第第頁廣東省深圳市龍崗區華附集團校2023-2024學年八年級下學期期中數學試題一、選擇題（本大題共10小題，共30分）1．中國“二十四節氣”已被正式列入聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作品錄，下列四幅作品分別代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．2．下列各數中，能使不等式12A．6 B．5 C．4 D．33．下列多項式中，可以使用平方差公式進行因式分解的是（）A．?x2?1 B．?x2+14．等腰三角形的一邊長為4cm，另一邊長為2cm，則它的周長為（）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm5．在平面直角坐標系中，將點P(?1，5)向左平移3個單位，再向下平移1個單位得到P1，則點PA．(?1，5) B．(2,6) C．(?4,6．如圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，若想建立一個貨物中轉倉，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉倉的位置應選在（）A．三邊中線的交點 B．三邊上高的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點 第6題圖 第10題圖7．下列說法中正確的是（）A．斜邊相等的兩個直角三角形全等 B．腰相等的兩個等腰三角形全等C．有一邊相等的兩個等邊三角形全等 D．兩條邊相等的兩個直角三角形全等8．下列算式不正確的是（）A．999×1001=B．80C．25D．1999．關于x的不等式組x?a≥1x?b<2①若不等式組無解，則b?a<?1；②若b=3時，不等式組的整數解有5個，則?2<a≤?1；③若不等式x?a≥1至少有5個負整數解，則?7<a≤?6；A．② B．①② C．①③ D．②③10．如圖，已知在△ABC中，BA=BC=10，AC=12，將△ABC繞點A逆時針旋轉．得到△A'B'C'．點D是邊AC的中點，點E為邊BC上的動點，在△ABC繞點A逆時針旋轉的過程中，點A．365 B．545 C．72二、填空題（本大題共5小題，共15分）11．分解因式：ab2?a12．“a的3倍與1的和比b小”用不等式表示為．13．如圖，函數y＝2x和y＝ax+4的圖象相交于點A（m，3），則不等式2x≥ax+4的解集為． 第13題圖 第14題圖 第15題圖14．如圖，∠AOP＝∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠AOB＝45°，PC＝6，則PD的長為．15．如圖，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=5，將直角三角形ABC沿BC方向平移2個單位長度得到直角三角形EFG，EF與AC交于點H，且AH=2，則圖中陰影部分的面積為．三、解答題（本大題共7小題，共55分。其中，第16題8分，第17、18題6分，第19、20題8分，第21題9分，22題10分）16．解不等式組6?3x>?2x?217．如圖，線段AB的兩個端點的坐標分別為A1,?1、B3,1，將線段AB繞點O逆時針旋轉90°到對應線段（1）請在圖中畫出線段CD；（2）請直接寫出點A、B的對應點的坐標C（______，______）、D（______，______）；（3）在x軸上求作一點P，使△PCD的周長最小，并直接寫出P點坐標為（______，______）．18．某電子產品店兩次購進甲和乙兩種品牌耳機的數量和總費用如下表：第一次第二次甲品牌耳機（個）2030乙品牌耳機（個）4050總費用（元）1080014600（1）甲、乙兩種品牌耳機的進價各是多少元？（2）商家第三次進貨計劃購進兩種品牌耳機共200個，其中甲品牌耳機數量不少于30個，在采購總價不超過35000元的情況下，最多能購進多少個甲品牌耳機？19．如圖，在△ABC中，∠ACB的平分線交AB于點D,∠ADC的平分線交AC于點E，DE∥BC．（1）證明：△DBC是等腰三角形；（2）若BC=2CE，求∠ADE的度數．20．配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數能表示成a2+b解決問題：（1）①已知29是“完美數”，請將它寫成a2+b②若x2?6x+5可配方成x?m2+n探究問題：（2）①已知x2+y2②已知S=x拓展結論：（3）已知實數x、y滿足?x2+21．如圖，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于點O，AO=6，BO=9．（1）求BC，AC的長；（2）若點D是射線OB的一個動點，作DE⊥AC于點E，連結OE．①當點D在線段OB上時，若△AOE是以AO為腰的等腰三角形，請求出所有符合條件的OD的長．②設直線DE交直線BC于點F連結OF、CD，若S△OBF:S

