1,題目：高中數學復習專題講座一對集合的理解及集合思想應用的問題

高考要求：

集合是高中數學的基本知識，為歷年必考內容之一，主要考查對集合基本概念

的認識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運用.本節主要是幫助考

生運用集合的觀點，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應用.

重難點歸納：

1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素;

對于用描述法給出的集合{x|x￡P},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有

的性質尸；要重視發揮圖示法的作用，通過數形結合直觀地解決問題.

2,注意空集。的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的

可能性，如力18則有力=0或4W0兩種可能，此時應分類討論

典型題例示范講解；

例1設/={(x,y)[y2—y—1=0},3={(%,歷|4/+2%—2y+5=0}C={(x,y)卜依+b},是否存

在晨1口風使得(4叩3)門。=0,證明此結論.

命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉化能力，即能從集合符號

上分辨出所考查的知識點，進而解決問題.

知識依托：解決此題的閃光點是將條件(/U3)GC=0轉化為/GC=0且BC

。=0,這樣難度就降低了.

錯解分析：此題難點在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認清其

實質內涵，因而可能感覺無從下手.

技巧與方法由集合/與集合3中的方程聯立構成方程組，用判別式對根的情況

進行限制，可得到反人的范圍，又因6、左￡N,進而可得值.

解：?.?(/U3)GC=0,.,.ZGC=0且3GC=0

工=X+1.?.上工2+(26左_1.+/_1=0GC=0

y=kx+b

：.Zli=(2^-1)2-4^(Z>2-1)<0...4F—4必+l<0,此不等式有解，

其充要條件是16/—16>0,

即b2>l①

14/+2x-2y+5=0...4%2+Q—2秘+(5+2b)=0

y=kx+b

?.?3GC=0,二.42=(1一左)2一4(5一26)<0

.?.正一2攵+86—19O,從而8*20,

即b<2.5②

由①②及b￡N,得6=2代入由4<0和42<0組成的不等式組，得

嚴一網+1<0,...4],故存在自然數/=2,使得(/U5)AC=0.

k2-2k-3<0

例2向50名學生調查對/、8兩事件的態度，有如下結果：贊成力的人數是全

體的五分之三，其余的不贊成，贊成8的比贊成力的多3人，其余的不贊成；另外,

對/、8都不贊成的學生數比對/、8都贊成的學生數的三分之一多1人問對/、B

都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？

命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數軸法取交并集，韋恩圖法等，

需要考生切實掌握本題主要強化學生的這種能力，

知識依托：解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表

示出來，

錯解分析：本題難點在于所給的數量關系比較錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好

找線索.

技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數量關系間的聯系

1=30,贊成B的人數為

組成的集合為U,贊成事

事件B的學生全體為集合

設對事件43都贊成的學生人數為x,則對/、3都不贊成的學生人數為1+1,贊

成Z而不贊成3的人數為30—x,贊成3而不贊成/的人數為33—x

依題意（30—x）+（33—x）+x+（：+l）=50,解得x=21.

所以對/、3都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人.

例3已知集合/={(%,")*+如c-jH-2=0},3={(x,y)|x—y+l=0,且0WxW2},如果NG3

W0,求實數〃？的取值范圍.

解,味二:薪工

得x2+(m—1)x+1=0①

方程①在區間［0,2］上至少有一個實數解.

首先，由』=（m—if—420,得根N3或/wW—4,當相23時、由％1+必=—（加一D

V0及修歷=1＞0知，方程①只有負根，不符合要求.

當相W—1時，由修+%2=—（加-1）＞。及修%2=1＞。知，方程①只有正根，且必有

一根在區間（0,1］內，從而方程①至少有一個根在區間［0,2］內.

故所求力的取值范圍是加W—1.

2,題目：高中數學復習專題講座一充要條件的理解及判定方法

高考要求：

充分條件、必要條件和充要條件是重要的數學概念，主要用來區分命題的條件,

和結論q之間的關系本節主要是通過不同的知識點來剖析充分必要條件的意義，讓

考生能準確判定給定的兩個命題的充要關系.

重難點歸納：

(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念:當“若P則夕”形式的命題為真時，

就記作?二夕，稱夕是夕的充分條件，同時稱q是P的必要條件，因此判斷充分條件

或必要條件就歸結為判斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號要熟悉它的各種同義詞語:“等

價于”，“當且僅當”，“必須并且只需”，”……，反之也真”等.

(3)數學概念的定義具有相稱性，即數學概念的定義都可以看成是充要條件，既

是概念的判斷依據，又是概念所具有的性質.

(4)從集合觀點看，若AqB,則4是5的充分條件，3是/的必要條件；若4=B,

則/、B互為充要條件.

(5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的

逆命題成立(即條件的必要性).

