第第頁廣東省江門市2025屆高三下學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=2?1+i，則A．1+i B．1?i C．?1?i D．?1+i2．已知一組數(shù)據(jù)12,17,15,x,20的平均數(shù)為16，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A．17 B．16.5 C．16 D．15.53．現(xiàn)有編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)小球和4個(gè)盒子，把4個(gè)小球隨機(jī)放進(jìn)4個(gè)盒子里，每個(gè)盒子裝1個(gè)小球，則恰好有2個(gè)小球與盒子的編號(hào)相同的概率為（）A．14 B．12 C．31284．記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若a1=1A．403 B．913 C．12135．已知sin(α?π6)+cosα=A．?79 B．79 C．?6．在矩形ABCD中，AB,BC,AC成等差數(shù)列，A．10 B．12 C．14 D．167．已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞邊CD所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)圓柱，點(diǎn)M和N分別是圓柱上底面和下底面的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，則三棱錐A?PBC體積的最大值為（）A．18 B．16 C．148．在△ABC中，已知∠BAC=2π3，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，S△ABDA．35 B．315 C．215二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知mx2+A．n=10 B．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256C．展開式中x15的系數(shù)為45m8 10．已知曲線Γ:xA．曲線Γ關(guān)于y軸對(duì)稱B．曲線Γ圍成圖形的面積為11πC．曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)3,0的距離最大值為2+D．若點(diǎn)x0,y0是曲線11．已知函數(shù)f(x)=sinx+sin2x,g(x)=cosx+cos2x,?(x)=λf(x)+μg(x)，其中λ2A．函數(shù)?(x)是周期函數(shù)B．當(dāng)λ=0,μ=1時(shí)，函數(shù)?(x)的值域?yàn)閇?C．當(dāng)λ=1,μ=0時(shí)，x=kπ(k∈Z)是函數(shù)?(x)圖象的對(duì)稱軸D．當(dāng)λμ>0時(shí)，函數(shù)?'(x)在三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．曲線C：y=xex在點(diǎn)M（1，e）處的切線方程為13．已知θ是第三象限角，則曲線C:4x2+14．在某平臺(tái)開展闖關(guān)贏獎(jiǎng)品活動(dòng)中，用戶每次進(jìn)入新的一關(guān)都有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．已知用戶在第一關(guān)抽到獎(jiǎng)品的概率為25．從第二關(guān)開始，若前一關(guān)沒抽到獎(jiǎng)品，則這一關(guān)抽到獎(jiǎng)品的概率為23；若前一關(guān)抽到獎(jiǎng)品，則這一關(guān)抽到獎(jiǎng)品的概率為13．記用戶第n關(guān)抽到獎(jiǎng)品的概率為pn，則四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．東湖公園統(tǒng)計(jì)連續(xù)5天入園參觀的人數(shù)（單位：千人）如下：日期1月13日1月14日1月15日1月16日1月17日第x天12345參觀人數(shù)y2.42.74.16.47.9（1）建立y關(guān)于x的回歸直線方程，預(yù)測(cè)第13天入園參觀人數(shù)；（2）東湖公園只開放南門、北門供游客出入，游客從南門、北門入園的概率相同，且從同一個(gè)門出園的概率為13，從不同一個(gè)門出園的概率為2附：參考數(shù)據(jù)：i=15xiyi=85.2，參考公式：回歸直線方程y=a+bx16．如圖，在斜棱柱ABCD?A1B1C1D（1）證明：BD⊥A（2）若A1A=A17．已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=0時(shí)，討論函數(shù)fx（2）當(dāng)a=?1時(shí)，求函數(shù)fx18．已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為22，以橢圓E短軸一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，過點(diǎn)P0,2的直線AB,CD分別交橢圓E于點(diǎn)A,B,C,D，點(diǎn)（1）求橢圓E的方程；（2）求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）證明：AB=219．意大利畫家達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．在17世紀(jì)，惠更斯、萊布尼茨、約翰·伯努利等得到懸鏈線方程是y=cexc+e?xc2，其中c為參數(shù)．當(dāng)c=1時(shí)，該方程就是雙曲余弦函數(shù)c?x=ex（1）類比關(guān)系式①②③，寫出c?x和s?（2）當(dāng)x>0時(shí)，不等式s?x≥kx恒成立，求（3）設(shè)無窮數(shù)列an滿足a1=a,an+1=2a