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、繞某一點旋轉180°后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意；B、繞某一點旋轉180°后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意；C、繞某一點旋轉180°后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意；D、繞某一點旋轉180°后，能夠與原圖形重合，故是中心對稱圖形，故符合題意；故答案為：D．

【分析】把一個圖形繞某一點旋轉180°后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，再對各選項逐一判斷即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：移項得：12系數化為1得：x<4．觀察四個選項，能使x＜4成立的是3．故答案為：D．【分析】本題考查了解一元一次不等式．熟知解一元一次不等式的步驟是解題關鍵.

解一元一次不等式的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，根據將誒一元一次不等式的步驟，通過移項、系數化為1的步驟解出x的范圍，根據x的取值范圍，依次判斷各個選項即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：A、?xB、?xC、x2D、x2故答案為：B．【分析】此題考查平方差公式因式分解．熟知平方差公式是解題關鍵.

根據平方差公式：a24．【答案】C【解析】【解答】解：當腰長為2cm時，則等腰三角形的三邊分別為2cm，2cm，4cm，根據三角形三邊關系可知：2+2=4，∴此時不能組成三角形，不符合題意；當地長為2cm的邊為底時，則等腰三角形的三邊分別為2cm，4cm，4cm，根據三角形三邊關系可知：2+4>4，∴此時這三邊能組成三角形，∴該等腰三角形的周長為2+4+4=10cm故答案為：C．【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義．根據等腰三角形的定義：兩腰相等，可根據題意：分2cm是腰長和底邊長兩種情況討論，再結合三角形三邊的關系：兩邊之和大于第三邊可判斷出：這個等腰三角形的三邊為：2cm、4cm、4cm，最后根據三角形周長計算公式：三角形周長=三邊相加，代入數據計算即可得出答案．5．【答案】C【解析】【解答】解：P(?1，5)向左平移3個單位為(?4，5)，再向下平移1個單位得到P1?4,4.

故選：C.6．【答案】D【解析】【解答】解：∵中轉倉到A、B、C三地的距離相等，∴應建在三邊的垂直平分線上

即：中轉倉即為三條垂直平分線的交點，故答案為：D．【分析】本題主要考查了三角形垂直平分線的性質，熟知三角形垂直平分線的性質是解題關鍵.根據垂直平分線的性質：垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，即三角形三條垂直平分線的交點到三個頂點距離相等.

對于選項A：三角形三邊中線的交點是三角形的重心。重心的性質是將每條中線都分成2：1的兩段，它到三角形三個頂點的距離并不相等，所以該選項錯誤；

對于選項B：三角形三邊上高的交點是垂心，垂心的位置會因三角形的形狀不同而有所變化，且重心到三角形的三個頂點的距離也不相等，所以該選項錯誤；

對于選項C：三角形三條角平分線的交點是內心，內心是三角形內切圓的圓心，它到三角形三邊的距離相等，而不是到三個頂點的距離相等，所以該選項錯誤；

對于選項D：根據垂直平分線的性質：垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，即三角形三條垂直平分線的交點到三個頂點距離相等，這個交點也叫三角形的外心，所以該選項正確，由此判斷出答案.7．【答案】C【解析】【解答】A．斜邊相等的兩個直角三角形不一定全等，故該選項錯誤；B．腰相等的等腰三角形，能推論兩條邊相等，不能證明兩個三角形全等，故錯誤；C．一邊相等的兩個等邊三角形一定全等，故該選項正確；D．兩條邊相等的兩個直角三角形不一定全等，故該選項錯誤；故答案為：C．【分析】本題考查三角形全等的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題關鍵．

對于選項A：全等三角形需要滿足對應邊和對應角相等。對于兩個直角三角形，僅斜邊相等，缺少其他邊或角的條件，無法確定它們全等；故該選項錯誤；

對于選項B：兩個等腰三角形腰相等，但是它們的底邊長度以及頂角的大小可能不同，故該選項錯誤；

對于選項C：等邊三角形的三條邊都相等，如果兩個等邊三角形由一邊相等，那么根據等邊三角形的性質：它們的三條邊都對應相等，根據全等三角形的判定定理SSS可得出這兩個等邊三角形全等，故該選項正確；