典型題例示范講解：

例1已知印1一三口目2,"2—2%+1—毋W0("?>0),若7是Lq的必要而不充分條

件，求實數〃，的取值范圍.

命題意圖：本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時

考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應用，強調了知識點的靈活性.

知識依托：本題解題的閃光點是利用等價命題對題目的文字表述方式進行轉化，

使考生對充要條件的難理解變得簡單明了.

錯解分析：對四種命題以及充要條件的定義實質理解不清晰是解此題的難點，對

否命題，學生本身存在著語言理解上的困難.

技巧與方法利用等價命題先進行命題的等價轉化，搞清晰命題中條件與結論的

關系，再去解不等式，找解集間的包含關系，進而使問題解決.

解:由題意知:

命題若Lp是F的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為W是q的充分不必

要條件，

夕:|1一匕|W2n—2Wl—lW2n—lWUW3=—2WxW10

q:x?—2x+l-/W0=[x—(1—⑼][x—(1+m)]WO*

,:p是q的充分不必要條件，

，不等式|1—舒氏2的解集是2x+l—根2忘0(〃?>0)解集的子集.

又.m>0

1-w-2n1

?,?不等式*的解集為1—wWxW1+加.-=>/-,

14-/w>10[zw>9

???實數〃7的取值范圍是[9,+8).

例2已知數列｛為｝的前n項1=0〃+93/0//1),求數列｛四｝是等比數列的充要條

件.

命題意圖：本題重點考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時的思維的

嚴謹性，

知識依托：以等比數列的判定為主線，使本題的閃光點在于抓住數列前〃項和與

通項之間的遞推關系，嚴格利用定義去判定.

錯解分析：因為題目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容

易忽視充分性的證明，

技巧與方法由劣=廿(〃”，.、關系式去尋找。”與。用的比值，但同時要注意

充分性的證明.

解以尸Si=p+q,

當“N2時,

p'-'(p-i)

若｛。〃｝為等比數列，則絲=%=’皿二2=p,

%a“p+q

,.,pWO,.*./?—\-p+q,q--1

這是｛a〃｝為等比數列的必要條件.

下面證明［=—1是｛仇｝為等比數列的充分條件.

當q=—1時，夕￥1),。］=51號》—1

nn

當“22時,a?=Sn—Sn-i=p-p?(Lg—1)

.?.0,=s—1爐一(pwo,pwi)&=y-：y：；=p為常數

an-\(p-Dp

時，數列㈤｝為等比數列.即數列｛%｝是等比數列的充要條件為廣一1.

例3已知關于x的實系數二次方程x2+ax+b=0有兩個實數根a、￡,

證明：|a|<2且|￡|<2是2同<4+6且|旬<4的充要條件.

證明：(1)充分性:由韋達定理,得|6|=|。?￡|=|。|?充|V2X2=4.

設/a)=d+Qx+A則/(X)的圖象是開口向上的拋物線.

又|a|V2,|￡|V2,.M±2)>0,

即有廠+2。+6>0=4+/)>2。>一(4+份又|臼V4n4+Z?0n2\a\<A+b

4-2。+b>0

(2)必要性:

由2|a|V4+b=X±2)>()且作)的圖象是開口向上的拋物線.

方程_/(x)=O的兩根。，￡同在(一2,2)內或無實根.

?:a,￡是方程小尸0的實根，:.a,￡同在(一2,2)內，即|。|<2且|

￡|V2.

例4寫出下列各命題的否定及其否命題，并判斷它們的真假.

(1)若X、y都是奇數，則x+y是偶數；

(2)若xy=O,則尸0或產0；

(3)若一個數是質數，則這個數是奇數.

解：(1)命題的否定：x、y都是奇數，則x+y不是偶數，為假命題.

原命題的否命題：若x、y不都是奇數，則x+y不是偶數，是假命題.

(2)命題的否定：中=0則xWO且yWO,為假命題.

原命題的否命題：若孫W0,則xWO且yWO,是真命題.

(3)命題的否定：一個數是質數，則這個數不是奇數，是假命題.

原命題的否命題：若一個數不是質數，則這個數不是奇數，為假命題.

例5有/、B,。三個盒子，其中一個內放有一個蘋果，在三個盒子上各有一

張紙條.

4盒子上的紙條寫的是“蘋果在此盒內”，

3盒子上的紙條寫的是“蘋果不在此盒內”，

。盒子上的紙條寫的是“蘋果不在/盒內”.

如果三張紙條中只有一張寫的是真的，請問蘋果究竟在哪個盒子里？

解：若蘋果在/盒內，則4、3兩個盒子上的紙條寫的為真，不合題意.

若蘋果在3盒內，則4、3兩個盒子上的紙條寫的為假，C盒子上的紙條寫的為

真，符合題意，即蘋果在3盒內.

同樣，若蘋果在C盒內，則3、。兩盒子上的紙條寫的為真，不合題意.

