課程基本信息

課例編號2020QJ10SXRA045學科數學年級高一學期第一學期

課題同角三角函數的基本關系

書名：普通高中教科書數學必修第一冊A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學人員

姓名單位

授課教師李宏艷北京市第五十中學分校

指導教師李穎北京市東城區教師研修中心

教學目標

教學目標：

1.借助單位圓掌握公式一，以及同角三角函數間的關系，初步體會三角函數的周期性；

2.加深三角函數概念的認識，體會三角函數的基本性質，以及內在聯系；

3.在同角三角函數關系的應用中，發展數學運算，數學推理的素養.

教學重點：發現、理解同角三角函數的基本關系并簡單應用.

教學難點：對三角函數的基本性質間的內在聯系的把握

教學過程

時教學

主要師生活動

間環節

上節課我們學習了一種新的函數——三角函數，并對它的一些性質進行研究，請同學們

一、回憶：

2

溫問題1:

分

故（1）是如何定義三角函數的呢？

鐘

舊ysin

定義xcos

知y

tanx0

x

（2）根據定義以及點P所在象限可以判斷函數值的符號規律，比如點P在第二象限時，

三個三角函數值的符號是什么？

y>0,sin0,

x0,cos0,

tan0

師生活動：教師引導學生回顧上節課的內容.

設計意圖：為本節課問題的提出和解決做出鋪墊.

探究一：終邊相同角的同一三角函數值之間關系

問題2：

二、

你能發現“終邊相同的角的同一三角函數值是相等”這個規律嗎？

5

公

分你能用符號語言去表示“終邊相同的角的同一三角函數值是相等”嗎？

式

鐘

一

的

稱這組公式為公式一

探從這組公式可知,三角函數值有“周而復始”的變化規律，說明角每繞原點旋轉一周，

究函數值將重復出現，這也是“單位圓上的點繞圓周旋轉整數周仍然回到原來位置”特征

的反映.

師生活動：引導學生發現“終邊相同的角的同一三角函數值是相等”，并把它符號化得到

公式一，討論公式一體現三角函數的性質以及它的作用

設計意圖：引導學生通過建立相關知識的聯系,發現公式一及其所體現的三角函數周期性

取值的規律，這是“單位圓上的點繞圓周旋轉整數周仍然回到原來位置”特征的反映.在

此過程中，可以培養學生用聯系的觀點看問題.

3

分

鐘

例1：求下列三角函數值：

25π

1sin

4

8π

2cos

3

11π

3tan

6

分析：

25π

(1)我們可以利用三角函數的定義，在單位圓中,畫出角，確定終邊的位置,求與單位圓

4

25π

交點坐標來求解,但是角不太好快速畫出，現在我們學習了公式一，能不能找到與

4

25π25ππ25ππ

終邊相同的角，且這個角是在0~2π，6π，說明與的終邊相同，

44444

三、

由公式一可知，它們的三角函數值相等.

學

8π8π2π8π2π

(2)找到與終邊相同的角，且這個角是在0~2π，2π，說明與的終

33333

以

邊相同，由公式一，則它們的三角函數值相等.

致

11π1111

（3）是負角，找到與終邊相同的角，且這個角是在0~2π，-=-2

6666

用

11

說明與的終邊相同，由公式一，則它們的三角函數值相等.

66

25πππ2

1sin=sin+6π=sin=;

4442

8π2π2π1

解：2cos=cos+2π=cos=-;

3332

11πππ3

3tan－=tan－2π=tan=

6663

追問：通過這三個小題的解答，你認為公式一有什么作用？

利用公式一可以把求任意角的三角函數值，轉化為求0~2π角的三角函數值，

由公式一體現的這種周期性，使得以后我們想研究在整個定義域中三角函數的性質，只

要討論清楚三角函數在0，2π上的性質即可.

師生活動：學生思考回答，教師引導學生總結公式一的作用.

