測量誤差與數據處理全套可編輯PPT課件

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目錄

0.課程介紹

1.緒論2.測量誤差理論3.測量誤差處理基本原理4.條件平差5.間接平差

6.誤差橢圓本課件是可編輯的正常PPT課件為什么要學習測量數據誤差？觀測數據存在的問題：多次測量相同兩點間高差結果不一樣；幾次測量同一角度有差異。為什么會出現這種現象，怎么處理？課程介紹本課件是可編輯的正常PPT課件

測量數據誤差處理又稱為測量平差：平就是調整、平衡，差就是差異。根據最小二乘原理，調整數據的誤差，求得數據的最佳估值，并評定數據精度，這就是平差的任務。

課程介紹本課件是可編輯的正常PPT課件課程介紹☉課程性質：專業基礎課、必修課；主要講授測量數據的誤差理論和處理方法。

☉主要應用的基礎知識：高等數學、線性代數、概率論與數理統計、測量學等；☉教學參考書：誤差理論與測量平差基礎（武漢大學測繪學院）、誤差理論與測量平差基礎習題集（武大）；☉服務后續課程：控制測量、GNSS原理與應用、攝影測量與遙感、工程測量學等專業課程。本課件是可編輯的正常PPT課件怎樣學好測量平差1.要有扎實的數學基礎。平差中，用到高等數學、線性代數、數理統計等課程一些內容，因此，要掌握高等數學、線性代數和概率與數理統計等課程的知識才能較好理解平差原理。課前要做到預習，對與以上三門課程有關內容進行復習。2.聽課時弄清解決問題的思路。本課程公式推導比較多，在課堂上，要認真聽講，掌握思路，記住結論，課后自己推導，消化吸收。3.課后及時復習并完成一定數量的習題,從而鞏固課堂所學的理論知識。本課件是可編輯的正常PPT課件第一章緒論1

觀測誤差；2測量平差學科的研究對象及任務；重點：誤差的來源，觀測誤差的分類與計算，測量平差的基本任務。本課件是可編輯的正常PPT課件

1觀測誤差

測量數據是指用一定的儀器、工具、傳感器或其他手段獲取反映地球與其他實體空間分布有關信息的數據。一、測量數據與誤差1、測量數據本課件是可編輯的正常PPT課件2、測量誤差現象●

距離觀測：幾次測量結果不一樣；●

角度觀測：多次觀測結果相差或不滿足應有的幾何關系●

水準閉合環：不滿足應有的幾何關系。本課件是可編輯的正常PPT課件3、測量誤差定義觀測值與其理論值之間的差異，稱為測量誤差，又叫真誤差。本課件是可編輯的正常PPT課件信息干擾誤差觀測數據二、測量數據與誤差的關系本課件是可編輯的正常PPT課件觀測條件三、誤差的來源

數據如何獲取？觀測者使用一定的測量儀器在一定的外界條件中測取。感官鑒別能力、技術水平、工作態度準確度或精密度自身誤差溫度、濕度、風力、大氣折光等●觀測條件的好壞直接影響著觀測成果質量的高低。本課件是可編輯的正常PPT課件四、觀測誤差的分類、計算及處理根據觀測誤差對測量結果的影響性質，分為：●

偶然誤差●系統誤差●粗差①誤差分類：本課件是可編輯的正常PPT課件●

偶然誤差定義：在相同的觀測條件下進行一系列的觀測,如果單個誤差出現的符號和大小具有偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規律性，但大量觀測的誤差總體卻具有一定的統計規律性，這類誤差稱為偶然誤差。誤差分類隨機誤差本課件是可編輯的正常PPT課件●

系統誤差定義：在相同的觀測條件下進行一系列的觀測,如果誤差在符號和大小上表現出系統性，或者在觀測過程中按一定的規律變化，或者為某一常數，那么，這種誤差稱為系統誤差。誤差分類☉

系統誤差與偶然誤差的關系：在觀測過程中，系統誤差和偶然誤差總是同時產生，當系統誤差占顯著地位時，偶然誤差占次要地位，觀測誤差就呈現出系統的性質；反之，則呈現出偶然的性質。本課件是可編輯的正常PPT課件●

粗差定義：是指比在正常觀測條件下所可能出現的最大誤差還要大的誤差，通常，粗差要比偶然誤差大好幾倍。誤差分類例如：瞄準目標時瞄準錯誤、讀數錯誤、記錄錯誤；計算機輸入數據錯誤；航測相片判讀錯誤；本課件是可編輯的正常PPT課件②觀測誤差的計算真誤差真值觀測值例題講解注意：△的符號本課件是可編輯的正常PPT課件③

誤差處理粗差在一定程度上可以避免重復觀測嚴格檢核計算中發現舍棄或重測系統誤差對于觀測結果具有累積作用合理的操作程序、進行公式改正在觀測過程中消除誤差偶然誤差采用測量平差的方法減弱其影響進行多余觀測粗大誤差或錯誤本課件是可編輯的正常PPT課件2測量平差學科的研究對象一、測量平差定義簡單地講，就是對測量數據進行調整，計算其最佳估值。基本定義：依據某種最優化準則，由一系列帶有觀測誤差的測量數據，求定未知量的最佳估值及精度的一種理論和方法。本課件是可編輯的正常PPT課件二、測量平差研究對象經典測量平差：僅帶有偶然誤差的觀測值。

