課程基本信息

2020QJ11SXR

課例編號學科數學年級高二學期第一學期

A028

課題2.5.1直線與圓的位置關系（1）

書名：普通高中教科書數學選擇性必修第一冊

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年7月

教學人員

姓名單位

授課教師張一樵北京市第五十五中學

指導教師雷曉莉北京市東城區教師研修中心

教學目標

教學目標：

1.理解直線與圓的位置關系，掌握對直線與圓的位置關系進行判斷的兩種方法.

2.類比直線與直線研究位置關系的方法，探究用方程判斷直線與圓位置關系的方法.

3.運用直線與圓的方程的不同形式、位置關系的不同表達方式，實現位置關系與數量關系

的轉化.

教學重點：

1.利用方程表達、判斷直線與圓的位置關系.

2.用坐標法解決幾何問題.

教學難點：

1.利用直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關系.

2.理解代數法幾何法的關系，靈活運用多種方式表達、判斷直線與圓位置關系.

教學過程

教學環

時間主要師生活動

節

引言：前面我們學習了直線的方程、圓的方程，用直線的方程研究了兩

條直線的位置關系，本節課我們類比用直線的方程研究兩直線位置關系

的方法，運用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關系.

問題1直線與圓有哪些位置關系？

師生活動：學生回憶思考，教師在黑板呈現、整理三種位置關系的圖形

表示、定義、幾何表示.在平面幾何中，直線與圓的位置關系有三種：

（一）直線與圓相交、相切、相離.

3分

梳理提設計意圖：復習直線與圓的位置關系及其定義.

鐘

煉

追問1：如何判斷直線與圓的位置關系？

師生活動：觀察圖形，我們可以通過直線與圓公共點的個數，判定直線

與圓的位置關系--直線與圓有兩個公共點，直線與圓相交；只有一個公

共點，直線與圓相切，沒有公共點，直線與圓相離.

追問2：還有其他判斷直線與圓的位置關系的方法嗎？

師生活動：將圖中的直線看作是可以平行移動的，直線與圓心距離的改

變，出現了不同的位置關系.首先看相切這種特殊的位置關系，此時，圓

心到直線的距離等于半徑.記圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r.

如果dr,直線與圓相交；dr,直線與圓相切；dr,直線與

圓相離.這是第二種判斷直線與圓位置關系的方法---通過圓心到直線的

距離與半徑的大小關系進行判斷.

平移直線的過程中，圓心到直線的距離的變化導致位置關系的變化；

反之，位置關系的變化導致圓心到直線的距離與半徑間大小關系的變化.

以相交為例，直線與圓相交、直線與圓有兩個公共點、dr,它們

之間的關系都是充分必要的.

設計意圖:復習平面幾何的判斷方法，引導學生將幾何直觀進行定量表

達，通過引言和問題1，回顧初中學習的平面幾何知識以及本章前面所

學內容，提出本節研究的問題—利用直線與圓的方程，通過定量計算，

判斷直線與圓的位置關系，使學生體會這種研究思路的邏輯必然，能夠

在問題的引導下自主提出并研究問題.

位置關系相交相切相離

直線與圓公210

共點個數

d與rdrdrdr

問題2本章我們研究直線、圓的角度是什么?

師生活動：在解析幾何中，我們用方程研究幾何圖形.點，我們用有序數

對表示；線，用二元一次方程表示；圓，用二元二次方程表示.研究方法

是把幾何問題轉化為代數問題，運用代數方法研究幾何圖形的性質.

設計意圖:學生結合問題，回顧高中研究位置關系問題的方法，通過思考，

容易發現，本章我們在坐標系中建立了直線方程、圓的方程,并通過它們

的方程研究與直線、圓有關的幾何問題.通過坐標系，將幾何元素，用

坐標、方程表示，將幾何問題轉化為代數問題，再通過代數方法研究幾

（二）何圖形的性質.比較高中初中研究幾何圖形方法的不同，引導學生考慮將

2分

探究方直線與圓位置關系中的幾何要素用代數方法表達.

鐘

案追問：類比兩直線位置關系的研究方法，怎樣通過代數方法，研究直線

與圓的位置關系呢?