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由z=2?1+i=故答案為：D.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z為代數(shù)形式，再利用共軛復(fù)數(shù)定義得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：由數(shù)據(jù)12,17,15,x,20的平均數(shù)為16，

得12+17+15+x+20=5×16，解得x=16，由5×60%=3，得數(shù)據(jù)12,15,16,17,20的第60百分位數(shù)為故答案為：B.【分析】由已知的平均數(shù)求出x的值，再由第60百分位數(shù)的定義得出答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：把4個(gè)小球隨機(jī)放進(jìn)4個(gè)盒子里，每個(gè)盒子裝1個(gè)小球的試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為A4恰好有2個(gè)小球與盒子的編號(hào)相同的事件含有的基本事件數(shù)為C4所以恰好有2個(gè)小球與盒子的編號(hào)相同的概率為p=C故答案為：A.【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合排列數(shù)公式、組合數(shù)公式求出試驗(yàn)和所求概率的事件含有的基本事件數(shù)，再利用古典概率公式得出恰好有2個(gè)小球與盒子的編號(hào)相同的概率.4．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為qq≠0，

由a42=所以，q=1所以，S5故答案為：C.【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為qq≠0，根據(jù)已知條件求出q的值，再利用等比數(shù)列的求和公式求出5．【答案】B【解析】【解答】解：由sin(α?π6)+cosα=13，

因此sin(α+π6)=故答案為：B.【分析】利用兩角和與差的正弦公式以及二倍角的余弦公式，從而得出cos(2α+π6．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)锳B+BC+AC=2AC，

所以AB+BC+AC則AB=2BC?5①，

在矩形中，由將①式代入②式解得：BC=4或BC把結(jié)果代入①式得AB=3，故矩形ABCD的周長(zhǎng)為2故答案為：C.【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則，從而得到AC?的值，再由等差數(shù)列的性質(zhì)和勾股定理，從而得出AB?,7．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示：由題意知，AB=CD=BC=1，三角形ABC的面積為S=1設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的高為h，又因?yàn)閂A?PBC要使三棱錐A?PBC體積的最大，則需h最大，根據(jù)圖形可得，當(dāng)MN//CD，且CM⊥CB時(shí)，h最大，最大為1，則VA?PBC故答案為：B.

【分析】根據(jù)圖形得到當(dāng)MN//CD且CM⊥CB時(shí)，點(diǎn)P到平面ABC的高最大，再利用三棱錐的體積公式和等體積轉(zhuǎn)化法，從而得出三棱錐A?PBC體積的最大值.8．【答案】A【解析】【解答】解：如下圖所示：因?yàn)锳D平分∠BAC，由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)D到邊AB、AC的距離相等，又因?yàn)镾△ABDS△ACD=AB由S△ABC=S△ABD+S△ACD在△ABD中，由余弦定理可得：

B=4t2+4t由正弦定理可得BDsinπ3=ADsinB，

所以，sin所以，tanB=故答案為：A.

【分析】由角平分線的性質(zhì)可得S△ABDS△ACD=ABAC=BDCD=2，設(shè)AB=2tt>0，則AC=t，由S9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：mx2+對(duì)于A，根據(jù)題意，可得Cn4=對(duì)于B，由mx2+對(duì)于C，由4×10?5r2=15解得r=2，則展開式中x15對(duì)于D，令x=1，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和m+110=1024=2可得展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C10rx40?5r2，故答案為：ACD.【分析】利用二項(xiàng)式定理得出展開式的通項(xiàng)，再根據(jù)已知條件結(jié)合組合數(shù)的對(duì)稱性、二項(xiàng)式系數(shù)之和、賦值法以及二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性，從而逐項(xiàng)判斷找出正確的選項(xiàng).10．【答案】A,D【解析】【解答】解：對(duì)于A，令(x,y)是曲線Γ上的任意一點(diǎn)，即x2則(?x)2+y2?5=|2y?2|成立，即點(diǎn)(?x,y)在曲線Γ對(duì)于B，當(dāng)y≥1時(shí)，x2+y2?5=2y?2，即x2+(y?1)2=4，

