高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省茂名市2024-2025學年高一下學期第一次校際聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.復數的虛部是（）A.i B. C.1 D.【答案】C【解析】由復數，根據復數的定義，可得復數的虛部為.故選：C.2.在平行四邊形ABCD中，（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平行四邊形ABCD中，，而，，，.故選：B.3.要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度【答案】D【解析】由題意可得，所以函數的圖象向右平移個單位長度可得.故選：D.4.在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，，則（）A.60° B.75° C.60°或120° D.15°或75°【答案】C【解析】由正弦定理得，，即，所以或，當時，，成立；當時，，成立.故選：C.5.在中，是的中點，是的中點，若，則（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】∵是的中點，，為的中點，∴，∵，∴，，∴.故選：D.6.已知平面向量，，則在方向上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】在方向上的投影為，又方向上的單位向量為，故在方向上的投影向量是.故選：D.7.在中，若，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】因為，由正弦定理可得，即，所以，可得或，所以或，所以的形狀為等腰或直角三角形.故選：D．8.已知兩個非零向量與的夾角為，我們把數量叫作向量與的叉乘的模，記作，即.若向量，，則（）A.－14 B.14 C.－2 D.2【答案】B【解析】，，，，，兩個非零向量與的夾角為，，，，.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.在中，角，，的對邊分別為，，，則（）A.若，則B.若，，則外接圓的半徑為2C.若，則為鈍角三角形D.若，則點是的重心【答案】BCD【解析】對于A：若，，滿足，但是，，故A錯誤；對于B：由正弦定理，所以，即外接圓的半徑為，故B正確；對于C：由余弦定理，又，所以為鈍角，故為鈍角三角形，故C正確；對于D：取中點，則，又，所以，所以在中線上，且，所以為的重心，故D正確.故選：BCD.10.函數的圖象為，則以下結論中正確的是（）A.圖象關于直線對稱 B.圖象關于點對稱C.函數在區間內是增函數 D.是偶函數【答案】BC【解析】對于A選項，因，故圖象不關于直線對稱，A錯；對于B選項，因為，故圖象關于點對稱，B對；對于C選項，當時，，所以，函數在區間內是增函數，C對；對于D選項，為奇函數，D錯.故選：BC.11.歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式指數函數定義域擴大到復數集，建立了三角函數與指數函數的關聯．在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋，依據歐拉公式，下列選項中正確的是（）A.對應的點位于第四象限 B.為純虛數C.的模長等于 D.的共軛復數為【答案】BC【解析】對于A，，對應的點位于第二象限，A錯誤；對B，，故為純虛數，B正確；對于C，的模長等于，C正確；對于D，，其共輒復數為，D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則___________.【答案】【解析】因為，所以，解得.13.i是虛數單位，則為________.【答案】【解析】，.14.將函數的圖象向左平移個單位，得到的圖象恰好關于直線對稱，則的最小值是______.【答案】【解析】先求平移后函數解析式：對于函數，圖象向左平移個單位.根據函數圖象平移規律“左加右減”，也就是給加上平移的單位數.所以平移后函數的解析式是.已知所得圖象關于直線對稱.則.得到.因，當時，不符合要求.當時，，所以的最小值是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.若復數，當實數m為何值時.（1）z是實數；（2）z是純虛數；（3）z對應的點在第二象限．解：（1）由題意可得：，解得：或2.（2）由題意可得：，且，∴或，且且，∴.（3）由題意可得：，解得：．16.已知向量，．（1）求的坐標及；（2）若與共線，求實數的值．解：（1）由題意，，所以，所以.（2）由題意與平行，所以當且僅當，化簡得，解得，即實數的值為1或-1.17.中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長．解：（1）因為，則，由已知可得，可得，因此，.（2）由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.18.已知向量，函數.（1）求的最小正周期；（2）若函數在區間上恰有兩個零點，求實數的取值范圍.解：（1），的最小正周期.（2）由題知在區間上恰有兩個不同的實數根，即函數在區間上的圖象與直線恰有兩個交點，令，作出的圖象與直線，如圖.由圖知，當時，的圖象與直線有兩個交點，實數的取值范圍為.19.意大利畫家達芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”.雙曲余弦函數，就是一種特殊的懸鏈線函數，其函數表達式為，相應的雙曲正弦函數的表達式為.設函數，（1）證明：是奇函數；（2）判斷在上的單調性(無