近代測量平差：同時對帶有偶然誤差、系統誤差和粗差的觀測值研究處理。本課件是可編輯的正常PPT課件三、測量平差基本任務①處理一系列帶有偶然誤差的觀測列，求未知量的最可靠值。②評定測量成果的精度。本課件是可編輯的正常PPT課件3測量平差的簡史和發展18世紀末測量學天文測量學如何消除由觀測誤差引起的觀測量之間矛盾的問題1794年，高斯提出最小二乘法理論；1801年，高斯利用最小二乘法預報谷神星運行軌道；1809年，高斯在《天體運動的理論》一文中，從概率論觀點，詳細地敘述了他所提出的最小二乘法理論；1806年，勒戎德樂在《決定彗星軌道方法》一文中，從代數觀點也獨立提出了最小二乘法。本課件是可編輯的正常PPT課件例：在下列情況下使水準測量中水準尺的讀數有誤差，試判斷誤差的性質與符號：1.視準軸與水準軸不平行；2.儀器下沉；3.讀數時估讀不正確；4.水準尺下沉。答案：1.當i角為正值時，產生系統誤差，符號為“-”，當i角為負值時，產生系統誤差，符號為“+”；2.系統誤差，符號為“+”；3.偶然誤差，符號為“+”或“-”；4.系統誤差，符號為“-”。本課件是可編輯的正常PPT課件本章總結.思考題：1觀測誤差如何分類？2測量平差的基本任務是什么？第二章測量誤差理論

2.1偶然誤差統計規律2.2觀測量及觀測向量的精度指標本課件是可編輯的正常PPT課件2.1偶然誤差的統計規律教學目的：①了解偶然誤差的分布規律；②掌握偶然誤差的四個特性。本節重點：偶然誤差的四個特性。本課件是可編輯的正常PPT課件1.偶然誤差的統計規律

偶然誤差有什么特征？下面通過實驗研究：在某測區，在相同的觀測條件下，獨立地觀測了358個平面三角形的全部內角，計算每個三角形的內角和的真誤差：△i=180°-（L1+L2+L3）i

（i=1，2，…，358）在另一測區觀測了421個三角形，同理可得：△j=180°-（L1+L2+L3）j

（j=1，2，…，421）本課件是可編輯的正常PPT課件（1）誤差分布表

將358個△i進行整理：按從大到小的順序排列，然后以dΔ=0.20″為區間長度進行分區，再統計各區間內誤差的個數vi以及“誤差出現在某個區間內”的頻率vi/n（n為誤差個數），分別得到表2-1。本課件是可編輯的正常PPT課件

將另外421個三角形內角和真誤差△j進行同樣的整理，得到表2-2。（1）誤差分布表本課件是可編輯的正常PPT課件誤差分布表中得出的規律：

1）誤差的絕對值有一定的限值，稱為有界性；2）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差多，稱為集中性；3）絕對值相等的正負誤差的個數相近，稱為有對稱性。

4）偶然誤差的數學期望或算術平均值極限為零，稱為抵償性。（1）誤差分布表本課件是可編輯的正常PPT課件（2）直方圖

以橫坐標表示誤差的大小，縱坐標代表各區間內誤差出現的頻率除以區間的間隔值，那么，表2-1和表2-2中的數據就可以繪制出圖2-1和圖2-2。反映的特征：對稱、集中在零附近、有界。本課件是可編輯的正常PPT課件（3）誤差分布曲線（誤差的概率分布曲線）

在的情況下，如果此時把誤差區間間隔無限地縮小，則圖2-1和圖2-2中各長方條頂邊所形成的折線將會分別如圖2-3所示的兩條光滑的曲線。從誤差曲線中可以看出：偶然誤差具有集中性、對稱性、有界性。本課件是可編輯的正常PPT課件本課件是可編輯的正常PPT課件2.偶然誤差的特性⑵絕對值小的誤差出現的概率大：(1)絕對值相等的正負誤差出現的概率相同；⑷(3)在一定的觀測條件下，誤差的絕對值有一定的限值。即：本課件是可編輯的正常PPT課件

3.由偶然誤差特征引出的兩個測量依據1）測量限差依據：

偶然誤差的有界性告訴我們，在一定的條件下，誤差的絕對值有一定的限值。根據這一性質，實際測量中，按觀測條件確定一個誤差限值，當觀測值的誤差小于該值時，認為成果合格，否則，就不合格的。2）判斷觀測值中是否有系統誤差或粗差的方法：

偶然誤差的對稱性和抵償性可知，誤差的理論平均值為零，如果誤差的平均值不為零，且較大，則可以判斷觀測值中含有系統誤差或粗差。

本課件是可編輯的正常PPT課件2.2觀測值及觀測向量精度的指標教學目的：熟記衡量精度的指標，掌握精度計算方法。重點：常用的精度指標及計算公式。本課件是可編輯的正常PPT課件1、幾個概念：①離散：一組誤差分布得較密集，稱離散度較小，否則，離散度就大。②精度：指誤差分布的密集或離散的程度，即離散度的大小。★誤差分布相同，精度也相同。反之，若誤差分布不同，精度也就不同。本課件是可編輯的正常PPT課件③精度指標：能反映誤差分布密集或離散程度的數字，即能反映離散度大小的數字，稱為衡量精度的指標。