它是以O(shè)1(0,1)為圓心，2為半徑的圓在直線y=1及上方的半圓，

當(dāng)y≤1時(shí)，所以，曲線Γ在直線y=1及上方的半圓面積為2π>11π對(duì)于C，曲線Γ在直線y=1及下方部分上的點(diǎn)與點(diǎn)A(3,0)的距離最大值為：

|AO對(duì)于D，因?yàn)閥07x0?21=17?y0觀察圖形知，當(dāng)過點(diǎn)A的直線與曲線Γ在x軸下方部分相切時(shí)，直線PA斜率最大，設(shè)此切線方程為y=k(x?3),k>0，

則|?3k+1|k2+1=22，解得k=7故答案為：AD.

【分析】利用已知條件將?x換x，則判斷出選項(xiàng)A；先確定曲線Γ對(duì)應(yīng)的圖形，再結(jié)合圓的相關(guān)知識(shí)求解，則判斷出選項(xiàng)B、選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，從而找出正確的選項(xiàng).11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對(duì)于A，依題意，?(x)=λ(sinx+sin2x)+μ(cosx+cos2x)，

由sin(x+2π)=sinx，則cos(x+2π)=cosx,sin對(duì)于B，因?yàn)?(x)=cosx+cos2x=2cos2則當(dāng)cosx=?14時(shí)，?(x)min對(duì)于C，因?yàn)?(x)=sinx+sin2x，

當(dāng)k∈Z時(shí)，?(2kπ?x)=sin(2kπ?x)+sin2(2kπ?x)=?sinx?sin2x=??(x)，

則函數(shù)?(x)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)于D，因?yàn)?'(x)=λ(cosx+2cos2x)?μ(sinx+2sin2x)，?'(0)?'(π2)=?3(2λ故答案為：ABD.

【分析】利用三角型函數(shù)的最小正周期公式判斷出函數(shù)?(x)是周期函數(shù)，則判斷出選項(xiàng)A；利用二倍角的余弦公式結(jié)合含余弦的二次型函數(shù)求值域的方法，則判斷出選項(xiàng)B；利用函數(shù)的圖形的對(duì)稱性判斷出選項(xiàng)C；利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出選項(xiàng)D，從而找出正確的選項(xiàng).12．【答案】y=2ex-e【解析】【解答】因?yàn)閥'=ex+xex13．【答案】1,【解析】【解答】解：因?yàn)棣仁堑谌笙藿牵瑒t?1<cos曲線C的方程可化為x2cosθ+y24所以，雙曲線C的離心率為e=c故答案為：1,5【分析】利用三角函數(shù)在各象限的符號(hào)可得?1<cosθ<0，再結(jié)合雙曲線的定義判斷出曲線C為雙曲線，再利用雙曲線離心率公式可得雙曲線14．【答案】8【解析】【解答】解：依題意，p1=25，記用戶第i(i∈N?)關(guān)抽到獎(jiǎng)品為事件AP(An|An?1則pn=1又因?yàn)閜1?12=25則pn?1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(?13)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，pn=12+所以pn的最大值為8故答案為：815【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合全概率公式列式，再利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，按n的奇數(shù)、偶數(shù)分類求解得出pn15．【答案】（1）解：由最小二乘法公式可得b=則a=所以，y關(guān)于x的回歸直線方程為y=1.47x+0.29當(dāng)x=13時(shí)，y=1.47×13+0.29=19.4因此，預(yù)測(cè)第13天入園參觀人數(shù)約為19.4千人.（2）解：記事件A:甲、乙兩名游客從南門出園，

事件B:甲、乙兩名游客從同一個(gè)門入園，則PAB如果甲、乙都從南門入園，且都從南門出園，其概率為12如果甲、乙都從北門入園，且都從南門出園，其概率為12如果甲從南門入園，乙從北門入園，且都從南門出園，