綜上，蘋果在3盒內.

3,題目：高中數學復習專題講座一運用向量法解題

高考要求：

平面向量是新教材改革增加的內容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題

逐漸加大了對這部分內容的考查力度，本節內容主要是幫助考生運用向量法來分析,

解決一些相關問題.

重難點歸納：

1.解決關于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換,

正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識,二是向量的坐標運算體現

了數與形互相轉化和密切結合的思想，

2.向量的數量積常用于有關向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用

向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公

式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.

3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：

(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表

示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用

哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系？

(4)怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論？

典型題例示范講解：

例1如圖，已知平行六面體438—4囪。1。1的底面/3CQ是菱形，且NGC3=

A1

c

/C\CD=/BCD.rb1

⑴求證：QC1BD.BA

C*D

(2)當祟的值為多少時，能使4CJL平面G3。？請給出證明，

命題意圖：本題主要考查考生應用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體

幾何圖形的解讀能力

知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾

何問題代數化，使繁瑣的論證變得簡單.

錯解分析本題難點是考生理不清題目中的線面位置關系和數量關系的相互轉

化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區別與聯系.

技巧與方法：利用-5=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應

的向量的數量積為零即可.

⑴證明：設屈=,,而=3,西=*依題意，后CD.CB.西中兩兩所

成夾角為。，于是

DB-a-b,'&-

L-----bA

CCtBD=c(a~b)=c?a~c,b=\c\?\a|cos~\c\?\b|cos(9=0,.*.C\CLBD.

(2)解：若使4CJ_平面Ga)，只須證小C_L3。，^iC±DC),

由可平=(9+而)?(麗-西)

—{a+b+c)*(a-c)—|a|2+a?b—b?c—\c|2

=|5|2—|c|2+|b\,\a|C0Sd—\b|,|c|?COS3=0,得

當|,=%|時，AXCLDCX,同理可證當|)|=|司時，A.CA.BD,

.CD=1時，4C_L平面GBD.

cc,

例2如圖，直三棱柱48C一4囪G，底面△ABC中,

Bl

CA=CB=\,ZBCA=90°,44尸2,M、N分別是48、4M的中

點

⑴求麗的長；

(2)求cos<^，西〉的值；

(3)求證；AXBLCXM.

命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標運算的方法來解決立體幾

何問題.

知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當的空間直角坐標系。一孫Z,進而找到

點的坐標和求出向量的坐標.

錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標.

技巧與方法：可以先找到底面坐標面xOy內的4、B、。點坐標，然后利用向

量的模及方向來找出其他的點的坐標，

(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系。一孫z.

依題意得：3(0,1,0),N(\,0,1)

IBN|=J(1-0)2+(0-1)2+q_0)2=V3.

(2)解:依題意得:4(1,0,2),C(0,0,0),8(0,1,2).

.,.可=(L-1,2),西=(0,1,2)

烈?西=1X0+(—1)X1+2X2=3

222

|~BA{|=7(1-0)+(0-1)+(2-0)=V6

|西|=J(0-+(1-0)2+(2-0)2=75

可.函_3V30

/.cos<BA、,CB\>=

|西卜|西「八?6記

(3)證明：依題意得：G(0,0,2),M；，；，2)

m=(；，g，0)，益=(T，L—2)

_____1i_____

A.B-C.M=(-l)x-+lx-+(-2)x0=0,.-.AXB1C}M,

：.A}B±C}M,

例3三角形相。中，/(5,—1)、方(一1,7)、67(1,2),求：⑴比'邊上的中線

的長；(2)〃的平分線力〃的長；(3)cos/aC的值.

解：⑴點M的坐標為x片三已=0；加=手=］，領0$

?'?I4M|=^(5-0)2+(-1-1)2=

(2)|AB|=7(5+1)2+(-1-7)2=10,|AC|=7(5-1)2+(-1-2)2=5

。點分府的比為2.

._-l+2xl17+2x211

,,切=^^=產。=-^=§

I40=^(5-1)2+(-l-y)2=yV2.

(3)/45。是或與元的夾角，而或=(6,8),瑟=(2,-5).

.?2C=*6x2+(-8)x(-5)52_2629

\BA\>\BC\V62+(-8)2-722+(-5)210V29-145

4,題目：高中數學復習專題講座一二次函數、二次方程及二次不等式的關系

高考要求；

三個“二次”即一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式是中學數學的

重要內容，具有豐富的內涵和密切的聯系，同時也是研究包含二次曲線在內的許多

內容的工具高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關本節主要是幫助考

生理解三者之間的區別及聯系，掌握函數、方程及不等式的思想和方法.

重難點歸納￡

1.二次函數的基本性質

(1)二次函數的三種表示法：

2

y=ay^+bx+c',y=a(x—尤1)(x—必)J=Q(x—JC0)+W.

