第第頁廣東省深圳市南山實驗教育集團2023-2024學年八年級下學期期中數學試題一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．下列圖標中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．2．如圖，要用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ABD，則需要添加的一個條件是（）A．∠C=∠D B．AC=BD C．BC=BD D．AD=BC 第2題圖 第3題圖 第6題圖3．如圖，在平行四邊形ABCD中，BD=CD，AE⊥BD于點E，若∠C=70°，則∠BAE=（）A．50° B．60° C．70° D．80°4．下列各式變形中，是因式分解的是（）A．a2?2ab+bC．x+2x?2=x5．如果不等式(a?3)x<a?3的解集為x>1，則a必須滿足的條件是（）A．a>0 B．a>3 C．a≠3 D．a<36．如圖，△ABC沿著點B到點C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=6，DH=4，平移距離為7，則陰影部分的面積為（）A．12 B．16 C．28 D．247．下列分式變形從左到右一定成立的是（）A．ab=a2b2 B．a8．已知一次函數y=kx+bk≠0的圖象如圖所示，則不等式kx+b≤0A．x≤2 B．x<2 C．x≥2 D．x>2 第8題圖 第9題圖 第10題圖9．如圖：∠AOB=30°．按下列步驟作圖：①在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作圓弧DE，交射線OB于點F．連結CF；②以點F為圓心，CF長為半徑作圓弧，交弧DE于點G；③連結FG、CG．作射線OG．根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是（）A．∠AOG=60° B．OF垂直平分CGC．OG=CG D．OC=2FG10．如圖，平行四邊形ABCD中，AD=2AB,?CE⊥AB于點E，CE的垂真平分線MV分別交AD、BC于M、N，交CE于O，連接CM、EM，下列結論：（1）∠AEM=∠DCM（2）AM=DM（3）∠BCD=2∠DCM（4）S四邊形BEONA．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（共5小題，每題3分，共15分）11．要使分式12?x有意義，則x的取值范圍是12．因式分解：x2y?2xy+y=13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1，AB=4，則△ABD的面積是． 第13題圖 第15題圖14．若關于x的方程1x?2+x+m15．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的角平分線交AC于D，BD=43，過點C作CE⊥BD交BD三、解答題（共7題，共55分）16．計算：（1）解不等式組：7x+11>3x+1（2）解不等式組：4x+1（3）因式分解：a3（4）因式分解：x217．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A1,1，B4,1，（1）將△ABC向左平移5個單位得到△A'B（2）將△ABC繞點O順時針旋轉90°后得到△A1B1C（3）若點P為y軸上一動點，求PA+PC的最小值．18．如圖，在△ABC中，AB=AC，過CA的延長線上一點D，作DE⊥BC，垂足為E，交邊AB于點F．（1）求證：△ADF是等腰三角形；（2）若AD=13，BE=5，F為AB的中點，求EF的長．19．某工廠制作甲、乙兩種窗戶邊框，已知同樣用12米材料制成甲種邊框的個數比制成乙種邊框的個數少1個，且制成一個甲種邊框比制成一個乙種邊框需要多用20%的材料．（1）求制作每個甲種邊框、乙種邊框各用多少米材料?（2）如果制作甲、乙兩種邊框的材料共640米，要求制作乙種邊框的數量等于甲種邊框數量的2倍，求應安排多少米材料制作甲種邊框?(不計材料損耗)20．如圖，點E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，BE∥DF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若AC=8，BC=6，∠ACB=30°，求平行四邊形ABCD的面積．21．閱讀下列材料：某校“數學社團”活動中，研究發現常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“m2?mn+2m?2n”，細心觀察這個式子就會發現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后產生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為（1）分解因式：a3（2）已知m+n=5，m?n=1，求m2（3）△ABC的三邊a，b，c滿足a2+ab+c22．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D、E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點M、P、N分別為DE，DC，BC的中點．（1）圖1中，線段PM與PN的數量關系是_____，位置關系是_____．（2）把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由．（3）把△ADE繞點A逆時針方向旋轉的過程中，如果∠ABD=30°（D在Rt△ABC內部，如圖3），AB=BD，求證：AD=CD．