師生活動：如果兩直線相交，交點在“形”上的意義是，既在第一條直

線上，又在第二條直線上；從“數”上理解，交點坐標既滿足第一條直

線方程，又滿足第二條直線方程，它是兩直線方程聯立組成的方程組的

解.如果兩直線平行，則方程組無解.相交與否這一幾何位置關系問題，

就可以通過方程組有無實數根的代數方法來判斷.直線與圓是否有交點

的問題，也可以轉化為方程組的實根個數問題來解決.

設計意圖:類比直線與直線的位置關系問題的解決方法，討論解析幾何研

究問題的基本思路，學生可以自主尋求到將直線與圓的位置關系中的幾

何元素進行代數表達的思考方向.具體方案也已經形成—將交點問題的

判斷轉化為方程組實根的情況的判斷.

逐步體現本節課問題研究的必要性.由形上的不夠嚴謹，過渡到利用

d與r的比較，再過渡到類比直線與直線位置關系的研究方法，用方程進

行判斷.

例1已知直線l：3xy60和圓心為C的圓x2y22y40，

判斷直線l與圓C的位置關系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦

長.

思路1：將判斷直線與圓的位置關系，轉化為判斷由它們的方程組成的方

程組有無實數解、有幾個實數解的問題;兩點距離公式求弦長（代數法）.

3xy60(1)

2

22,消去,得：，

xy2y40(2)yx3x20

因為0，方程有兩個實數解，所以直線l與圓C有兩個交點，直線

與圓C相交.解方程2，得，

lx3x20x12,x21

把分別代入方程（），得到

x12,x211y10,y23.

所以，直線l與圓C有兩個交點是A(2,0),B(1,3).

直線l被圓C所截得弦AB的長度|AB|(21)2+（03）2=10.

設計意圖：學生可以類比直線與直線相交的問題，猜想出直線與圓相交

問題的代數解法，從幾何到代數，再從代數回歸到幾何，總結根的判別

(三)

15

方案應式的代數、幾何意義.

分鐘

用0直線與圓有兩個公共點，相交

0直線與圓只有一個公共點，相切

0直線與圓沒有公共點，相離

思路2：將判斷直線與圓的位置關系，轉化為圓心到直線距離與半徑的大

小關系的問題；若相交，利用圓的幾何性質--垂徑定理，解決弦長問題(幾

何法).

師生活動：將圓C的一般方程

x2y22y40，化為標準方程

x2(y1)25，可得圓心坐標C(0,1),半

徑5，則圓心到直線l的距離為

|30116|5

d5

321210

由于d<r,直線l與圓C有兩個公共點，直線l與圓C相交.由垂徑定理，

弦AB的長度|AB|2r2d210.

設計意圖：解析幾何是用代數方法解決幾何問題，但其本質仍是幾何問

題.分析、解決問題的首選，是利用幾何圖形的性質.在學習了純代數的

方法，即高中解析幾何給我們提供的解法后，將幾何圖形放在坐標系里，

用方程研究之后，學生會產生這樣的疑問，將幾何圖形放在坐標系下了，

幾何圖形的性質仍成立.直線與圓的位置關系，可以由公共點個數判斷，

也可以綜合使用幾何方法，由d與r的大小關系判斷.在上述解法中，從

幾何圖形上考慮，引導學生思考利用方程，求出圓心到直線的距離，判

斷直線與圓的位置關系,垂徑定理求弦長.

同時比較，方法一、二，都是對同樣的幾何元素進行代數表達，整理得

到的結論也指向的是同樣的幾何圖形的位置關系.對用方程研究直線與圓

的位置關系問題的方法進行歸納、整理.

例2過點P(2,1)作圓O：x2y21的切線l，求切線l方程.

追問1：過一點作圓的切線，能做出幾條?

師生活動：從幾何圖形上分析，題目中說:過一點做圓的切線，能做出幾

條？這首先涉及點與圓的位置關系，我們可以畫圖判斷，同時把幾何條

件整理出來；當然，還可以把點的坐標代入圓的方程進行判斷.點在圓外.

過圓外一點可以作圓的兩條切線.