(2)當a〉。/)在區間［p,q］上的最大值M最小值加，令(p+q)-

若一二的則加尸%/⑷=M若pW—3<m,則—g)=m,flq)=M;

若1oW—?<%則加尸MX-F尸相；若一F2%則Jlp)=MKq)=m.

2a2a2a

2.二次方程“X)=Qx2+bx+c=0的實根分布及條件.

⑴方程啟)=0的兩根中一根比廣大，另一根比/小=a?y(r)<0;

A=Z)2-44c>0,

(2)二次方程;(x尸0的兩根都大于_2>/，

2a

a-f(r)>0

A=fe2-4ac>0,

b

(3)二次方程外=0在區間。⑺內有兩根P<~—2a

。?/(p)>°;

(4)二次方程/(x尸0在區間3⑼內只有一根。小),/(亦0,或/@=0(檢驗)或

人夕尸0(檢驗)檢驗另一根若在。⑼內成立.

a-f(p)<0

(5)方程/(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(p<q)Q-

a-f(q)>0

3.二次不等式轉化策略

(1)二次不等式次x)=a?+法+cW0的解集是:

(—°°,a])u[￡,+8)=4<0且火a)y￡)=0;

(2)當以>0時，次a)勺(￡)o|。+且付￡+馬,

2a2a

當公。時，叱)飲Ml"鼾|￡+(；

(3)當a>0時，二次不等式外)>0在［2,夕］恒成立

bh

一五<夕或2。或.

<=><2a

〃P)>0,/(-2)>0,/(4)20；

2a

(4師)>0恒成立

fl>M4=6=0L_q67<0,(7=6=0

o〈/(x)<0恒成乂o八或《

A<0,c>0;A<0,c<0.

典型題例示范講解:

例1已知二次函數J[x}^ax+bx+c和一次函數g(x)=-bx,其中a、b、c滿足

a>b>c,a+b+c=O,{a,b,c￡R).

(1)求證兩函數的圖象交于不同的兩點/、B；

(2)求線段43在x軸上的射影&B]的長的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查考生對函數中函數與方程思想的運用能力.

知識依托：解答本題的閃光點是熟練應用方程的知識來解決問題及數與形的完

美結合.

錯解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤

區，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數”.

技巧與方法利用方程思想巧妙轉化.

⑴證明:由卜="+云+c消去y得ax2+2bx+c=0

J=~bx

/=4b2—4ac=4(—a~c)2—4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+，+1c2]

a+h+c=O,a>b>c,a>0,c<0

A[c2>0,.?./>0,即兩函數的圖象交于不同的兩點.

(2)解:設方程ax2+bx+c=0的兩根為片和處則Xx+x=——^C\X=-.

2a2a

22

—『=(對—X2)=(X1+X2)—4XI%2

22

‘2b”4c4b-4ac4(-a-c)-4ac.rzcx2c「Ar/clx23-.

aaaaaaa24

a>b>c,a+b+c=0.a>0,c<0

，心一a—c>c,解得￡￡(—2,一!)

a2

：/(￡)=4[(-)2+g+1]的對稱軸方程是￡=-：.

aaaa2

￡￡(—2,一：)時，為減函數

a2

MB”(3,12),故M同e(道,2石),

例2已知關于x的二次方程f+2mx+2加+1=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區間(-1,0)內，另一根在區間(1,2)內，求的

范圍,

(2)若方程兩根均在區間(0,1)內，求力的范圍.

命題意圖：本題重點考查方程的根的分布問題.

知識依托：解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數性質所具有的意義.

錯解分析用二次函數的性質對方程的根進行限制時，條件不嚴謹是解答本題的

難點.

技巧與方法：設出二次方程對應的函數，可畫出相應的示意圖，然后用函數性質

加以限制.

解；⑴條件說明拋物線加)=X2+2優%+2根+1與x軸的交點分別在區間(一1,0)和(1,

2)內，畫出示意圖，得

1

m<——

■/(0)=2w+l<0,2

tneR,

/(-1)=2>0,

=<1

/⑴=4m+2<0,m<——,

2

/(2)=6w+5>01、

5\L

m>——

6

(2)據拋物線與x軸交點落在區間(0,1)內，列不等式組

1

[/(0)>0,心工,y

/(l)>0,1

n\m>——,

A>0,2、/

0<-m<1m>\+6或m<1-V2,0i"x

-1<w<0.

(這里0<—僧<1是因為對稱軸卡一根應在區間(0,1)內通過)

例3已知對于x的所有實數值，二次函數加)=￥—4辦+2a+12(a￡R)的值都是非

負的，求關于x的方程上L=|a—1|+2的根的取值范圍.