設計意圖：利用公式一可以把求任意角的三角函數值，轉化為求0~2π角的三角函數值，

同時，由公式一可以發現，只要討論清楚三角函數在0，2π上的性質，那么三角函數在

整個定義域中的性質就清楚了.在此過程中，可以培養學生邏輯推理、數學運算素養.

探究二：同角的不同三角函數值之間關系

1.提出問題

問題3.1：公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數值相等，那么，終邊相同的角的不

同三角函數值之間是否也有某種關系呢？

分析：

四、（1）首先通過定義，我們知道三個三角函數的值都是由角的終邊與單位圓的交點坐標所

同唯一確定的，所以它們之間一定有內在聯系.

角（2）再者終邊相同的角有無數多個，不方便研究，怎么辦呢？

三可以利用公式一，把這些終邊相同角的三角函數值轉化為同一個角的三角函數值，這時

角就可以將這個問題進一步轉化為“研究同一個角的三個三角函數值之間的關系”.

函

7數

分

基

鐘師生活動：引導學生討論，利用公式一，先把問題“終邊相同的角的不同三角函數值之

本

間的關系”轉化為“同一個角的三角函數值之間的關系”，然后讓學生自主探究，得出

同角三角函數的基本關系

關

設計意圖：提出問題的關鍵在于終邊相同的角的三個三角函數的值都由單位圓上同一點

的坐標所唯一確定，它們之間一定有內在聯系；由“終邊相同的角的同一三角函數的值

系

相等”引出“終邊相同的角的不同三角函數之間有什么關系”的問題，再轉化為“同一

個角的三個三角函數之間關系”的研究，可以培養學生發現和提出問題的能力.

的

探2.發現并證明結論

究問題3.2：給一個角,在單位圓中你能找到與點P坐標

對應的線段嗎？

從而建立x與y關系嗎？

過P作x軸的垂線，交x軸于M,|x|=OM,|y|=PM,

這時會發現OMP是直角三角形，而且OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2=1,因此，x2+y2=1，

?

由定義可得

sin2cos21

追問：你能證明這個結論嗎？

當角為象限角時，過P作x軸的垂線，交x軸于M，因為OMP是直角三角形，而且

?

OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2=1,因此，x2+y2=1，即sin2cos21

當角的終邊與坐標軸重合時,例如:角的終邊與y軸的非正半軸重合時，OM=0,MP=1

仍然有OM2+MP2=1,其它同理，公式仍成立.

綜上，角為任意角時，都有sin2cos21.

問題3.3我們發現了同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，大家想想，同一個角的三

角函數值還有什么關系？

同一個角的正切值與正弦值、余弦值之間會不會有某種關系？

ysin

由定義可知：tan

xcos

追問1：角為任意角時，公式都成立嗎？

要使公式成立，首先要使等式兩邊都有意義，等號左邊：正切函數的定義域是

k(kZ)等號右邊：cos作為分母不等于0，即x≠0，所以，角的

2

終邊不與y軸重合，即k(kZ)所以在這個公式中k(kZ)

22

追問2：我們用和單位圓相關的勾股定理說明了sin2cos21，你能在單位圓中構

sin

造圖形解釋tan這個公式嗎？

cos

sintan

把這個公式寫成分式的形式，你能在單位圓中找到對應的線段嗎？

cos1

,過點B作OB的垂線，交OP于點C,因為OMPOBC,

MPBCMP|sin|

所以,因為OB=1，BC|tan|

OMOBOM|cos|

師生活動：學生思考、獨立完成作圖，說理，討論角適用的范圍，教師適時引導.

設計意圖：通過對公式的探究，感受與單位圓相關的勾股定理與同角三角函數基本關系

的一致性，培養學生運用數形結合的思想解決問題的能力，提高學生思維的嚴謹性，發

展學生邏輯推理的素養.

同角三角函數基本關系的理解與認識

1.我們來一起分析兩個公式的結構特點：

(1)（1）sin2cos21：

sin2cos2

五、第一個公式從左向右看,與的和為1;

sin2cos2

公也可以從右向左看,1也可以用替換.