其概率為12如果甲從北門入園，乙從南門入園，且都從南門出園，

其概率為12又因?yàn)镻A由條件概率公式可得PB因此，如果甲、乙兩名游客從南門出園，則他們從同一個(gè)門入園的概率為59【解析】【分析】（1）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，從而求出b、a的值，進(jìn)而可得出回歸直線方程，將x=13代入回歸直線方程，從而預(yù)測(cè)出第13天入園參觀人數(shù).（2）記事件A:甲、乙兩名游客從南門出園，事件B:甲、乙兩名游客從同一個(gè)門入園，先計(jì)算出PAB、P（1）由最小二乘法公式可得b=則a=所以，y關(guān)于x的回歸直線方程為y=1.47x+0.29當(dāng)x=13時(shí)，y=1.47×13+0.29=19.4因此，預(yù)測(cè)第13天入園參觀人數(shù)約為19.4千人.（2）記事件A:甲、乙兩名游客從南門出園，事件B:甲、乙兩名游客從同一個(gè)門入園，則PAB如果甲、乙都從南門入園，且都從南門出園，其概率為12如果甲、乙都從北門入園，且都從南門出園，其概率為12如果甲從南門入園，乙從北門入園，且都從南門出園，其概率為12如果甲從北門入園，乙從南門入園，且都從南門出園，其概率為12PA由條件概率公式可得PB因此，如果甲、乙兩名游客從南門出園，則他們從同一個(gè)門入園的概率為5916．【答案】（1）證明：過點(diǎn)A1作A1O⊥平面ABCD，垂足為O因?yàn)锳A1=AA1，AB=AD，∠A1因?yàn)锳1O⊥平面ABCD，OB,OD,BD?平面ABCD，

所以因?yàn)锳1B=A1D,A1可得點(diǎn)O在線段BD的中垂線上，即O∈AC，

所以A1,A,O,C共面，易知AC⊥BD，

因?yàn)锳1O∩AC=O，A1O,AC?平面A1因?yàn)锳A1?平面A1AC（2）解：連接AC，記AC∩BD=E，連接A1在△AA1C中，由A1A=由（1）可知BD⊥平面A1因?yàn)锽D?平面ABCD，所以平面A1AC⊥平面又因?yàn)槠矫鍭1AC∩平面ABCD=AC，所以A1在△A1AB中，AA1易知△A1AE?△A1BE，則由AB=2，則BD=2【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，從而證出BD⊥A（2）根據(jù)已知條件結(jié)合面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，再結(jié)合兩三角形全等的性質(zhì)和正方形的結(jié)構(gòu)特征，從而得出BD的長(zhǎng).（1）過點(diǎn)A1作A1O⊥平面ABCD，垂足為O因?yàn)锳A1=AA1，AB=AD，∠因?yàn)锳1O⊥平面ABCD，OB,OD,BD?平面ABCD，所以因?yàn)锳1B=A1D,可得點(diǎn)O在線段BD的中垂線上，即O∈AC，所以A1易知AC⊥BD，因?yàn)锳1O∩AC=O，A1O,AC?平面A1因?yàn)锳A1?平面A（2）連接AC，記AC∩BD=E，連接A1在△AA1C中，由A1A=由（1）可知BD⊥平面A1因?yàn)锽D?平面ABCD，所以平面A1AC⊥平面因?yàn)槠矫鍭1AC∩平面ABCD=AC，所以A1在△A1AB中，AA1易知△A1AE?△A1由AB=2，則BD=217．【答案】（1）解：由a=0，則函數(shù)fx=ln由f?x=ln當(dāng)x>0時(shí)，fx=lnx+bx，

顯然當(dāng)b≥0時(shí)，函數(shù)當(dāng)b<0時(shí)，求導(dǎo)可得f'x=1x+b=bx+1當(dāng)0<x<?1b時(shí)，f'x>0所以函數(shù)fx在0,?1b綜上所述，當(dāng)b≥0時(shí)，函數(shù)fx在?∞,0上單調(diào)遞減，