4+2

解:由條件知/W0,即(一4a)2—4(2a+12)W0,；.一

(1)當一時，原方程化為

2

尸—a2+a+6,—a'+a+G-—(。一；)2+,

???所一__萬3n時-|*，_9，1n時-f-，Xma_x=2]5,

J-

44

(2)當1W&W2時，x^a2+3a+2-(a+y)2—

.,.當。=1時，Xmi力=6,當。=2時，Xmax=12,.\6Wx<12.

綜上所述，

4

5,題目：高中數學復習專題講座一求解函數解析式的幾種常用方法

高考要求；

求解函數解析式是高考重點考查內容之一，需引起重視,本節主要幫助考生在

深刻理解函數定義的基礎上，掌握求函數解析式的幾種方法，并形成能力，并培養

考生的創新能力和解決實際問題的能力.

重難點歸納：

求解函數解析式的幾種常用方法主要有；

1.待定系數法，如果已知函數解析式的構造時，用待定系數法；

2,換元法或配湊法，已知復合函數/[g(x)]的表達式可用換元法，當表達式較

簡單時也可用配湊法；

3.消參法，若已知抽象的函數表達式，則用解方程組消參的方法求解_/(x)；

另外，在解題過程中經常用到分類討論、等價轉化等數學思想方法.

典型題例示范講解；

例1(1)已知函數兀0滿足人log環尸」(x-L)(其中心0必/1/>0),求加)的表達

a-1x

(2)已知二次函數於尸爾+bx+c滿足次1)[=貝一1)|=漢0)|=1,求加)的表達式.

命題意圖：本題主要考查函數概念中的三要素：定義域、值域和對應法則，以

及計算能力和綜合運用知識的能力.

知識依托：利用函數基礎知識，特別是對“廣的理解，用好等價轉化，注意定

義域

錯解分析：本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價轉化易出錯.

技巧與方法：(1)用換元法；(2)用待定系數法.

解：⑴令t=log0(a>l,/>0;0<o<1J<0),則x^d.

因此大。=號(/一/')

a—1

??fix)-(ax-ax)(a>1,%>0;0<O<1,x<0)

a—1

(2)由次1)=a+b+c/—1)=a—Z)+c,/(O)=c

得=/⑴-/(-l)]

c=/(0)

并且為1)、大一1)、-0)不能同時等于1或一L

所以所求函數為：

<%)=212—1或?X)=—2X2+1或兀V尸一12—x+]

或兀r)=d—x—1或y(x)=-x，x+l或/(x)=x，x—1.

例2設/(x)為定義在R上的偶函數，當xW—1時，尸成工)的圖象是經過點(一2,

0),斜率為1的射線，又在9x)的圖象中有一部分是頂點在(0,2),且過點(一1,

1)的一段拋物線，試寫出函數大、)的表達式，并在圖中作出其圖象，

命題意圖：本題主要考查函數基本知識、拋物線、射線的基本概念及其圖象的

作法，對分段函數的分析需要較強的思維能力.因此，分段函數是今后高考的熱點

題型.

知識依托：函數的奇偶性是橋梁，分類討論是關鍵，待定系數求出曲線方程是

主線.

錯解分析：本題對思維能力要求很高，分類討論、綜合運用知識易發生混亂.

技巧與方法合理進行分類，并運用待定系數法求函數表達式.

解：(1)當xW—1時，設y(x)=x+b

,射線過點(一2,0)..?.()=—2+b即b-2,'.fix)-x+2.

(2)當一1<x<1時，設fix)-ax'+2.

?.?拋物線過點(T,1),iy+2,即折一1

(3)當時，兀0=—%+2

x+l,x<-1

綜上可知：/(X尸2_if<X<1作圖由讀者來完成.

-x+2,x>l

例3已知/(2—cosx)=cos2x+cosx,求人l—1).

解法一：(換元法)

,.?<2—COSX)=COS2%—cosx=2cos2%—cosx—1

令〃=2—cosx(lW〃W3),貝ijcosx=2—〃

.*?7(2—cosx)為〃)=2(2—w)2—(2—〃)-1=2z『一7〃+5(1W〃W3)

'.fix—1)=2(%—I)?—7(%—1)+5=2%2—11%+4(2WXW4)

解法二：(配湊法)

fi2-CO&X)=2COS2X—cos%—1=2(2—cosx)?—7(2—cosx)+5

7x—5(1WxW3),

即即X—1)=2(X—1)2-7U-1)+5=2*—1lx+14(2WxW4).

6,題目：高中數學復習專題講座一求函數值域的常用方法及值域的應用

高考要求：

函數的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一.本節主要幫助考生靈

活掌握求值域的各種方法，并會用函數的值域解決實際應用問題.

重難點歸納；

(1)求函數的值域

此類問題主要利用求函數值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調性法、

圖象法、換元法、不等式法等,無論用什么方法求函數的值域，都必須考慮函數的

定義域，

(2)函數的綜合性題目

此類問題主要考查函數值域、單調性、奇偶性、反函數等一些基本知識相結合

的題目.

