2024級高一數學階段性練習（二）一、單選題1.下列關于空間幾何體的論述，正確的是（）A.有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱B.有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺C.連接圓柱上下底面圓周上任意兩點的線段是圓柱的母線D.存在三棱錐，其四個面都是直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用兩個底面全等的斜棱柱拼接可判斷A；利用兩個上底面全等，下底面相似的棱臺拼接可判斷B；考慮連線是否平行于旋轉軸可判斷C；在正方體中，取三棱錐即可判斷D.【詳解】對于A，如圖1，利用兩個底面全等的斜棱柱拼接而成的幾何體滿足A中條件，但該幾何體不是棱柱，A錯誤；對于B，如圖2，利用兩個上底面全等，下底面相似的棱臺拼接而成的幾何體滿足B中條件，但該幾何體不是棱臺，B錯誤；對于C，連接圓柱上下底面圓周上任意兩點，只有連線平行于旋轉軸時才是母線，C錯誤；對于D，如圖3，在正方體中，連接，因為平面，平面，所以，所以為直角三角形.又平面，平面，所以，所以為直角三角形.所以三棱錐的四個面都是直角三角形，D正確.故選：D2.已知復數在復平面內對應的點為，則在復平面內對應的點為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復數乘法求出的實部和虛部，即可得出其對應的點.【詳解】因為復數在復平面內對應的點為，所以，所以，則在復平面內對應的點為.故選：.3.已知平面向量和滿足，在方向上的投影向量為，則在方向上的投影向量為（

）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據在方向上的投影向量可求得，再利用投影向量的定義求解即可.【詳解】向量和滿足，由在方向上的投影向量為，可得，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：D.4.充滿氣的車輪內胎可由下面某個圖形繞對稱軸旋轉而成，這個圖形是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由已知可得選項C繞對稱軸旋轉才能形成充滿氣的車輪內胎，故選C.考點：空間幾何體.5.已知O是△ABC的外心，，，則△ABC的外接圓半徑（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】首先結合圓的性質可得，則，再利用正弦定理求解可得答案.【詳解】O是△ABC的外心，則在上的投影向量為，所以，解得，由正弦定理，∴，故選：B.6.已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖A′B′C′D′（如圖2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，則直角梯形DC邊的長度是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由圖形可知．故選B．7.如圖，圓錐底面半徑為3，母線，，一只螞蟻從A點出發，沿圓錐側面繞行一周，到達B點，最短路線長度為（）A. B.16 C. D.12【答案】C【解析】【分析】把圓錐側面沿母線剪開，展在同一平面內，再利用兩點間距離最短求出結果.【詳解】把圓錐側面沿母線剪開，展在同一平面內得扇形，連接，如圖，令扇形圓心角大小為，則，解得，在中，，則，所以一只螞蟻從A點出發，沿圓錐側面繞行一周，到達B點，最短路線長度為.故選：C8.圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點.其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美.小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是和，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A.30m B.20m C. D.【答案】C【解析】【分析】在中由正弦得出AM，再結合中由正弦定理得到CM，進而能求CD．【詳解】由題意知：，則，在中，，在中，由正弦定理得，所以，且在中，(m)．故選：C．二、多選題9.已知復數，下列說法正確的是（）A.若，則 B.C.若，則 D.【答案】BD【解析】【分析】舉出反例即可判斷A；根據復數的乘法運算及復數的模的公式即可判斷B；根據兩個虛數無大小關系判斷C；根據復數加減法的幾何意義及坐標表示即可判斷D.【詳解】對于A，設，顯然，但，故A錯誤；對于B，設，，則，所以，，所以，故B正確；對于C，因為兩個虛數的?？梢员容^大小，而兩個虛數不能比較大小，所以C錯誤；對于D，根據復數的幾何意義可知，復數在復平面內對應向量，復數對應向量，為和為鄰邊構成平行四邊形的對角線的長度，所以，故D正確.故選：BD.10.已知，，則正確的有（）A. B.與方向相反的單位向量是C.與的夾角為 D.在上的投影向量是【答案】AC【解析】【分析】由坐標表示向量的數量積可得A正確；先求出與方向同向的單位向量再求其相反向量可得B錯誤；由向量夾角的余弦計算可得C正確；由投影向量的計算可得D錯誤.詳解】對于A，，故A正確；對于B，與方向同向的單位向量是，所以相反的單位向量為，故B錯誤；對于C，，又，所以與的夾角為，故C正確；對于D，在上的投影向量是，故D錯誤.故選：AC11.已知銳角三個內角的對應邊分別為，且，，則下列結論正確的是（）A.的取值范圍為B.的最小值為C.的面積最大值為D.的值可能為3【答案】AD【解析】【分析】先根據為銳角三角形，求出的范圍，再根據正弦定理結合三角函數的性質求出的范圍，則利用的取值范圍判斷A，利用平面向量數量積的定義結合余弦定理將數量積表示為一元函數，再利用二次函數的性質求解最值判斷B，利用三角形面積公式判斷C，利用余弦定理求出的范圍，再判斷D即可.【詳解】對于A，因為為銳角三角形，且，所以，解得，同理可得，則的取值范圍為，故A正確，對于B，由余弦定理得，即，則，而，，令，由正弦定理得，則，因為，所以，得到，則，而，得到，由二次函數性質得在上單調遞增，則，即的最小值不為，故B錯誤，對于C，由三角形面積公式得，則的面積最大值不為，故C錯誤，對于D，因為，所以，因為，而，所以的值可能為3，故D正確.故選：AD【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是結合題意求出的取值范圍，然后利用平面向量數量積的定義結合余弦定理得到，再利用二次函數的性質得到所要求的最值即可．三、填空題12.如圖所示，三棱臺的體積為，，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分幾何體的體積為____.