當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)fx在?∞,1b與0,?1b（2）解：由a=?1時(shí)，則函數(shù)fx=lnx?1+bx，

所以函數(shù)fx的定義域?yàn)?∞,?1∪1,+當(dāng)x>1時(shí)，則函數(shù)fx當(dāng)b≥0時(shí)，函數(shù)fx在1,+當(dāng)b<0時(shí)，求導(dǎo)可得f'x=1x?1+b=bx?b+1當(dāng)0<x<b?1b時(shí)，f'x>0所以函數(shù)fx在0,b?1b故函數(shù)fx的極大值為f由函數(shù)fx為偶函數(shù)，

則函數(shù)fx的極大值為綜上所述，當(dāng)b≥0時(shí)，函數(shù)fx當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)fx的極大值為b?1?【解析】【分析】（1）由已知條件和函數(shù)解析式明確函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)化簡(jiǎn)后的解析式和求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，從而討論出函數(shù)fx（2）由函數(shù)解析式明確函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系以及分類討論的方法，從而得出函數(shù)fx（1）由a=0，則函數(shù)fx=ln由f?x=ln當(dāng)x>0時(shí)，fx=lnx+bx，顯然當(dāng)b≥0時(shí)，函數(shù)當(dāng)b<0時(shí)，求導(dǎo)可得f'x=1x當(dāng)0<x<?1b時(shí)，f'x>0所以函數(shù)fx在0,?1b綜上，當(dāng)b≥0時(shí)，函數(shù)fx在?∞,0當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)fx在?∞,1b與0,?（2）由a=?1時(shí)，則函數(shù)fx=lnx?1+bx所以函數(shù)fx的定義域?yàn)?∞,?1當(dāng)x>1時(shí)，則函數(shù)fx當(dāng)b≥0時(shí)，函數(shù)fx在1,+當(dāng)b<0時(shí)，求導(dǎo)可得f'x=1x?1當(dāng)0<x<b?1b時(shí)，f'x>0所以函數(shù)fx在0,b?1b故函數(shù)fx的極大值為f由函數(shù)fx為偶函數(shù)，則函數(shù)fx的極大值為綜上，當(dāng)b≥0時(shí)，函數(shù)fx當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)fx的極大值為b?1?18．【答案】（1）解：由橢圓E短軸一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，

得b=2，則a所以橢圓E的方程為x2（2）解：設(shè)直線AB方程為y=kx+2，A(x1,

由點(diǎn)A在第一象限且與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱，

得直線CD,AB關(guān)于y軸對(duì)稱，則C(?x2由y=kx+2x2+2y2則Δ=64k2直線AC方程為y?y1=y1?=所以點(diǎn)G(0,1).（3）證明：由（2）知，|AB|=1+k2由x1+x2所以AB=2【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和直角三角形的結(jié)構(gòu)特征，從而求出a,b的值，進(jìn)而得出橢圓E的方程.（2）設(shè)出直線AB方程為y=kx+2，A(x1,y1),B(x2,y2)，x2>x1>0（3）由（2）結(jié)合弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理，從而證出AB=2（1）由橢圓E短軸一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，得b=2，則a所以橢圓E的方程為x2（2）設(shè)直線AB方程為y=kx+2，A(x1,由點(diǎn)A在第一象限且與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱，得直線CD,AB關(guān)于y軸對(duì)稱，C(?x由y=kx+2x2+2y2則Δ=64k2直線AC方程為y?y1=y=x所以點(diǎn)G(0,1).（3）由（2）知，|AB|=1+k2由x1+x因此2|AP|?|MG|=21+所以AB=219．【答案】（1）解：（1）雙曲函數(shù)關(guān)系式：①平方關(guān)系：c?2②二倍角關(guān)系：s?(2x)=2s?(x)c?(x)；③導(dǎo)數(shù)關(guān)系：s?'(x)=c?(x)，證明如下（不需要寫出）：因?yàn)閏?2s?2所以c?2因?yàn)閟h(2x)=2sh所以sh(2x)=2s?c?'（2）解