地向左或向右移動一個單位，已知點P向左或向右移動的概率均為；點Q向左移動的概率為，向右移動的概率為．分別記點P、Q在n秒后所在位置的數字為、，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，當，即一秒后兩點的距離仍為2，所以同時往左或往右一步，則，故A正確；對于B，當，即兩秒后兩點坐標和仍為2，所以；或；或，而且向左向右的順序不影響結果，所以，，，，，所以，故B錯誤；對于C，當，即或時，所以，故C錯誤；對于D，，由C可得，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線的離心率為2，則實數______．【答案】12【解析】由雙曲線知，，，所以，解得.故答案為：1213.的末三位數是____________．【答案】481【解析】因，因是正整數，故被1000除之后得到的余數為，即的末三位數是481.故答案為：481.14.設函數在R上存在導數，對任意的，有，且在上．若，則實數t的取值范圍為____________．【答案】【解析】令，由，得，函數是偶函數，當時，，則，函數上單調遞增，由，得，整理得，即，因此，即，解得，所以實數t的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數列的前n項和為，滿足．（1）求數列的通項公式；（2）已知數列的前n項和為，求使得的n的最小值．解：（1）由數列的前n項和可得：當時，，當時，，即得：，因此得．（2）因為，所以數列的前n項和關于n單調遞增，而，，因此，使得的n的最小值為4．16.已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）設函數的最小值是2，求實數a的值．解：（1）當時，，將代入得：，函數的導數為，曲線在點處切線的斜率為，因此，曲線在點處的切線方程為：，即：．（2）對求導：，①當時，恒有，于是在上單調遞減，此時，無最小值；②當時，令，得，當都有在上單調遞減；當都有在上單調遞增因此在處取得最小值，依題意，，即：解得：．綜上，當時，函數的最小值是2．17.如圖乙，在等邊中，D為上一點，且分別在邊上，．（1）如圖甲，當點F與點C重合時，求；（2）求面積的最小值．解：（1）當點F與點C重合時，在中，，由余弦定理得：，得，于是，而，因此．（2）設，在中，由正弦定理，得，所以，在中，，同理，得，故，當時，的最大值為，此時的面積取得最小值，即．18.如圖甲，在等腰梯形中，為的中點，將沿著翻折至，如圖乙．（1）當二面角為時，求的長；（2）在翻折過程中，是否存在某個位置，使得平面平面，若存在，求出此時點P到平面的距離；若不存在，請說明理由．解：（1）連結與交于點M，依題意，，于是四邊形和均為菱形，和等邊三角形，所以，又，于是在圖中，即為二面角平面角，即有，由余弦定理得：，所以．（2）平面平面的情況不存在．設平面平面，因為平面，所以，而且，因此平面，即有平面，于是為二面角的平面角，因為，所以在等腰中不可能等于直角，即平面平面的情況不存在．19.已知分別為橢圓的左、右焦點，點D為橢圓E上一點，以為直徑的圓過焦點．（1）求橢圓E的方程；（2）P是橢圓E上異于左、右頂點A、B的任一點，設交直線于點交橢圓E于點Q．①證明：定值；②求面積的最大值．解：（1）