【答案】【解析】【分析】設的面積為，三棱臺的高為，可知，利用臺體的體積公式可求得的值，再利用臺體和錐體的體積公式可求得結果.【詳解】設的面積為，三棱臺的高為，易知，且，則，則，可得，，所以，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分幾何體的體積為.故答案為：.13.已知的三個內角分別為、、，，求的值___________．【答案】##【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理，即可得到結果.【詳解】由余弦定理得：，由正弦定理（r為外接圓的半徑），得，則，故答案為：14.在中，是邊的中點，是線段的中點．設，，若，的面積為，則當______．時，取得最小值．【答案】2【解析】【分析】根據向量加減法的線性運算求解，由的面積求得的值，利用平面向量的線性運算與數量積運算求出，利用基本不等式求出它取最小值時、的值，再利用余弦定理求出的值．【詳解】是邊的中點，是線段的中點，則，，所以，如圖所示，中，，所以的面積為，所以，所以，當且僅當時取等號，所以最小值為6，所以此時，，，所以，所以．故答案為：2．四、解答題15.已知復數（1）若復數是方程的一個復數根，求實數a，b的值；（2）若復數滿足，求．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據復數的乘法運算，結合復數相等的充要條件，即可列方程求解，（2）由復數的除法運算可得，即可由模長公式求解.【小問1詳解】，所以，【小問2詳解】由可得故16.已知分別為三個內角的對邊，向量，.（1）求；（2）若.求的面積.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據數量積的坐標表示可得，利用正弦定理把邊化為角，再利用三角形內角和定理、和差公式及輔助角公式即可求解；（2）利用向量的線性運算可得，結合題意由、向量數量積及面積公式即可求解.【小問1詳解】因為，所以，所以，所以，所以，，即，又，故，即.【小問2詳解】，所以，，,又,即,,或（舍）,故.17.在直角梯形中，，，，點是邊上的中點.（1）若點滿足，且，求的值；（2）若點是線段上的動點（含端點），求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用向量的加減運算法則，以為基底表示出得出的取值可得結論；（2）法1：建立平面直角坐標系利用數量積的坐標表示即可得出的取值范圍；法2：利用極化恒等式得出，即可得出結果.【小問1詳解】如下圖所示：由可得，所以，又，可得所以；【小問2詳解】法1：以點為坐標原點，分別以為軸，為軸建立平面直角坐標系，則，則，由點是線段上的動點（含端點），可令，所以，則，所以，由二次函數性質可得當時取得最小值；當時取得最大值；可得法2：取中點，作垂足為，如下圖所示：則顯然當點位于點時，取到最大值3，當點位于點時，取到最小值，可得18.養殖戶承包一片靠岸水域，如圖為直岸線，，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點按線段和修建養殖網箱，已知.（1）求岸線上點與點之間的直線距離；（2）如果線段上的網箱每千米可獲得2萬元的經濟收益，線段上的網箱每千米可獲得4萬元的經濟收益.記，設兩段網箱獲得的經濟總收益為萬元，求的取值范圍.【答案】（1）千米（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理，結合題意，可得答案；（2）由正弦定理，表示出邊，整理利潤的三角函數表達式，可得答案.【小問1詳解】在中，由余弦定理，得即岸線上點A與點之間直線距離為千米.【小問2詳解】在中，設，，故有，，設兩段網箱獲得的經濟總收益為萬元，則，故的取值范圍為.19.定義：若非零向量，函數的解析式滿足，則稱為的伴隨函數，為的伴隨向量．（1）若向量為函數的伴隨向量，求；（2）若函數為向量的伴隨函數，在中，，，且，求的值；（3）若函數為向量的伴隨函數，關于x的方程在上有且僅有四個不相等的實數根，求實數m的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用和角公式與誘導公式化簡，依題即得，求其模長即可；（2）利用伴隨函數定義和題設條件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得；（3）利用降冪公式根據將方程化成，根據和余弦值的符號分段化簡函