2是2的簡寫，讀作“的平方”，不能將2寫成2，前者是

3式.sin(sin)sinsinsin

分

理的正弦的平方，后者是的平方的正弦,表達不同的式子.

鐘sin

（2）tan：同一個角正弦與余弦的商等于這個角的正切.

解cos

與第二個公式從左往右看，是把角的正弦余弦化為這個角正切，從右往左看，是把角

認的正切化為這個角的正弦余弦的比，所以看到角的正切就應該馬上想到這個角的正

識弦與余弦的關系；同樣，看到正弦余弦商的關系就應該想到了這個角的正切.

2同角的理解

這個“同角”應該怎么理解？

（1）關系式中的角要相同，而且與角的形式無關.

比如：sin215cos2151這里的“同角”是15°

sin2

tan2這里的“同角”是2

cos2

sin2()cos2()1這里的“同角”是

（2）只要能使得函數有意義，對任意一個角關系式都成立.

就像第二個公式中，為了使余弦值存在，x≠0，角的終邊不在y軸上，也就是要

k(kZ)

2

所以在這個公式中除了k(kZ)，其它角都可以.

2

3.公式等價變形：

當然，公式還可以寫成一些其它的形式供我們在解題中使用

(2)第一個公式可變為sin21cos2,cos21sin2,把公式

22

sin1cos進行開方運算的時候，sin1cos2，這里正負號不是兩

個全都要，要受角所在象限的限制，二者取其一.舉例

sin

第二個公式可變為cos,也可以進行乘法運算sintancos.

tan

這兩個公式等價嗎？

師生活動：教師引導學生進一步理解公式

設計意圖：分析結構特征，體會數學中變與不變，無限與有限的辯證聯系，感受數學公

式的結構美.通過感念辨析，強化學生對同角三角函數基本關系式結構的認知，給出從數

到字母再到式子的變化，加深學生對同角的認識.

3

例2：已知sin,為第三象限角，求cos，tan的值.

5

思考1：條件“是第三象限角”有什么作用？

?2

2222316

解：由sincos1，得cos1sin1

525

六、164

5因為為第三象限角，那么cos0,cos，

255

分學

sin353

從而tan()()

cos544

鐘以

4

這里不能表述為cos，因為受為第三象限角的限制，余弦值只能取負值.

5

致

思考２：若是把題目中的“角是第三象限的角”這個條件舍去，該如何解答？

用

解：因為sin0,sin1，所以是第三象限或第四象限角，

43

如果為第三象限角，那么cos0,cos，tan

54

43

如果為第四象限角，那么cos0,cos，tan

54

小結本題：

如果已知某個三角函數值，且角所在象限是確定的，那么可以通過同角三角函數關系式，

求出其它三角函數，而且只有一種結果.

如果只給了某個三角函數值，那么要按角所在象限進行討論，分別寫出答案，這時一般

有兩組結果.所以在求值中，確定角的終邊位置是解題關鍵.

師生活動：學生獨立思考，師生共同分析解題思路，教師給出解答示范．

設計意圖：例1把角的象限給出，直接應用公式解題，降低難度，變式中去掉角范圍，

提升對角所在象限判斷的重要性.

例3：已知tan3，求sin，cos的值.

2π2π32π1

有學生的做法是：因為tan3，所以，則sin,cos

33232

請問這樣做可以嗎？為什么？

2π

分析:不對的，首先因為tan0,為第二或第四象限角，所以不能僅取

3

解:因為tan0,為第二或第四象限角，

如果為第二象限角，

2π2π232π2π1

+2kπkZsin(2kπ)sin,cos(2kπ)cos

3332332

π

同理，如果為第四象限角，+2kπkZ，

3

ππ3ππ1

sin(2kπ)sin(),cos(2kπ)cos()

332332

2

補充說明：在第二象限中，其實是可以用為代表計算正弦值和余弦值，因為雖然

3

2

在第二象限中正切值等于3的角有無數多個，但是都是與終邊相同的角，那公式

3

2

一可以保證它們的三角函數值是相同的，所以可以由