常用的表述精度的指標有：方差、中誤差、極限誤差和相對誤差、方差陣。本課件是可編輯的正常PPT課件2、觀測值精度指標的介紹（1）方差和中誤差對于偶然誤差△來說，方差為：σ2=D（△）=E（△2）而σ就是中誤差（也用m表示）,恒為正值。本課件是可編輯的正常PPT課件或即本課件是可編輯的正常PPT課件根據一組等精度真誤差計算方差和中誤差估值的基本公式本課件是可編輯的正常PPT課件

在大量同精度觀測的一組誤差中，誤差落在（-σ，+σ

）（-2σ

，+2σ

）（-3σ

，+3σ

）的概率分別為P（-σ<△<+σ

）≈68.3%P（-2σ<△<+2σ

）≈95.5%P（-3σ<△<+3σ

）≈99.7%通常以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值△限，并稱為極限誤差，即△限=3σ對觀測要求較嚴時，也可用二倍中誤差作為極限誤差，即△限=2σ（2）

極限誤差本課件是可編輯的正常PPT課件（3）相對誤差定義：

相對中誤差是一個無名數，在測量中一般將其分子化為1，即用1/N表示。

真誤差和極限誤差，有時也用相對誤差來表示。相對精度，指衡量單位觀測值的精度。相對中誤差，是中誤差與觀測值之比。☉對長度元素而言，如果不特別說明，相對精度就是指相對中誤差。角度元素沒有相對精度。本課件是可編輯的正常PPT課件（4）各種指標的相對關系相對誤差：相對中誤差絕對誤差：中誤差、平均誤差、或然誤差、極限誤差

在用公式計算中誤差時，由于n是有限值，故只能求中誤差的估值，與理論值有一定的差異，n越大，這一差異就越小，也就越能反映觀測精度。如果n很小，求出的估值是不可靠的。

世界各國通常采用中誤差作為衡量精度的指標。本課件是可編輯的正常PPT課件例3:某段距離用鋼尺丈量了6次，觀測值列于下表。該段距離用因瓦基線尺量得的結果為49.982，由于其精度很高，故可視為真值。試求用該50m鋼尺丈量該距離一次的觀測中誤差。觀測次序觀測值（m）△(mm)△△計算149.988+636249.975-749349.981-11449.978-416549.987+525649.984+24131本課件是可編輯的正常PPT課件3、觀測向量的精度指標（1）觀測量間的協方差：設有兩個觀測量L1、L2，當觀測量之間不獨立時，觀測量之間的誤差相關，描述這種相關程度的指標稱為協方差，定義式為

當時，表示觀測量間不相關；反之，表示兩者相關。正值,正相關；負值，負相關。（2）觀測向量：若有n個觀測值，可將它們表示成一個向量

稱為觀測向量。

本課件是可編輯的正常PPT課件3、觀測向量的精度指標（3）觀測向量的精度指標不是一個量，包含每個觀測值的方差、觀測值之間的協方差等多個數值。

為方便起見，通常用“方差陣”概念表示觀測向量的精度，它是一個矩陣，實為方差--協方差陣的簡稱。

本課件是可編輯的正常PPT課件3、觀測向量的精度指標

方差陣特征：它是一個對稱陣，對角線上的元素是各個觀測量的方差，非對角線上的元素各觀測值之間的協方差。例題：對角陣對稱陣本課件是可編輯的正常PPT課件3、觀測向量的精度指標例題：有觀測向量L=[L1L2L3]T,他們的方差陣記為寫出各觀測量的方差。本課件是可編輯的正常PPT課件課堂習題1.設對某距離進行了兩組觀測，它們的真誤差（單位mm）分別為：第一組：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2第二組：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1試求兩組觀測值的平均誤差θ1、θ2和中誤差σ1、σ2

，并比較兩組觀測值的精度。2.有一段距離，其觀測值及其中誤差為652.48m±9mm。①試估計該觀測值的真誤差實際可能出現的范圍是多少？②求該觀測值的相對中誤差。本課件是可編輯的正常PPT課件第二章測量誤差理論