設計意圖：分析幾何條件，師生一起畫圖、（用代數、幾何兩種判斷方法

進行），判斷點在圓外，回憶.在分析點與圓位置關系時，又一次利用幾

何、代數兩種思路去解決，不斷提示學生，在分析幾何問題時可以向兩

個方向展開思考.

追問2：如何用代數方法表示直線與圓相切？

師生活動：如何表達直線與圓相切？（板書）

過一個點，做圓的切線，又回到了線圓位置關系問題上.上面我們一

起分析處理了直線與圓的三種位置關系，從不同角度去刻畫位置關系，

是解決這一問題的關鍵.相切，有幾種方式表示？--公共點的個數，根的

判別式，d與r的比較.

設計意圖:鞏固代數方法解決幾何問題的思路，引出本題，指明聯系，分

析區別.

追問3：直線方程選擇什么形式？

已知直線過一定點，表達它還需要確定一個要素，要么補充直線的

斜率，要么補充另一個點，都可確定直線的方程.

無論選擇哪種形式的直線方程，都可以用兩種思路--思路1：將直線

與圓的位置關系—相切，轉化為由它們的方程組成的方程組只有一組解，

0，從而確定直線斜率，進而確定直線方程.思路2：將直線與圓的

位置關系—相切，轉化為圓心到直線距離等于半徑或者圓外一點與切點

連線與過切點的半徑垂直等幾何特征，從而確定直線的方程.

設計意圖：課標在本章的發展要求中明確指出，需要學生根據給定的條

件，靈活選取適當形式的直線方程，熟練運用待定系數法求直線方程.無

論選擇用哪種代數形式表示直線，都可以用以下兩種思路--思路1：將直

線與圓的位置關系—相切，轉化為由它們的方程組成的方程組只有一組

解，0，從而確定直線方程中的參數.（代數法）；思路2：將直線

與圓的位置關系—相切，轉化為圓心到直線距離等于半徑或者圓外一點

與切點連線與過切點的半徑垂直等等幾何特征，從而確定直線方程中的

參數.（幾何法）

在設兩點式的過程中由于參數是兩個，因此計算過程比設點斜式

x0、y0

要繁復，那么如果利用切點的其他幾何性質是否可以簡化運算呢？我們

知道，由于直線與圓相切，設切點，則可以利用

A(x0,y0)OAPA,

斜率之間的等量關系去翻譯，也可以規避斜率是否存在的問題，轉化為

向量進一步刻畫，OAPA0.

4

22x0

(x0,y0)(x02,y01)0x02x0y0y00x00

或5

2222

x0y01x0y01y013

y

05

由于，OAPA直線與圓的兩個切點，可以看作是以OP中點為圓心，

1

OP長為半徑的圓相交得到，因此也可以聯立兩個圓方程，求兩圓公共

2

弦所在直線方程，再聯立找到切點，確定；同學們還會發現，兩

(x0,y0)

切點的連線方程是可求的，通過這條直線與圓的交點，也可以計算出切

點坐標，從而得到切線方程.

思路1：將直線與圓的位置關系—相切，轉化為由它們的方程組成的方程

組只有一組解，0，從而確定直線方程中的參數.（代數法）

思路2：將直線與圓的位置關系—相切，轉化為圓心到直線距離等于半徑，

從而確定直線方程中的參數,也可以通過與圓外一點連線垂直于過切點的

半徑；或兩切點的連線被圓外一點于圓心連線垂直平分等幾何性質，建

立方程.（幾何法）下面我們以設立點斜式，利用0的方法為例，將

題目完整解決.

首先考慮切線斜率不存在的情況，易知直線x2與圓外離，因此切線l

斜率存在.

設切線l斜率為k，則切線方程為：y1k(x2).

y1k(x2)

解法1：

22

xy1

消元得：(k21)x2(2k4k2)x4k24k0

直線與圓相切

方程有一個實數解

0

4

由4k2(12k)216k(k21)(k1)0解得：k0或

3

切線l的方程為：y1或4x3y50.

解法2：直線與圓相切

圓心(0,0)到直線l的距離等于圓的半徑

切線方程轉化為一般式：kxy12k0，

|1-2k|4

d=1，解得k0或.

k213

切線l的方程為：y1或4x3y5