此類問題要求考生具備較高的數學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能

力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.

(3)運用函數的值域解決實際問題

此類問題關鍵是把實際問題轉化為函數問題，從而利用所學知識去解決此類題

要求考生具有較強的分析能力和數學建模能力.

典型題例示范講解：

例1設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm)畫面的寬與高的比為44<1),

畫面的上、下各留8cm的空白，左右各留5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸,

才能使宣傳畫所用紙張面積最小？

如果要求幾￡[2,3],那么X為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最小？

34

命題意圖：本題主要考查建立函數關系式和求函數最小值問題，同時考查運用

所學知識解決實際問題的能力.

知識依托：主要依據函數概念、奇偶性和最小值等基礎知識.

錯解分析：證明S(X)在區間上的單調性容易出錯，其次不易把應用問

題轉化為函數的最值問題來解決.

技巧與方法：本題屬于應用問題，關鍵是建立數學模型，并把問題轉化為函數

的最值問題來解決

解；設畫面高為Xcm,寬為"cm,則八2=4840,設紙張面積為5cm2,

貝I」S=(x+16)(4％+10)=幾％2+(164+1。)%+160,

將1=要^代入上式得：5-5000+44710(8VI+」=),

當871=盤，即幾=沿<1)時s取得最小值.

T入88

此時高：尸1座m=88cm,寬：^x=-X88=55cm.

VA8

如果C|.1L可設產402.,

則由s的表達式得：

s(4)-s(4)=44J10(8J4+

=44-/10(^^"—)(8—.-)

y]4

又標故8—自

.?.S(Xi)—S(/l2)<0,，S(4)在區間內單調遞增.

從而對于,當4=1時，5(4)取得最小值.

答：畫面高為88cm,寬為55cm時，所用紙張面積最小.如果要求4￡［2」］,

34

當4=2時，所用紙張面積最小.

3

例2已知函數［1,+8)

X

⑴當a=g時，求函數小)的最小值，

(2)若對任意工￡［1,+8)/)>0恒成立，試求實數。的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查函數的最小值以及單調性問題，著重于學生的綜合分

析能力以及運算能力.

知識依托：本題主要通過求小)的最值問題來求a的取值范圍，體現了轉化的思

想與分類討論的思想.

錯解分析：考生不易考慮把求。的取值范圍的問題轉化為函數的最值問題來解

決

技巧與方法：解法一運用轉化思想把40>0轉化為關于x的二次不等式；解法

二運用分類討論思想解得.

(1)解；當。=」時，/(x)=x+—+2

22x

在區間［1,+8)上為增函數，

.\Xx)在區間［1，+8)上的最小值為次1)=:

(2)解法一:在區間［1,+8)上,

兀0=>+2》+。>0恒成立0』+21+。>0恒成立.

X

設［1,+°0)

y-x2+2x+a^(x+1)2+a—1遞增，

當時，ymin=3+a,當且僅當即皿=3+。>0時，函數於)>0恒成立，

故a>~3.

解法二：加)=x+0+2,x￡[1,+8)

X

當時，函數於)的值恒為正；

當。<0時，函數/(X)遞增，故當尸1時，y(x)min=3+a,

當且僅當f(x)min=3+a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>一3.

例3設/??是實數，記M-{m\m>l}^x)-\og,T,(x2—4mx+4in2+m+—^—).

(1)證明：當小時，.危)對所有實數都有意義；反之，若人對對所有實數%都

有意義，則相￡又

(2)當時，求函數義工)的最小值.

(3)求證：對一每個函數段)的最小值都不小于L

⑴證明：先將/(x)變形：/(x)=k)g3l(x—2m)2+m+~^—],

m-l

當時，(X一能)2+方+_!_>0恒成立，

故作)的定義域為R

反之，若負x)對所有實數x都有意義，則只須f—4根x+4//+租+」一>0,令』V0,

即16m2—4(4m2+m+——)<0,解得相>1,故

m-\

(2)解析；iScu-x1—4mx+4t7i2+m+—!—,

,.,y=log3”是增函數，當”最小時，兀v)最小.

而u-(x—2m)+m+---,

顯然，當尸加時，”取最小值為〃?+」一，

此時<2⑼=log3(根+」一)為最小值.

m-\

(3)證明：當冽0M時，加+—!—=(加一1)+—+123,

m-\m-\

當且僅當m=2時等號成立.

log3(/?+—!—)^log33=l.

7,題目：高中數學復習專題講座一

處理具有單調性、奇偶性函數問題的方法(1)

高考要求；

函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣.特別是兩

性質的應用更加突出.本節主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握

判定方法，正確認識單調函數與奇偶函數的圖象,幫助考生學會怎樣利用兩性質解

題，掌握基本方法，形成應用意識.