2.3協方差傳播定律2.4協方差傳播律在測量上的應用本課件是可編輯的正常PPT課件2.3協方差傳播定律

由觀測值的方差求觀測值函數的方差公式稱為方差傳播定律。下面根據方差定義式推導不同類型函數方差傳播公式。

一、觀測值的線性函數方差1.倍函數

已知觀測量X的方差，求

函數Z的方差

。

對x同精度多次觀測得

，其真誤差為

對應Z的真誤差為

，，根據函數關系有

即：

本課件是可編輯的正常PPT課件2.3方差傳播律將各式平方：求和并除以n兩邊取極限根據方差定義，得

或結論：倍函數的中誤差，等于觀測值中誤差乘以常數。例1在1:500的地圖上，量得某兩點間的距離是10cm，量距誤差是±0.5mm。求兩點間的實地距離和其精度。

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2.3方差傳播律

2.和差函數

x、y為獨立觀測值，分別表示x、y、z的真誤差，代入函數關系式，當x、y觀測了n次，有

平方求和，并除以n根據方差和協方差定義

觀測值x、y相互獨立，協方差故有：結論：獨立觀測值的和（差）函數的方差，等于觀測值方差之和。本課件是可編輯的正常PPT課件2.3方差傳播律2.和差函數

推論：n個獨立觀測值代數和的函數方差等于各個觀測值方差之和：

3.一般線性函數的方差傳播公式

一般線性函數，若各觀測值獨立，它們的中誤差為則本課件是可編輯的正常PPT課件2.3方差傳播律

從一般線性函數方差傳播律公式可以看出，倍函數、和差函數只是一般線性函數特例。本課件是可編輯的正常PPT課件2.3方差傳播律二、一般非線性函數的方差傳播律

本課件是可編輯的正常PPT課件2.3方差傳播律二、一般函數的方差傳播律當各個觀測值之間獨立，觀測值之間的協方差為零，則為本課件是可編輯的正常PPT課件§2-3方差傳播律本課件是可編輯的正常PPT課件本課件是可編輯的正常PPT課件2.3方差傳播律

一般函數協方差計算步驟1．根據具體測量問題，寫出函數表達式。2．對于非線性函數，寫出全微分關系式，并計算微分系數。3．代人方差傳播律公式，計算函數方差。若觀測值相互獨立，可按展開式計算：4.例題講解：本課件是可編輯的正常PPT課件例1：已知觀測值函數及觀測向量的方差陣

求函數F的方差例2設x是獨立觀測值的函數，，已知L1、L2和L3的中誤差分別為、和，求函數的中誤差。例3

設觀測角和的中誤差是,協方差是，求的中誤差，其中無誤差。本課件是可編輯的正常PPT課件本課件是可編輯的正常PPT課件本課件是可編輯的正常PPT課件本課件是可編輯的正常PPT課件2.4協方差傳播律在測量中的應用1、水準測量的精度在平原地區，各測站的距離s大致相等,則總長度S的站數為：本課件是可編輯的正常PPT課件例2：在高級水準點A、

（高程無誤差）間布設水準路線，如下圖，路線長分別為設每公里觀測高差的中誤差為

，試求：（1）將閉合差按距離分配之后的p1、p2點間高差的中誤差；（2）分配閉合差后P1點的高程中誤差。AP1P2B例3：在相同條件下，觀測角度

A=15

00

00

，設對

A觀測4個測回的測角精度（中誤差）為3

，問觀測9個測回的精度為多少？例1:若要在兩已知點間布設一條附和水準路線,已知每公里觀測高差中誤差等于±5.0mm,欲使平差后線路中點高程中誤差不大于±10mm,問該路線長度最多可達幾公里?

本課件是可編輯的正常PPT課件2、支導線邊方位角的精度本課件是可編輯的正常PPT課件3、同精度獨立觀測值算數平均值的精度設對某量以同精度獨立了觀測了N次，得觀測值,它們的中誤差均等于。則N個觀測值的算術平均值x為本課件是可編輯的正常PPT課件第二章測量誤差理論

2.5權及其計算

2.6協因數及其傳播律2.7由真誤差值計算方差本課件是可編輯的正常PPT課件問題提出：對于同一量，獲得不同精度觀測結果，如何計算觀測值成果？2.5權與定權的常用方法本課件是可編輯的正常PPT課件

1.權的概念引例：對A角兩次觀測，

A1：35°25′18″，A2：35°25′40″兩次測角中誤差分別為2”和4”，求該角最佳值。方案1：取均值A=1/2(A1+A2),δA=2.24”.方案2:A=4A1/5+A2/5，δA=1.79”.方案3：A=10A1/11+A2/11，δA=1.85”.。。。。。。。。。得到結論：1、不同精度觀測值，在數據處理時，不能同等對待，精度高的占比應該大一些。2、二者的比例還必須適當。這個占比就是不同精度觀測值在成果計算中所占份額的大小，稱之為權，用P表示。

上例三個方案，權分別為：p1=p2=1/2；p1=4/5、p2=1/5；p1=10/11、p2=1/11本課件是可編輯的正常PPT課件權的定義

設有一組觀測值,它們的方差為選定任一常數，定義為觀測值的Li權。

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權的計算

例1：對三段距離進行測量，它們的方差分別為3mm2、2mm2、4mm2，試計算三段距離的權。可以看出，權的大小與取定的大小有關。本課件是可編輯的正常PPT課件

權的大小與取值有關，不同的取值，計算的權值不一樣，但不同算法中，各權之間的比例是一致的。如上例中：P1:P2:P3=4:6:3=6:9:4.5注意：在一個問題中，確定權時，只能取一個，不能選幾個。

權之比等于方差的倒數之比。方差越小，權越大，因此，權的大小能比較觀測值間精度高低。本課件是可編輯的正常PPT課件

也可選取其他數據取本課件是可編輯的正常PPT課件

2．的含義—單位權中誤差

可以看出，若某觀測值中誤差剛好等于

的，則其權就等于1，因此，稱為單位權中誤差。

將權等于1的觀測值稱為單位權觀測值。本課件是可編輯的正常PPT課件

3.權的單位：

根據權的計算式，權有時有單位，有時沒有。如果中誤差和單位權中誤差的單位相同，相互約去了，權就無單位，反之，就有單位。例如，若觀測值中包含有角度和長度兩類元素，它們的中誤差的單位分別為“秒”和“毫米”，而單位權的單位只能選取一種，如取秒，則長度觀測值的權就有單位了，為“秒”2/“毫米”2