對于選項D：兩個直角三角形兩條邊相等，存在多種情況，比如一個直角三角形的兩條直角邊分別是3和4，另一個直角三角形一條直角邊為3，斜邊為4，雖然有兩條邊數值相等，但這兩個直角三角形不全等，故該選項錯誤；由此可判斷出答案；8．【答案】D【解析】【解答】解：A、999×1001=1000?1B、802C、257D、1992故答案為：D．【分析】本題主要考查了運用平方差公式和完全平方公式進行簡便運算，靈活運用平方差公式和完全平方公式是解題關鍵．平方差公式：a2?b2=a+ba?b，完全平方公式：a2?2ab+b2=a?b2，冪的乘方：amn9．【答案】A【解析】【解答】解：x?a≥1①x?b<2②

由①得：x≥a+1；

由②得：x<b+2①若不等式組無解，則b+2≤a+1，∴b?a≤?1，故①錯誤；②若b=3時，x＜5

不等式組的整數解有5個，則不等式組的解集為a+1≤x<5，則整數解分別是0，1，2，3，4這5個解，∴?1<a+1≤0，即?2<a≤?1，故②正確；③若不等式x?a≥1至少有5個負整數解，即x≥a+1至少有5個負整數解，∴a+1≤?5，∴a≤?6，故③錯誤；故正確的只有②，故答案為：A．【分析】本題考查了解一元一次不等式組及不等式解集的整數解，根據解集的情況確定參數的取值范圍是解題關鍵；

①先求出每個不等式的解集，再根據不等式組無解可知：b+2≤a+1，移項可得：b-a≤-1，而不是b-a＜-1，故①錯誤；

②根據不等式組整數解的個數可得：?1<a+1≤0；解出a的范圍即可判斷出②正確；

③根據x?a≥1的解集及整數解個數可得出a+1≤?510．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，連接BD，作AH⊥B'C'于H，B'∵△ABC繞點A逆時針旋轉得到△A'B'C'，∴點D的對應點是點D'，B∴AC'=AC=12又∵點D是邊AC的中點，∴BD⊥AC，AD=∴B'∵S△A∴AH=A在旋轉過程中，當點E'與E″重合時，DE當點E'與C″重合時，DC∴線段DE'長度的最大值與最小值的差是：故答案為：C．【分析】如圖，連接BD，作AH⊥B'C'于H，B'D'⊥AC'于D'．根據等腰三角形的性質推論：三線合一可知：AD=12AC=6，根據勾股定理可知：B'11．【答案】a（b+1）（b﹣1）【解析】【解答】解：原式=a(b2?1)=a（b故答案為：a（b+1）（b﹣1）．

【分析】先用提公因式法、再用公式法因式分解。12．【答案】3a+1<b【解析】【解答】解：由題意得：3a+1<b．故答案為：3a+1<b．

【分析】

本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，找出不等關系是解題的關鍵．

根據倍數的定義：a的3倍可表示為：3a，那么“a的3倍與1的和”可表示為：3a+1；“比b小”意味著前面的表達式小于b，即可列出不等式：3a+1<b，由此即可得出答案．13．【答案】x≥1.5【解析】【解答】解：∵函數y＝2x過點A（m，3），∴2m＝3，∴m=∴A3∴不等式2x≥ax+4的解集為x≥1.5．故答案為：x≥1.5【分析】

本題考查了一次函數與一次不等式的關系，熟知一次函數圖象和性質是解題關鍵.由題意可知：點A在函數y=2x上，利用待定系數法可得：m=32，即點A坐標為A3214．【答案】32【解析】【解答】解：如下圖，過P作PE⊥OB于點E，

