由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計(jì)算.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

分部積分法例1.

求解:

令則∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分部積分法的應(yīng)用1.用于求形如：的不定積分.常令思考:

如何求提示:

令則原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

求提示:

令例3.

求解:

令則原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.用于求形如：等的不定積分.常令例4.

求解:

令則∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

求解:

令,則原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:解題技巧把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”的順序,前者為后者為反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)例6.

求解:

令,則原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

求解:

令則原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束令例8.

求解:

令,則∴原式再令,則故原式=說明:

也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類型必須一致.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.求形如：等的不定積分,常通過“循環(huán)”求不定積分.例9.

求解:

令則∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考.

求4.形如：等的不定積分(這里n充分大).常利用分部積分建立遞推公式,通過遞推公式求積.例10.求解.即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.

求解:

令則得遞推公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.

證明遞推公式證:注:或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,

解出積分后加

C)3)對含自然數(shù)n

的積分,通過分部積分建立遞推公式.例4目錄上頁下頁返回結(jié)束例13.

已知的一個原函數(shù)是求解:說明:

此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例14.

求解法1

先換元后分部令即則故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2

用分部積分法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗(yàn):“反對冪指三”,前u

后3.題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;遞推公式4.計(jì)算格式:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例15.

求解:令則可用表格法求多次分部積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例16.

求解:

令則原式原式

=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.求不定積分解：方法1(先分部