。本課件是可編輯的正常PPT課件4.測量中確定權的常用方法水準測量的權各路線的觀測高差為測站數分別為每站觀測高差的精度相同，各段高差的中誤差為取結論一：水準測量中，已知各段線路的測站數，則各段高差的權P=C/N

C含義：（1）一測站高差的權；（2）單位權觀測高差的測站數本課件是可編輯的正常PPT課件測量中確定權的常用方法

如果知道水準測量每段線路的距離，則可推出按線路長度定權公式：結論二：水準測量中，已知各段線路的長度，則各段高差的權P=C/S

C含義：（1）一公里水準路線高差的權；（2）單位權觀測水準路線長度。水準測量中，既可以根據測站數定權，也可以根據水準線路長度定權。本課件是可編輯的正常PPT課件不同觀測次數平均值的權有觀測值，它們分別是次同精度觀測值的平均值，若每次觀測的中誤差均為，則Li的中誤差為

令則由權定義可得的權為

結論：同精度不同次數的觀測值，所得的算術平均值，其權與觀測次數成正比。本課件是可編輯的正常PPT課件

2.6協因數

1.協因數與協因數陣

設有觀測向量

，它們的方差陣為

令

為任意常數，稱qii、qjj分別為Li及Lj的協因數，又稱為權倒數，qij為Li關于Lj的互協因數。

例如：觀測向量L=(L1,L2)T,其方差陣為

，計算協因數本課件是可編輯的正常PPT課件協因數陣定義QLL為向量協因數陣

協因數陣與方差陣關系本課件是可編輯的正常PPT課件

權陣：定義協因數陣的逆陣為權陣

權陣PLL是對稱矩陣

觀測值間獨立時權陣為本課件是可編輯的正常PPT課件

權陣中元素的意義

當觀測值間獨立時，權陣對角線上每個元素為相應觀測量的權。當觀測值間不獨立時，權陣中對角線上的元素不是對應量的權。本課件是可編輯的正常PPT課件

權陣與協因數陣互逆，與方差陣關系

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2.協因數傳播律

已知觀測向量的協因數陣，計算觀測值函數的協因數公式稱為協因數傳播律。

已知觀測向量,其方差陣為DLL，有觀測值函數F=KL+F0，K為系數陣，F0為常數。按方差傳播率，有：

這就是觀測值函數的協因數計算公式本課件是可編輯的正常PPT課件

2.協因數傳播律

當觀測值之間互相獨立，各觀測值的權為Pi,則上式的展開式為

該式稱為權倒數傳播律，它觀測值獨立時函數協因數公式的展開式。本課件是可編輯的正常PPT課件

3.實例

例1：已知觀測向量

，其協方差陣及單位權方差如下，試求向量的協因數陣例2：已知觀測向量的權陣為試求觀測值的權、及觀測值函數F=5L1-2L2+3的權。本課件是可編輯的正常PPT課件

2.7利用觀測值函數的真誤差值求觀測值方差1.用不同精度的真誤差計算單位權中誤差

同精度獨立觀測值

，真誤差為則有：

一組不同精度的獨立觀測值

，它們所中誤差和權分別為、,如何計算它們的單位權中誤差呢？

為了求單位權中誤差，構建一組精度相同且其權為1的獨立的真誤差。

取

可見

它們是一組精度相同、權等于1的真誤差，根據中誤差定義式，有：

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2.由三角形閉合差求測角中誤差

設在三角網中，以同精度獨立觀測了各三角形之內角，由各觀測角值計算而得的三角形內角和的真誤差分別為內角和的中誤差為內角和是一個三角形中三個觀測角值和

之和，根據協方差傳播律又可得

因此測角中誤差為

菲列羅公式本課件是可編輯的正常PPT課件

第三章測量平差基本原理

內容提要：3.1測量平差概述3.2測量平差原理

3.3測量平差數學模型

本課件是可編輯的正常PPT課件3.1測量平差概述在測量中，為了確定某些幾何量的大小,要建立模型。例如：在大地測量中，為求定一些點的高程－建立水準網（點間的高差、點的高程元素）；為求定某些點的坐標－建立平面控制網（角度、邊長、邊的方位角等元素）。

這里水準網和平面控制網就是模型。

本課件是可編輯的正常PPT課件3.1測量平差概述

在這些模型中，通過觀測高差、角度、邊長等元素從而計算未知量。高差、角度、邊長等元素，都是幾何量，因此，統稱這些模型為幾何模型。確定一個幾何模型，需要知道該模型中一定數量元素的大小。本課件是可編輯的正常PPT課件