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C【解析】【解答】解：根據HL的定義，即直角三角形的斜邊與一條直角邊對應相等，則這兩個直角三角形全等．因為題目中已知兩個直角三角形中AB=AB（公共邊），∠ACB=∠ADB=90°（直角），所以需要添加的條件解是直角邊相等，即BC=BD。

因此，正確答案是C。故選：C．

【分析】

HL是判定兩個直角三角形全等的一種方法，即直角邊和斜邊對應相等，則兩個直角三角形全等。本題中已知直角和斜邊相等，所以只需添加直角邊相等的條件即可。3．【答案】A【解析】【解答】解：∵BD=CD，∠C=70°，∴∠DBC=∠C=70°，

在△BCD中，

∠BDC=180°?2×70°=40°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠BDC=40°，又∵AE⊥BD，∴∠BAE=90°?40°=50°，故選：A

【分析】由等腰三角形性質可得∠DBC=∠C=70°，由三角形內角和公式可得∠BDC=180°?2×70°=40°，由平行四邊形的性質，可得∠ABE=∠BDC=40°，結合AE⊥BD，可得∠BAE=90°?40°=50°．4．【答案】A【解析】【解答】解：A．把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，符合題意；

B．是整式乘法，不符合題意；

C．是整式乘法，不符合題意；

D．沒有把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，不符合題意；故選：A．【分析】

把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解，根據定義對各選項進行判斷即可．5．【答案】D【解析】【解答】解：∵不等式(a?3)x<a?3的解集為x>1，

∴a-3<0，

解得a<3，

故答案為：D.

【分析】根據不等式的性質結合不等式的解集為x>1，得到關于a的不等式，解不等式即可求解.6．【答案】C【解析】【解答】解：根據平移的性質，得：

BE=7,DE=AB=6,∠DEF=∠B=90°，S△ABC∵DH=4，∴EH=DE?DH=2，則陰影部分的面積為S====28，故選：C．【分析】首先，利用平移的性質可以得到：BE=7,DE=AB=6,∠DEF=∠B=90°，S△ABC7．【答案】C【解析】【解答】解：A、abB、當c≠0時abC、acbcD、?a?b故選：C．【分析】根據分式的基本性質：分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變，逐項判斷即可．8．【答案】A【解析】【解答】解：由圖象可得：當x≤2時，y=kx+b≤0，∴不等式kx+b≤0的解集為x≤2，故選：A．

【分析】通過觀察函數圖象，確定當函數值小于等于0時，自變量x的取值范圍。這個范圍就是不等式kx+b≤0的解集。9．【答案】D【解析】【解答】由作法得OC=OF=OG，FG=FC，則OF垂直平分CG，所以B選項的結論正確；∵C點與G點關于OF對稱∴∠FOG=∠FOC=30°，∴∠AOG=60°，所以A選項的結論正確；∴△OCG為等邊三角形，OG=CG，所以C選項的結論正確；在Rt△OCM中，∵∠COM=30°∴OC=2CM，∵CF>CM，FC=FG，∴OC≠2FG，所以D選項的結論錯誤故選：D.【分析】由作法得OC=OF=OG，FG=FC，根據線段垂直平分線的判定方法可判斷OF垂直平分CG，則可對B選項進行判斷；利用C點與G點關于OF對稱得到∠FOG=∠FOC=30°，則可對A選項進行判斷；通過判斷△OCG為等邊三角形可對C選項進行判斷；利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OC=2CM，加上CF>CM，FC=FG，則可對D選項進行判斷.10．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，延長EM交CD的延長線于G，∵ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD

