第8講函數與方程、函數應用1/45最新考綱1.結合二次函數圖像，了解函數零點與方程根聯絡，判斷一元二次方程根存在性及根個數；2.了解指數函數、對數函數、冪函數增加特征，結合詳細實例體會直線上升、指數增加、對數增加等不一樣函數類型增加含義；3.了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用函數模型)廣泛應用．2/45知識梳理1．函數零點 (1)函數零點概念 函數y＝f(x)圖像與橫軸交點

稱為這個函數零點． (2)函數零點與方程根關系 方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)圖像與

有交點?函數

y＝f(x)有

． (3)零點存在性定理 若函數y＝f(x)在閉區間[a，b]上圖像是連續曲線，而且在區間端點函數值符號相反，即f(a)·f(b)<0，則在區間

內，函數y＝f(x)最少有一個零點，即對應方程f(x)＝0在區間(a，b)內最少有一個實數解．橫坐標x軸零點(a，b)3/452．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)圖像與零點關系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)圖像與x軸交點無交點零點個數210(x1,0)，(x2,0)(x1,0)4/45kx＋b(k≠0)5/454．指數、對數、冪函數模型性質比較函數性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上增減性單調單調單調遞增增加速度越來越快越來越慢相對平穩圖像改變隨x增大逐步表現為與平行隨x增大逐步表現為與平行隨n值改變而各有不一樣值比較存在一個x0，當x>x0時，有logax<xn<ax遞增遞增y軸x軸6/45診斷自測1．判斷正誤(在括號內打“√”或“×”)精彩PPT展示 (1)函數f(x)＝lgx零點是(1,0)． () (2)圖像連續函數y＝f(x)(x∈D)在區間(a，b)?D內有零點，則f(a)·f(b)<0. () (3)若函數f(x)在(a，b)上單調且f(a)·f(b)<0，則函數f(x)在[a，b]上有且只有一個零點． () (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，恒有h(x)<f(x)<g(x)． ()7/45解析(1)f(x)＝lgx零點是1，故(1)錯．(2)f(a)·f(b)＜0是連續函數y＝f(x)在(a，b)內有零點充分無須要條件，故(2)錯．答案(1)×(2)×(3)√(4)√8/459/453．(·安徽卷)以下函數中，既是偶函數又存在零點是() A．y＝cosx B．y＝sinx C．y＝lnx D．y＝x2＋1 解析由函數是偶函數，排除選項B、C，又選項D中函數沒有零點，排除D，y＝cosx為偶函數且有零點． 答案A10/454．已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)關系為y＝alog3(x＋1)，設這種動物第2年有100只，到第8年它們發展到() A．100只 B．200只 C．300只 D．400只 解析由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，

∴y＝100log3(x＋1)，當x＝8時，y＝100log39＝200. 答案B11/4512/45考點一函數零點所在區間判斷【例1】(1)若a<b<c，則函數f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)兩個零點分別位于區間() A．(a，b)和(b，c)內 B．(－∞，a)和(a，b)內 C．(b，c)和(c，＋∞)內 D．(－∞，a)和(c，＋∞)內 (2)設f(x)＝lnx＋x－2，則函數f(x)零點所在區間為() A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)13/45解析(1)∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函數零點存在性定理可知：在區間(a，b)，(b，c)內分別存在零點，又函數f(x)是二次函數，最多有兩個零點；所以函數f(x)兩個零點分別位于區間(a，b)，(b，c)內，故選A.(2)法一函數f(x)零點所在區間可轉化為函數g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2圖像交點橫坐標所在取值范圍．作圖以下：14/45可知f(x)零點所在區間為(1,2)．法二易知f(x)＝lnx＋x－2在(0，＋∞)上為增函數，且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0.所以依據函數零點存在性定理可知在區間(1,2)內函數存在零點．答案(1)A(2)B15/45規律方法確定函數f(x)零點所在區間慣用方法(1)利用函數零點存在性定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上圖像是否連續，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．(2)數形結正當：經過畫函數圖像，觀察圖像與x軸在給定區間上是否有交點來判斷．16/4517/45答案C18/4519/4520/45答案(1)2(2)B21/45規律方法函數零點個數判斷方法：(1)直接求零點，令f(x)＝0，有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理，要求函數在區間[a，b]上是連續不停曲線，且f(a)·f(b)<0，再結合函數圖像與性質確定函數零點個數；(3)利用圖像交點個數，作出兩函數圖像，觀察其交點個數即得零點個數．22/4523/45解析f(x)＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，則函數零點即為函數y＝sin2x與函數y＝x2圖像交點，如圖所表示，兩圖像有2個交點，則函數有2個零點．答案224/45考點三函數零點應用【例3】(·昆明調研)已知定義在R上偶函數f(x)滿足

f(x－4)＝f(x)，且在區間[0,2]上f(x)＝x，若關于x方程

f(x)＝logax有三個不一樣實根，求a取值范圍．25/4526/45規律方法已知函數有零點(方根有根)求參數值慣用方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程根，再經過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法，先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以處理；(3)數形結合，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數圖像，然后觀察求解．27/4528/4529/45(2)在同一坐標系中，作y＝f(x)與y＝b圖像．當x>m時，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個不一樣根，則有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.答案(1)D(2)(3，＋∞)30/45考點四構建函數模型處理實際問題(易錯警示)【例4】(1)(·四川卷)某企業為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入，若該企業年整年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入研發資金比上一年增加12%，則該企業整年投入研發資金開始超出200萬元年份是(參考數據：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)() A．年B．年C．年D．年31/4532/45答案B33/4534/4535/4536/45【訓練4】(1)(·成都調研)某食品保鮮時間y(單位：小時)與儲備溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數底數，k，b為常數)．若該食品在0℃保鮮時間是192小時，在22℃保鮮時間是48小時，則該食品在33℃保鮮時間是________小時．37/4538/45答案2439/4540/4541/45∴當x＝5時，g(x)max＝g(5)＝3125(萬元)．(ⅱ)當7≤x≤12，且x∈N＋時，g(x)＝－480x＋6400是減函數，∴當x＝7時，g(x)max＝g(7)＝3040(萬元)．綜上，年5月份旅游消費總額最大，最大旅游消費總額為3125萬元．42/45[思想方法]1．轉化思想在函數零點問題中應用 方程解個數問題可轉化為兩個函數圖像交點個數問題；已知方程有解求參數范圍問題可轉化為函數值域問題．2．判斷函數零點個數慣用方法 (1)經過解方程來判斷． (2)依據零點存在性定理，結合函數性質來判斷． (3)將函數y＝f(x)－g(x)零點個數轉化為函數y＝f(x)與y＝g(x)圖像公共點個數來判斷．43/453．求解函數應用問題步驟： (1)審題：搞清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型； (2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立對應數學模型； (3)解模：求解數學模型，得出數學結論； (4