確定一個幾何模型，并不需要測定其中所有元素的大小，只需要知道部分元素就可以了，這些元素稱為必要元素，必要元素的個數用t來表示。

例如，在水準網中，為了確定P1、P2、P3高程，必須觀測其中3個高差，如h1、h2、h4

或h1、h3、h5或h1、h4、h5

…等等。

如右邊二種模型，必要元素個數分別是t=3和t=2。本課件是可編輯的正常PPT課件

必要元素有時不僅要考慮觀測量個數，還要考慮以它的類型。

例如：1.確定△ABC的形狀；2.確定ABC的形狀和大小必要元素的個數t及其類型是由其幾何模型決定的。對于一個幾何模型，它的t個必要元素之間不存在函數關系，稱它們相互獨立。在一個幾何模型中，如果僅觀測t個獨立觀測量，不能發現錯誤和誤差，需要多觀測一些量。多增加一個觀測量，則在觀測元素間產生一個函數關系。若增加r個觀測量,就產生r個函數關系，這些函數式，在平差中稱為函數模型。如下式：一個方程三個未知數，如何求解？函數模型本課件是可編輯的正常PPT課件

在測量工作中，為了能發現粗差和錯誤，并提高測量成果的精度，常常作多余觀測。

實際觀測個數：n——也稱為總觀測數

必要觀測個數：t

多余觀測個數：r

r=n-t

總觀測個數n>t。平差的目標就是應用這r個函數模型求出觀測值的平差值。本課件是可編輯的正常PPT課件

3.2最小二乘原理

在生產實踐中，經常會遇到利用一組觀測數據來估計某些未知參數的問題。

例如，一個作勻速運動的質點在時刻的位置用線性函數描述其運動規律：

式中

是質點在時刻的初始位置，是平均速度，它們是未知參數。下面要根據一組觀測值求參數本課件是可編輯的正常PPT課件

若令

n個方程，有n+2個未知數，故解有無窮個，哪個解是最優呢？

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在不同的規則下，可求得參數和不同值。按最小二乘原理，認為在

條件下求出的解最優。設真值的估值為是觀測值的改正數（或稱殘差），是

的估值，則可以寫出

最小二乘原理，就是要在滿足

的條件下解出參數的估值本課件是可編輯的正常PPT課件3.2最小二乘原理實例本課件是可編輯的正常PPT課件3.2最小二乘原理實例a=-1.768b=-1.842本課件是可編輯的正常PPT課件3.3測量平差的數學模型1.條件平差法2.間接平差法

3.平差的隨機模型

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對于一個平差問題，可建立不同形式的函數模型，與此相應，就產生了不同的平差方法。1.條件平差法

以條件方程為函數模型的平差方法，稱為條件平差法。如圖所示水準網中，為了確定未知點P1、P2、P3的高程，進行了5段高差觀測，觀測向量為必要觀測數t=3，多余觀測數r=n-t=2，應列出2個線性無關的條件方程本課件是可編輯的正常PPT課件

這些方程稱為條件平差數學模型條件方程本課件是可編輯的正常PPT課件

2.間接平差法

在一個幾何模型中，選出t個獨立量。設這t個獨立量為未知數，將所有觀測量表示成這t個未知數的函數。這種函數模型平差法，稱為間接平差法，又稱為參數平差法。

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2.間接平差法

在下圖的ΔABC中，觀測量為其中三個內角選定∠B和∠C為參數，設為

通過這2個參數可以唯一地確定該三角形的形狀。本課件是可編輯的正常PPT課件

由圖知

方程的個數等于觀測值的個數。一般而言，某平差問題有n個觀測值，t個必要觀測值，選擇t個獨立量作為平差參數，則每個觀測量表達成這個t個參數的函數，即有

如果這種表達式是線性的，一般為

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上式就是間接平差的函數模型。盡管間接平差法是選了t個獨立參數，但多余觀測數不隨平差模型的不同而異，其自多余觀測數仍是r=n-t。本課件是可編輯的正常PPT課件謝

謝

！本課件是可編輯的正常PPT課件第4章條件平差第一節條件平差原理第二節條件方程第三節法方程組成與計算第四節精度評定第五節條件平差算例本課件是可編輯的正常PPT課件

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寫成矩陣式

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第一節條件平差原理

r個數學模型

將

代入：

代入

其中ai

、bi、ri(i=1,2,…,r)為條件方程系數，ao、b0、…r0為條件方程的常數項,W為閉合差。以線性為例本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節條件平差原理

矩陣式：

r個方程，n個未知數，由于r<n,故V解有無窮多組。在無窮組解中，求V的最佳解，是條件平差的目標。本課件是可編輯的正常PPT課件

平差值條件方程：

改正數條件方程，簡稱條件方程

幾個方程名稱本課件是可編輯的正常PPT課件

一.條件平差原理

該條件方程，r個方程、n個未知數，V有無窮多組解。在無窮多組解中，必然有一組解滿足VTPV=min，這組解稱為最小二乘解，是最佳解。在滿足r個條件且滿足VTPV=min,在數學中稱為求函數的條件極值問題，用拉格朗日乘數法求解。本課件是可編輯的正常PPT課件