∴∠AEM=∠G

∵CE⊥AB

∴CE⊥CD

∵MN垂直平分CE，

∴ME=MC

∴∠MEC=∠MCE

∵∠MEC+∠G=90°，∠MCE+∠DCM=90°

∴∠DCM=∠G

∴∠AEM=∠DCM

故①正確；

∵∠DCM=∠G

∴MC=MG

∴ME=MG

∵∠AME=∠DMG

∴△AME≌△DMG（ASA）

∴AM=DM

故②正確；

∵ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC

∵CE⊥AB，MN⊥CE

∴AB∥MN∥CD

∴四邊形ABNM、四邊形CDMN均為平行四邊形

∴MN=AB

∵AM=MD=12AD，AD=2AB

∴MD=CD=MN=NC

∴四邊形CDMN是菱形

∴∠BCD=2∠DCM，

故③正確；

設菱形ABNM的高為h，則S△CDM=12S菱形CDMN，S四邊形BEON=12（BE+ON）×h=32ON×h

∵OM=12（AE+CD）

∴12CD＜OM＜AB

∴ON＜12CD

∴S四邊形BEON＜34CD×h=34【分析】①由平行四邊形性質可得AB∥CD，由線段垂直平分線性質可得ME=MC，再根據等角的余角相等可得①正確；②構造△AME≌△DMG（ASA），即可證明②正確；③利用平行四邊形性質、線段垂直平分線性質和AD=2AB可得四邊形CDMN是菱形，依據菱形性質即可證明③正確；④S△CDM=12S菱形CDMN，S四邊形BEON＜34S菱形CDMN，11．【答案】x≠2【解析】【解答】解：∵分式12?x∴2?x≠0，∴x≠2，故答案為：x≠2．

【分析】根據分式有意義的條件（分母不等于0）進行求解即可得出答案．12．【答案】y【解析】【解答】解：x2y?2xy+y

=y故答案為：y(x?1)【分析】先提出公因式y，再運用完全平方公式進行分解即可．13．【答案】2【解析】【解答】解：作DE⊥AB，如圖所示：∵AD平分∠CAB，∠C=∠DEA=90°，∴DE=CD=1∵AB=4，∴△ABD的面積=1故答案為：2

【分析】首先，通過作垂線DE到AB，并利用角平分線的性質可得DE=DC=1，然后利用三角形面積公式，即面積等于底乘以高除以2，可以計算出三角形ABD的面積。14．【答案】-1【解析】【解答】解：分式方程去分母得：1-x-m=2x-4，

由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，

把x=2代入整式方程得：1-2-m=0，

解得：m=-1，故答案為：?1．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根，得到最簡公分母為0求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．15．【答案】2【解析】【解答】解：延長CE交BA的延長線于F，如下圖所示：∵BE平分∠ABC，CE⊥BD交∴∠FBE=∠CBE，∴∠F+∠ABD=90°，在△FBE和△CBE中，∠FBE=∠CBE，∴△FBE≌△CBE，∴CE=EF=1在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CAF=90°，∴∠ACF+∠F=90°，又∵∠F+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，∠BAD=∠CAF=90°，∴△ABD≌△ACFASA∴BD=CF=43∴CE=1故答案為：23．

延長CE交BA的延長線于F，由角平分線的定義可得∠FBE=∠CBE，由垂線的性質可得∠FEB=∠CEB，進而可證明△FBE≌△CBE，推出CE=EF=12CF，由直角三角形的性質可得∠ABD=∠ACF，進而證明△ABD≌△ACFASA，得到16．【答案】（1）解：7x+11>3x+1①2x?1<x+1②，

解不等式①，得x>?2，

解不等式②，得x<2，

（2）解：4x+1≤7x+10①x?6<x?83②，

解不等式①，得x≥?2，

解不等式②（3）解：a3?6a2（4）解：x2x?3+43?x【解析】【分析】（1）先分別求兩個不等式的解集，進而根據口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”即可得出不等式組的解集；（2）先分別求兩個不等式的解集，進而根據口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”即可得出不等式組的解集；（3）先提公因式a，在利用完全平方公式進行因式分解；（4）先提公因式a、，在利用平方差公式進行因式分解．17．【答案】（1）解：如圖，△AC'的坐標為?2,3（2）解：如圖，△A1B1C1即為所求；

