談談小升初數學試題難點（一）

——行程壓軸題之比例法

（作者：招仲佳老師）

真正拉分的題目，首先是行程問題，這時近幾年最常見的壓軸題；其次是一些課外知識點，這部分題目對于沒有接觸過小奧的學生可能會感到比較棘手；最后是一些幾何題，因為幾何是大部分小學生的弱項。

個人認為，行程問題的重要性不亞于一篇作文。雖然作文每年必考，行程問題就未必，但從現有的資料來看：

20XX年民校聯考的壓軸題考的是多次相遇與追及（20分），同一年應元二中入學考試的附加題第1題考了環形跑道的多次相遇問題（15分）；

20XX年小聯盟倒數第三題出了一道接送問題，同一年，南沙廣外的最后一題是一道結合比例法與方程法的相遇問題，六中課改班有一道與CC班例題類似的火車過橋問題；

2012大小聯盟考試的最后一道題目均為行程問題（各10分），而且當中都涉及到分數及比例的內容。

可見，行程問題在小升初壓軸題中出現的頻率相當高，難度與希望杯、華杯、華附一試相當，如果要在數學考試中立于不敗之地，這一關非過不可。--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------小推薦：

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例1：早上8點鐘，爸爸、媽媽和大明三個人從家里出發去某校參加招生咨詢會。因為只有一輛自行車，所以媽媽先步行，爸爸則用自行車載小明到學校，然后再回來接媽媽，已知大明家離學校5公里，自行車的速度是每小時15公里，媽媽步行的速度是每小時5公里，問：媽媽什么時候到達學校?(20XX年小聯盟)

分析：對于這道題，大部分同學會分三段來計算：第一步，算出爸爸到學校放下大明所需要的時間，以及媽媽走到的地方;第二步，算出爸爸回頭與媽媽合走余下路程所需要的時間及兩人相遇地點;最后，算出媽媽坐自行車走完剩下路程所需的時間，然后把三段時間相加。這種方法首先是行得通的，但是比較麻煩，而且這道題涉及分數計算容易出錯。

較為快捷的方法是：直接考慮爸爸與媽媽相遇時合走兩個全程，時間=5×2÷(5+15)=0.5(小時)，這時媽媽走到5×0.5=2.5(千米)即中點處，剩下2.5千米改為坐自行車，算出余下時間。

當然，解決行程問題最快的方法莫過于用比例法：題目中媽媽與爸爸的速度比為1:3，相遇時媽媽走的路程AC與爸爸走的路程(AB+BC)之比也是1:3，易知C點是AB的中點，媽媽走前一半路程用30分鐘，走余下一半路程時速度提高至原來3倍，時間就變成10分鐘，總時間40分鐘。(用這種方法解題，基本上口算也能得出答案)

總結：解決復雜行程問題的首選方法絕對不是列方程。很多同學解題的時候往往列出大堆方程最后解不出來，這不是因為他們欠缺解方程的能力(如果是這樣反而更好辦)，深層的原因在于：題目中有些已知條件是隱晦的，也就是所謂的突破口，需要學生去發掘，如果你發掘不出來就會設出過多的未知數，對解題毫無作用，所以列出方程也不會得到很多過程分。

事實上，我還沒有見過哪一年的行程壓軸題非用方程不可，反而是比例法更加簡易和快捷。

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例2：小張從甲地到乙地，如果速度降低10%，那么將延遲1小時到達;如果先走180千米，再把速度提高20%，那么將提早1小時到達.求甲乙兩地的距離。(20XX年六中課改班)

解答：如果速度降低，那么原速與下降后的速度比為，原來時間與后來時間的比為，相差1小時，所以用原速走完全程需要小時;同理可得，如果以原速先走千米，再用原速走完余下的那段路程需要小時，所以原速走千米需要(小時)，甲乙兩地的距離為(千米)-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例3：一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20%，可以比原定時間提前一小時到達;如果以原速行駛120千米后，再將車速提高25%，則可以提前40分鐘到達.那么甲、乙兩地相距多少千米?(中大附中模擬試題)

(不難發現，兩道題的解題思路是一致的，不作贅述。)-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

比例法在處理分數計算上也有它的獨到優勢：

例4：(華附入學測試題)客車與貨車分別從、兩地同時相對開出，已知客車與貨車的速度比為4:5，兩車在途中相遇后，繼續往前行駛，此時貨車提速20%，客車的速度不變.再過4小時后，貨車到達A地，而客車離B地還有112千米，則A、B兩地的距離是多少?

上述方法叫做調整比例法，學校里基本不會講到。這種方法的好處在于可以把復雜的分數計算變為簡單的整數計算，把計算出錯的可能性降到最低，尤其適合廣大小學生使用。不難發現，在每一年的小升初考試中總有一兩道比例、分數應用題可以使用調整比例法秒殺。

再來看看20XX年大小聯盟的最后一道附加題，無獨有偶，都是行程問題!在大多數的行程問題當中，習慣于運用路程比、時間比、速度比這三個量之間的關系來解決題目的關鍵問題!-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例5：(20XX年大聯盟附加題)客車和貨車分別從甲乙兩站同時相向開出，5小時后相遇，相遇后兩車仍按原速度前進，當他們相距196千米時，客車行了全程的3/5，貨車行了全程的80%。

(1)全程是多少千米?

(2)貨車行完全程需要多少個小時?(每小題7分，共14分)-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例6：(20XX年小聯盟附加題)一條直角三角形跑道，B是直角。邊長比是AB:BC:AC=3:4:5的A至B是上坡。B至C是下坡，a，b兩人從A點出發，a順時針，b逆時針，兩人上坡速度是4千米/h，下坡速度是6千米/h，平地速度是5千米/h，2.5小時后在D點相遇。問：

(1)b到C后，a是上坡還是下坡?若那時a