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文檔簡介

復數域和實數域上的多項式一、C上多項式對于上的多項式，它在F上未必有根，那么它在C上是否有根？

每一個次數大于零的多項式在復數域上至多有一個根。定理1.8.1（代數基本定理）：

任何n（n>0）次多項式在C上有n個根（重根按重數計算）。定理1.8.2：當n=1時結論顯然成立。證：假設結論對n-1次多項式成立，則當是n次多項式時，由于在C上至少有一個根，設為則，是C上n-1次多項式。由歸納假設知在C上有n-1個根，

推論1：復數域上任一個次數大于1的多項式都是可約的，即C上不可約多項式只能是一次多項式。推論2：任一個n（n>0）次多項式在在C上的根，所以n個根。它們也是在C上有上都能分解成一次因式的乘積，即的標準分解式是：其中是不同的復數，是自然數且韋達定理：設是的兩個根，則C上多項式的根與系數關系：設—（1）是一個n（n>0）次多項式，則它在C中有n個根，記—（2）比較（1）與（2）的展開式中同次項的系數，則為得根與系數的關系為：如果根與系數的關系又如何？利用根與系數的關系，可以構造一個n次多項式，使其恰以為根。例1.8.1：它以1和4為單根，-2為2重根。求一個首項系數為1的4次多項式，使解：設則二、實數域上的多項式定理1.8.3：如果是實數系數多項式的與有相同的重數。證：設由于是的根，故有兩邊取共軛復數，注意到和0都是實數，則有可見也是的根。非實復根，則的共軛復數也是的根，且因此多項式：能整除，即存在多項式，使是實系數多項式，故也是實系數多項式。若是的重根，由于，故必是的根，是實系數，故也是的根，故也是的重根。與重復應用這個推理方法知的重數相同。唯一地分解為實系數一次和二次不可約多項式的定理1.8.4

每個次數的實系數多項式都可乘積。就是一次因式子，結論成立。若，證明：的次數作數學歸納。對假設對結論次數<n的多項式結論成立，現考慮，由代數基本定理，有一復根。若為實數則，其中不為實數，則若也是的復根，于是設，則是一個二次實系數不可約多項式，且不可約多項式的乘積，故結論成立。由歸納假設知可分解成一次因式與二次。即在上，推論3中不可約多項式除一次多項式外，只有含非實共軛復根的二次多項式。推論4n（n>0）次實系數多項式具有標準分解式：不可約，即滿

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