拉格朗日乘數法求函數條件極值的思路是：選取一組數k=(k1,k2,…,kr)T，稱為聯系數，與條件方程相乘組成新函數，并對該函數求偏導數，令其為零，得

兩邊轉置，得

PV=ATK

V=P-1ATK=P-1ATK稱為改正數方程。本課件是可編輯的正常PPT課件

代人條件方程

則有

AP-1ATK+W=0，

NK+W=0N=AP-1AT

上式稱為聯系數法方程，簡稱法方程。法方程的個數r，未知數k為r,由此可得K的唯一解。法方程是多元線性方程，解出k,代人改正數方程，計算改正數V

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法方程純量式

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求出了k，代入改正數公式得到V，進而得到觀測值的平差值

改正數方程代數式觀測值平差值本課件是可編輯的正常PPT課件

二、條件平差計算步驟

條件平差值的計算步驟可歸結為：1．根據平差問題的具體情況，列出條件方程式，條件方程的個數等于多余觀測數r。2．根據條件式的系數，閉合差及觀測值的權組成法方程式，法方程的個數等于多余觀測數r。3．解算法方程，求出聯系數K值。4．將K代入改正數方程式，求出V值，并求出平差值=L+V。5．為了檢查平差計算的正確性，常用平差值重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足方程。本課件是可編輯的正常PPT課件第二節條件方程

從上節中可以看出，條件方程的列立是平差關鍵性的一步，如果這一步有誤，即使后續計算不發生錯誤，也會導致平差失敗。下面介紹列立條件方程的知識。

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一.必要觀測數t的計算方法1.水準網：水準網平差的主要目的，是根據觀測高差計算網中未知點的最或然高程。

t=p———有已知水準點的水準網

t=p-1———沒有已知水準點的水準網

p——水準網中未知水準點的個數本課件是可編輯的正常PPT課件

一.必要觀測數t的計算方法水準網實例：在有已知點的水準網中，必要觀測的個數就等于未知點的個數。圖3-3中，必要觀測個數t=2，而條件方程個數r=n-t=6-2=4。本課件是可編輯的正常PPT課件

一.必要觀測數t的計算方法2.測站平差

T=p——有已知方向

T=p-1——沒有已知方向3.單導線r=3本課件是可編輯的正常PPT課件

4.測角網

圖3-5為一測角網，其中A、B是坐標為已知的三角點，C和D為待定點，要確定其坐標。共觀測了9個水平角，即ai,bi,ci(i=1,2,3)。

三角網必要觀測數計算方法t=2z—---具有必須的起算數據的三角網

t=2Z’-4—-起算數據不足的測角網t=2Z’-3—-起算數據不足的測邊網、邊角網Z----三角網中未知點個數。Z’---三角網中總點個數本課件是可編輯的正常PPT課件

1.水準網思路：

找附合路線找閉合路線注意方程間不相關二.條件方程列立思路列立原則：足數、獨立、簡單本課件是可編輯的正常PPT課件二.條件方程列立思路水準網條件方程列立示例

如圖2所示水準網，A為已知高程點，HA=12.000m，共觀測了5段高差，其值分別為：h1=1.357m,h2=2.008m,h3=0.353m,h4=1.000m,h5=-0.657m,S1=S2=S3=S4=1km,S5=2km,試列出條件方程。本課件是可編輯的正常PPT課件二.條件方程列立思路水準網條件方程列立示例如圖3所示水準網，A、B、C為已知水準點，高程分別為：HA=11.000m，HB=11.500m、HC=12.008,觀測了4段高差，h1=1.003m，s1=1km，h2=0.504m，s2=2km，h3=0.503m，s3=2km，h4=0.505m，s4=1km，試列出條件方程。本課件是可編輯的正常PPT課件二.條件方程列立思路2.測站平差

找角度和關系；3.單導線：

找方位角關系、找坐標關系。示例：本課件是可編輯的正常PPT課件

4.三角網為了確定C、D兩點的平面坐標，必要觀測數t=4，多余觀測數r=n-t=9-4=5。故總共應列出5個條件方程。測角網條件方程有三種類型，

第一類是三角形內角和條件，也稱為圖形條件。

二.條件方程列立思路本課件是可編輯的正常PPT課件

第二類是圓周條件或稱水平條件。由圖3-5可列出一個圓周條件，即或第三類是極條件或稱邊長條件。滿足上述4個條件方程的角值還不能使圖3-5的幾何圖形完全閉合，例如，由邊長通過a2、b2、c2計算邊長，通過a1、b1、c1由計算邊長，再由通過a3、b3、c3計算邊長，計算的結果，其邊長不會相同。為了使其相同，要列出一個極條件。即

或

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極條件方程為非線性形式，用臺勞公式展開取至一次項，得極條件方程的線性形式。代入

展開可得本課件是可編輯的正常PPT課件

經化簡，有

這就是極條件的線性形式。本課件是可編輯的正常PPT課件三角網條件方程實例

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5.測邊網

和測角網一樣，在測邊網中也可分解為三角形，大地四邊形和中點多邊形三種基本圖形。對于測邊三角形，決定其形狀和大小的必要觀測為三條邊長。所以t=3，此時r=n-t=3-3=0，即測邊三角形不存在的條件方程。對于測邊四邊形，決定第一個三角形必須觀測3條邊長，決定第二個三角形只需要再增加2條邊長，所以確定一個四邊形的圖形，必須觀測5條邊長，即t=5，所以r=n-t=6-5=1，存在一個條件方程。對于中點多邊形，例如中點五邊形，它由四個獨立三角形組成，此t=3+2×3=9，有r=n-t=10-9=1，故，一個中點多邊形存在一個條件方程。本課件是可編輯的正常PPT課件