（3）解：如圖，點A與點A″關于y軸的對稱，連接A∴PA+PC的最小值為PA【解析】【分析】（1）根據平移的性質即可將△ABC向左平移5個單位得到△A'B（2）根據旋轉的性質即可將△ABC繞點O順時針旋轉90°后得到△A1B（3）找點A關于y軸的對稱點A″，然后連接A″C18．【答案】（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥BC，∴∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90°，∴∠BFE=∠D，又∵∠BFE=∠AFD，∴∠D=∠AFD，∴△ADF是等腰三角形；（2）解：∵F為AB的中點，∴AF=BF，∵△ADF是等腰三角形，∴BF=AF=AD=13，∵DE⊥BC，∴∠CED=90°，∴EF=B答：EF的長為12．【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的性質可得∠B=∠C，再利用DE⊥BC進行角之間的轉換得出∠D=∠AFD，然后根據等腰三角形的判定即可得出結論；（2）根據中點的定義及等腰三角形的性質可得BF=AF=AD，然后根據勾股定理計算EF的長．19．【答案】（1）解：設制作一個乙種邊框需用材料x米，則制作一個甲種邊框需用材料1+20%x由題意得：12解得：x=2，經檢驗x=2是原分式方程的解，當x=2時，1+20%x=2.4答：制作一個甲種邊框需用材料2.4米，制作一個乙種邊框需用材料2米（2）解：設應安排a米材料制作甲種邊框，由題意得：640?a解得：a=240，答：應安排240米材料制作甲種邊框．【解析】【分析】（1）首先根據題目中給出的信息，設制作乙種邊框需用x米材料，由于甲種邊框比乙種邊框多用20%的材料，所以制作甲種邊框需用1.2x米材料。然后根據題目中給出的“同樣用12米材料制成甲種邊框的個數比制成乙種邊框的個數少1個”的信息，可以列出方程

12x（2）設應安排a米材料制作甲種邊框，根據題目中給出的信息可以列出方程，然后解這個方程即可求解。20．【答案】（1）證明：平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA，在△BEC和△DFA中，∠BEC=∠DFA∠ACB=∠CAD∴△BEC≌△DFAAAS∴BE=DF，又BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形（2）解：過A點作AG⊥BC，交CB的延長線于G，在Rt△AGC中，AC=8，∠ACB=30°，∴AG=4，∵BC=6，∴平行四邊形ABCD的面積=BC·AG=4×6=24．【解析】【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得∠ACD=∠CAD，根據平行線的性質可得∠BEC=∠DFA，進而可證△BEC≌△DFAAAS，可推出BE=DF（2）過A點作AG⊥BC，交CB的延長線于G，根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出AG的長，然后根據平行四邊形面積的計算方法即可求解．21．【答案】（1）解：a==(a?3)(=（2）解：m=(=(m+n)(m?n)?2(n?m)=(m+n)(m?n)+2(m?n)=(m?n)(m+n+2)，∵m+n=5，m?n=1，∴原式=1×(5+2)=7（3）解：△ABC是等腰三角形，理由如下：

∵a2+ab+c2?bc=2ac，

∴a2?2ac+c2+(ab?bc)=0，

∴(a?c)2+b(a?c)=0，【解析】【分析】（1）首先將前兩項組合提取公因式，后兩項組合提取公因式，然后提取新的公因式即可；（2）首先將前兩項以及后兩項組合，前兩項利用平方差公式分解因式，后兩項提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；（3）先將原式變形為a2?2ac+c22．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN（2）解：△PMN是等腰直角三角形．理由如下：

由旋轉知，∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACESAS，

∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，

利用三角形的中位線得，PN=12BD，