重難點歸納：

(1)判斷函數的奇偶性與單調性

若為具體函數，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性.

若為抽象函數，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理

性

同時，注意判斷與證明、討論三者的區別，針對所列的訓練認真體會，用好數

與形的統一.

復合函數的奇偶性、單調性,問題的解決關鍵在于：既把握復合過程，又掌握

基本函數.

(2)加強逆向思維、數形統一,正反結合解決基本應用題目.

(3)運用奇偶性和單調性去解決有關函數的綜合性題目.此類題目要求考生必須

具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.

(4)應用問題.在利用函數的奇偶性和單調性解決實際問題的過程中，往往還要

用到等價轉化和數形結合的思想方法，把問題中較復雜、抽象的式子轉化為基本的

簡單的式子去解決,特別是：往往利用函數的單調性求實際應用題中的最值問題.

典型題例示范講解;

例1已知奇函數於)是定義在(一3,3)上的減函數，且滿足不等式次x—3)+Ad—

3)<0,設不等式解集為A,B=AU石},求函數ga)=—3f+3x—4(x￡3)的最大

值.

命題意圖：本題屬于函數性質的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析

和解決問題的能力.

知識依托：主要依據函數的性質去解決問題.

錯解分析：題目不等式中的“廣號如何去掉是難點，在求二次函數在給定區間

上的最值問題時，學生容易漏掉定義域.

技巧與方法：借助奇偶性脫去“尸號，轉化為x的不等式，利用數形結合進行

集合運算和求最值.

解：由卜文丁<3得［0<；<6且xWO,故0<x〈也

又???/(x)是奇函數，.'./(x—3)<-fix2-3)=/(3-?),

又大X)在(-3,3)上是減函數，

.?.X—3>3—V即f+無—6>0,解得x>2或％<—3,

綜上得2<x<n，即4={x［2<x<^},

B=AU{x|lWxW右}={x|l},

又g(x尸一3f+3x—4=-3(%—；)2一個知g(x)在B上為減函數，

?'?g(x)max=g(l)=-4,

例2已知奇函數/(x)的定義域為R,且於)在［0,+8)上是增函數，是否存在實

數也使./(cos2^-3)+/(4m-2mcos夕)>/(0)對所有夕￡［04］都成立？若存在，求出

符合條件的所有實數相的范圍，若不存在，說明理由.

命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能

力以及運算能力.

知識依托：主要依據函數的單調性和奇偶性，利用等價轉化的思想方法把問題

轉化為二次函數在給定區間上的最值問題.

錯解分析：考生不易運用函數的綜合性質去解決問題，特別不易考慮運用等價

轉化的思想方法.

技巧與方法：主要運用等價轉化的思想和分類討論的思想來解決問題.

解:是R上的奇函數，且在［0,+8）上是增函數，.?/%）是R上的增函數

.于是不等式可等價地轉化為7（cos23）次2根cos9-4m）,

即cos20-3>2mcos。一4〃?,即cos2—mcos0+2m—2>Q,

設片cos。，則問題等價地轉化為函數

2

g⑺=*—皿+2優一2=?—￡）2—?+2取-2在［0,1］上的值恒為正，又轉化為

函數g（。在［0,1］上的最小值為正.

...當5<0,即加<0時，g（o）=2a—2>0=冽>1與m<0不符；

2

當時，即0W加W2時，^-+2/7?—2>0

=>4—2V2<m<4+2V2,.,.4—26.

當￡>1,即加>2時，g（1）-m—1>0m>\.m>2

綜上，符合題目要求的他的值存在，其取值范圍是m>4—2VL

另法（僅限當勿能夠解出的情況）：cos28—mcos0+2m-2>O對于［0,1］恒成

立，

等價于"AQ—cos?。）/（2—COS。）對于［0《］恒成立

;當8R［0,1］時，（2-cos2^/（2-cos&4-26,

.:掰>4—2V2.

例3已知偶函數段）在（0,+8）上為增函數，且人2尸0,

解不等式/[log2（x，5x+4）]20.

解：VA2）=0,...原不等式可化為/[log2（f+5x+4）]，貝2）.

又VXx）為偶函數，且次%）在（0,+8）上為增函數，

；.加）在（一8,0）上為減函數且人—2）"2）=0

不等式可化為1陶（X2+5%+4）22①

或bg2（x2+5x+4）W-2②

由①得d+5x+4N4,—5或x20③

由②得0〈f+5x+4W，得

4

-5-癡《＜一4或一1〈后-5+歷④

22

由③④得原不等式的解集為

{x\x^-5或-5-癡WxW—4或一1VxW-5+后或x20}.