∵∠AOP=∠BOP，∠AOB=45°，

∴∠AOP=∠BOP=22.5°，

∵PC∥OA，

∴∠OPC=∠AOP=22.5°，

∴∠PCE=∠CPO+∠COP=45°，

∵PE⊥OB

∴∠OEP=90°

∴∠EPC=90°-∠PCE=45°∵PC=6

∴PE=2∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE=32故答案為：3【分析】

本題考查了角平分線的性質，平行線的性質，等腰直角三角形的判定和性質，熟知角平分線的性質是解題關鍵.過P作PE⊥OB，根據角平分線的定義可知：∠AOP=∠BOP=22.5°，由平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等可知：∠OPC=∠AOP=22.5°，由三角形外角的性質：三角形的外角=不相鄰的兩內角之和可知：∠PCE=∠CPO+∠COP=45°，根據直角三角形中45°角所對的直角邊=斜邊的22倍，易得出PE=32，再根據角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等可知：PD=PE=3215．【答案】8【解析】【解答】解：∵Rt△ABC沿BC的方向平移BF距離得△EFG，∴EG=AC=5，S△∴S△EFG∴S梯形∵CH=AC?AH=5?2=3,CG=BF=2,EG=5，∴S梯形∴S梯形即圖中陰影部分的面積為8．故答案為：8．【分析】本題考查了平移的基本性質，以及梯形的面積公式，其中平移不改變圖形的形狀和大小；經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等，根據平移的性質，得到S△EFG=S△ABC，結合陰影部分的面積16．【答案】解：由①得：6-3x＞-2x+4

-3x+2x＞4-6

-x＞-2

x<2，由②得：x-1-3＜3x

x-3x＜1+3

-2x＜4

x>?2，把解集在數軸上表示出來為：∴該不等式組的解集為：?2<x<2．【解析】【分析】本題考查解一元一次不等式組，根據各個不等式的解集求不等式組的解集是解題關鍵．

解一元一次不等式的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1；

根據解一元一次不等式的步驟先把不等式①②的解集求出來，然后把兩個解集畫在數軸上，寫出不等式組的解集即可得出答案．17．【答案】（1）?解：如下圖，線段CD為所求的線段

?（2）1，1；?1，3（3）12，【解析】【解答】解：（2）根據（1）中圖像可得：點C1,1，點D（3）如圖，P即為所求作的點，

∵點C坐標為（1，1），∴設直線CE的解析式為y=kx+b，∴?k+b=?3k+b=1，解得：k=2∴直線CE得解析式為y=2x?1，當y=0時，2x-1=0，∴x=1∴P1【分析】

本題考查的是畫旋轉圖形，坐標與圖形，軸對稱的性質，一次函數的應用，掌握旋轉的性質并進行畫圖是解題關鍵．（1）根據點繞原點逆時針旋轉90°的坐標變換規律，即點（x，y)繞原點O逆時針旋轉90°后得到點

（-y，x）先寫出點A點B旋轉后的對應點CD的坐標，再在坐標系中找到這兩個點并連接成線段CD，即可得出答案；（2）依據點繞原點逆時針旋轉90°的坐標變換規律，將點A（1，-1）點B(3，1)的橫縱坐標按規則進行變換，從而得到點C，D的坐標，即可得出答案；（3）由題意知：CD的長度是固定的，要使△PCD的周長最小，只需PC+PD最小即可，作點D關于x軸的對稱點E，根據對稱點的性質，PD=PE，那么PC+PD=PC+PE，此時問題轉化為求PC+PE的最小值即點P、C、E三點共線時，線段和最小，根據兩點之間線段最短，連接CE，CE與x軸的交點即為P點，再求解CE的解析式，令y=0，求出直線與x軸交點的橫坐標，即為點P的橫坐標，進而得到點P坐標，即可得出答案.18．【答案】（1）解：設甲品牌耳機的進價是x元，乙品牌耳機的進價是y元，由題意得：20x+40y=1080030x+50y=14600解得x=220y=160答：甲品牌耳機的進價是220元，乙品牌耳機的進價是160元．（2）解：設第三次購進甲品牌耳機m個，則購進乙品牌耳機200?m個，