因此，測邊網中，中點多邊形與大地四邊形個數之和，即為該網條件方程的總數。這類條件稱為圖形條件。圖形條件的列出，可應用角度閉合法、邊長閉合法和面積閉合法等，本節僅介紹角度閉合法。測邊網的圖形條件按角度閉合法列出，其基本思想是：利用觀測邊長求出網中的內角，列出角度間應滿足的條件，然后，以邊長改正數代換角度改正數，得到以邊長改正數表示的圖形條件。本課件是可編輯的正常PPT課件

如圖3-8的測邊四邊形中，由觀測邊長Si(i=1,2,3…6)精確地算出角值βj(j=1，2，3)，此時，平差值條件方程為

以角度改正數表示的圖形條件為

式中

同樣，圖3-9中的測邊中點三邊形中，以角度改正數表示的圖形條件為：式中

上述條件中的角度改正數必須換成觀測值（邊長）的改正數，才是圖形條件的最終形式。為此，必須找出邊長改正數和角度改正數之間的關系式。本課件是可編輯的正常PPT課件下面（以圖3-10為例）給出角度改正數與邊長改正數之間的關系式。由余弦定理知微分得

(3-27)本課件是可編輯的正常PPT課件

由圖（3-10）知

故有將上式中的微分換成相應的改正數，同時考慮到式中dA的單位是弧度，而角度改正數是以（″）為單位，故上式可寫成：

這就是角度改正數與三個邊長改正數之間的關系式，以后稱該式為角度改正數方程，上式規律極為明顯，即任意一角（例如A角）的改正數等于其對邊（Sa邊）的改正數與兩個夾邊（Sb,Cc邊）的改正數分別與其鄰角余弦（Sb邊鄰角為C角，Sc邊鄰角為B角）乘積負值之和，再乘以為分子，以該角至其對邊之高（ha）為分母的分數。本課件是可編輯的正常PPT課件

按照上述規律，可以寫出圖3-8中角β1、β2及β3的角度改正數方程分別為

（3-30）

式中h1、h2及h3分別是從A點向角對邊所作的高。將上列三式代入（3-25）式，按的順序并項，即得四邊形的以邊長改正數表示的圖形條件：

（3-31）本課件是可編輯的正常PPT課件

如果圖形中出現已知邊時，在條件方程中，要把相應于該邊的改正數項舍去。對于圖3-9中的中點三邊形來說，β1、β2及β3的改正數與各邊改正數的關系式為將上述關系代入（3-26）式，并按的順序并項，即得中點三邊形的圖形條件，即

本課件是可編輯的正常PPT課件

在具體計算圖形條件的系數和閉合差時，一般取邊長改正數的單位為cm，高h的單位為km，取2.062，而閉合差的單位為（″）。由觀測邊長計算系數中的角值（圖3-10），可按余弦定理或下式計算

（3-33）

式中

而高h為本課件是可編輯的正常PPT課件第三節法方程組成與解算AV+W=0AV+W=0AV+W=0一、

條件平差法方程組成AV+W=0純量式法方程矩陣式系數陣根據觀測條件，提前算出本課件是可編輯的正常PPT課件第三節法方程組成與解算AV+W=0AV+W=0AV+W=0聯系數陣法方程純量式本課件是可編輯的正常PPT課件第三節法方程組成與解算用表格對應相乘可

對稱：實例本課件是可編輯的正常PPT課件第三節法方程組成與解算用表格對應相乘可

對稱：計算閉合差，并寫成矩陣條件方程

本課件是可編輯的正常PPT課件第三節法方程組成與解算abc1/p11011011100101-1101010011用表格對應相乘可

對稱：法方程系數表格計算法條件方程系數A

P=E法方程系數計算公式本課件是可編輯的正常PPT課件第三節法方程組成與解算用表格對應相乘可

對稱：法方程系數陣排列方式abc1/p11011011100101-110101001131113-11-13本課件是可編輯的正常PPT課件第三節法方程組成解算與改正數計算

對稱：（2）將K代入改正后方程

(4)檢驗：三例題講解（1）基礎習題集

1、法方程解算NK+W=02、例題講解改正數純量式計算改正數平差值計算及驗算本課件是可編輯的正常PPT課件第四節精度評定

精度評定包括:單位權方差的估值計算公式、平差值函數的協因數計算公式。在一般情況下，觀測向量的協方差陣事先是不知道的，為了評定精度，要利用改正數V計算單位權方差的估值，然后再計算所需要的各向量的協方差陣，得到平差值的方差。一.單位權方差的估值公式任何平差方法中，單位權方差估值，都是用VTPV除以多余觀測值r，即

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有了單位權方差的估值和向量的協因數陣，根據協因數陣與方差陣之間關系，計算方差陣

1.VTPV計算：

也可以用聯系數K計算：

即本課件是可編輯的正常PPT課件

二.協因數陣計算

在條件平差中，基本向量為L、W、K、V、L，通過平差計算之后，它們都可表達成隨機向量L的函數，本節將推求它們各自的協因數陣以及兩兩向量間的互協因數陣。設則Z的協因數陣為本課件是可編輯的正常PPT課件

下面分別推導Qzz中各協因數陣的計算式，已知Qll=Q。上述各基本量表示為觀測值L的函數：

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按協因數傳播律，可得L、W、K、V及相互間的協因數陣為