22

8,題目：高中數學復習專題講座一

處理具有單調性、奇偶性函數問題的方法（2）

高考要求：

函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣.特別是兩

性質的應用更加突出.本節主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握

判定方法，正確認識單調函數與奇偶函數的圖象,幫助考生學會怎樣利用兩性質解

題，掌握基本方法，形成應用意識.

重難點歸納；

（1）判斷函數的奇偶性與單調性

若為具體函數，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性.

若為抽象函數，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理

同時，注意判斷與證明、討論三者的區別，針對所列的訓練認真體會，用好數

與形的統一.

復合函數的奇偶性、單調性.問題的解決關鍵在于：既把握復合過程，又掌握

基本函數.

(2)加強逆向思維、數形統一.正反結合解決基本應用題目.

(3)運用奇偶性和單調性去解決有關函數的綜合性題目.此類題目要求考生必須

具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.

(4)應用問題,在利用函數的奇偶性和單調性解決實際問題的過程中，往往還要

用到等價轉化和數形結合的思想方法，把問題中較復雜、抽象的式子轉化為基本的

簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數的單調性求實際應用題中的最值問題.

典型題例示范講解：

例1已知函數兀0在(一1,1)上有定義，y(g)=—1,當且僅當0<%<1時y(x)<o,且對

任意小丁￡(—1,1)都有加)+/(y)y戶)，試證明：

1+xy

(1")為奇函數；(2次%)在(-1,1)上單調遞減.

命題意圖：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判定以及運算能力和邏輯推

理能力.

知識依托：奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想.

錯解分析；本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準確，運算技能不過

關，結果很難獲得.

技巧與方法對于(1),獲得火0)的值進而取尸一X是解題關鍵；對于(2),判定

「的范圍是焦點.

\-x{x2

證明：(1)由產)，

l+xy

令x=y=0,得/(0)=0,

令尸一X,得〃)+/(—X)成個)^o)=o.

/—%)..7x])為奇函數

(2)先證人工)在(0,1)上單調遞減

令0<修<必<1,則於2)一加1)郎2)t/(—修)寸(戶口)

}-X}X2

—XiX

V0<^|<^2<1,.*.^2JC]>0,l—X]X2>0,「.—'>0,

1一巧匹

又(12一修)一(11%2修)=(12—1)(11+1)<0

二.12—%1<1

...0<也二立<],由題意知人23)<0,

\-x2x}l-x}x2

即加2)勺3).

.?./(%)在(0,1)上為減函數，又火X)為奇函數且寅0戶0.

.?./(X)在(-1,1)上為減函數.

例2設函數,危)是定義在R上的偶函數，并在區間(一8,0)內單調遞增，

<2/+。+1)勺或一2。+1).求。的取值范圍，并在該范圍內求函數產6尸3〃M的單調

遞減區間.

命題意圖；本題主要考查函數奇偶性、單調性的基本應用以及對復合函數單調

性的判定方法.

知識依托：逆向認識奇偶性、單調性、指數函數的單調性及函數的值域問題.

錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數判定程序紊亂.

技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認

識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.

解：設0<修<M,則一》2<一修<0，???/㈤在區間(-8,0)內單調遞增，

?7/(一％2)勺(一修),；/(%)為偶函數，?,?次一%2)=/(%2)<一％1)=/(修)，

???加2)<仆。工危)在(0,+8)內單調遞減.

1712

又2c?i=2(a+-)2+->0,3a2-2。+1=3(a——)2+->0.

+a+4833

由/(Zd+a+DgBa?—2a+l)得：2a2+a+1>3a2~2a+1.解之，得0<a<3.

又/_3a+l=Q—g)2_*

???函數產的單調減區間是[，+8]

結合0<a<3,得函數的單調遞減區間為3).

例3設a>0〃)=S+3是R上的偶函數，⑴求a的值；(2)證明：山)在(0,+

ae

8)上是增函數.

⑴解：依題意，對一切x￡R，有/(X)"-%),

即《+W=_L+aet整理，得(a—與(/—，)=0.

aexaexaeA

因此,有Q—L=0,即/=1,又4>0,，O=L

a

(2)證法一(定義法)：設0<修<%2,

則漢修)-/(必)=6為=(ex^-ex')(-^-1)

由X]>0r￥2>0,*2>%1,工e&F-1>O,1—<0,

.,.加)一危2)<0,即加)〈/2)

...大工)在(0,+8)上是增函數.

證法二(導數法)：由/(x)=e"r,得/(%)="-6一』-'?(2一1).當x￡(0,+

8)時，e-v>0,e2v—1>0.

此時/(x)>0,所以f(x)在[0,+8)上是增函數.

9,題目：高中數學復習專題講座一指數函數、對數函數問題

高考要求；

指數函數、對數函數是高考考查的重點內容之一，本節主要幫助考生掌握兩種

函數的概念、圖象和性質并會用它們去解決某些簡單的實際問題.