由題意得：m≥30220m+160(200?m)≤35000，

解得30≤m≤50，

∴m的最大值為50．

【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，根據題意準確找到等量關系是解題關鍵；（1）根據公式“總價=單價×數量”，和表格數據：第一次購進甲品牌耳機20個，乙品牌耳機40個，總費用是10800可得：等量關系為：20×甲品牌耳機單價+40×乙品牌耳機單價=10800；第二次購進甲品牌耳機30個，乙品牌耳機50個，總費用是14600可得：等量關系為：30×甲品牌耳機單價+50×乙品牌耳機單價=14600；根據兩個等量關系式列出關于x，y的二元一次方程組，解得xy的值即可得出答案；（2）根據總價不超過35000，甲品牌耳機數量不少于30個，列出關于m的不等式組，求出m的范圍，即可得出答案．19．【答案】（1）證明：∵CD平分∠ACB,ED平分∠ADC，∴∠DCB=∠ECD,∠ADE=∠CDE．∵DE∥BC，∴∠DCB=∠CDE,∠ADE=∠B，∴∠DCB=∠B，∴DB=DC．∴△DBC是等腰三角形；（2）解：取BC的中點F，連接DF．∵BC=2CE，∴BF=FC=EC，在△DFC和△DEC中，FC=EC∴△DFC≌△DECSAS∴∠FDC=∠EDC．∵DB=DC,DF是BC邊上的中線，∴DF平分∠BDC，

∴∠BDF=∠CDF．∴∠BDF=∠CDF=∠CDE=∠ADE．∵∠BDF+∠CDF+∠CDE+∠ADE=180°，∴4∠ADE=180°，解得∠ADE=45°【解析】【分析】

本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟知等腰三角形性質定理的推論三線合一是解題關鍵．（1）由角平分線的定義可知：∠DCB=∠ECD,∠ADE=∠CDE，由平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等可知：∠DCB=∠CDE,∠ADE=∠B，等量代換可得出：∠DCB=∠B，再由等腰三角形的判定定理：等角對等邊可知：DB=DC，即△DBC為等腰三角形，即可證得結論；（2）取BC的中點F，連接DF．由全等三角形判定定理SAS可證得：△DFC≌△DEC，由全等三角形的性質：對應角相等可知：∠FDC=∠EDC，再結合等腰三角形性質定理推論：三線合一可知：DF平分∠BDC，即∠BDF=∠CDF，等量代換得：∠BDF=∠CDF=∠CDE=∠ADE，再由角度和差運算和平角的定義可知：∠BDF+∠CDF+∠CDE+∠ADE=180°，等量代換即可求出∠ADE的度數，即可得出答案．20．【答案】（1）①29=22+5（2）①?1；

解：②當k=13時，S為“完美數”，理由如下：

S=x2+4y2+4x?12y+k

=x2+4x+4+4y2?12y+9+k?4?9

=x+22+2y?32+k?13，

∵S是”完美數“

∴k-13=0

∴k=13

∴當k=13時，S為”完美數“；

【解析】【解答】解：（1）①根據題意得：29=2故答案為：22②根據題意得：x2∴m=3，n=?4，∴mn=?4×3=?12；故答案為：?12；（2）①∵x2∴x2∴x?12∵x?12≥0∴x?1=0，y+2=0，解得：x=1，y=?2，∴x+y=1?2=?1；故答案為：?1；

【分析】

本題考查了配方法的應用，非負數的性質，熟知完全平方公式是解題的關鍵．完全平方公式：a2?2ab+b2=a?b2

（1）①把29分為兩個整數的平方即可；②根據完全平方公式將原式配后，對應相等可確定出m與n的值，即可求出mn的值，即可得出答案；

（2）①根據完全平方公式對等式配方后，根據平方數具有非負數，要使兩個平方數和為0，則x?1=0，y+2=0，求出x與y的值，即可求出x+y的值；

②21．【答案】（1）解：∵AO=6，BO=9，

∴AB=AO+BO=15，

∵BA=BC

∴BC=15，

∵CO⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∵OB=9

∴在Rt△BOC中，CO=B（2）解：①分兩種情況：

i）當AO=OE=6時，過點O作ON⊥AC于點N，如圖1所示：

∴AN=EN，

∵DE⊥AC，

∴ON∥DE，

∴ON是△ADE的中位線，

∴OD=AO=6；

ii）當AO=AE=6時，如圖2所示：

在△CAO和△DAE中，

∠A=∠AAO=AE∠AOC=∠AED=90°，

∴△CAO≌