五校共同體第一次階段檢測高一數學考試時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知點，則與向量方向相反的單位向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，求得，且，結合與向量方向相反的單位向量，即可求解.【詳解】由點，可得，且則與向量方向相反的單位向量.故選：B.2.計算的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應用誘導公式及和角正弦公式化簡求值.【詳解】.故選：C3.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C.8 D.40【答案】B【解析】【分析】所求模平方后，根據向量的數量積的運算律化簡求解即可.【詳解】因為向量，滿足，，，所以，則，故選：B．4.設，是兩個不共線的向量，已知，，，若三點A，B，D共線，則k的值為（）A.－8 B.8 C.6 D.－6【答案】A【解析】【分析】先求出，然后利用存在實數使，列方程求k的值.【詳解】由已知得，三點A，B，D共線存在實數使，，解得.故選：A.5.已知分別為三個內角的對邊，且，則是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形【答案】D【解析】【分析】正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得到，進而得到，得到，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理得，又因為，可得，所以，因為，可得，所以，又因為，所以，所以為鈍角三角形.故選：D.6.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題干中的條件可得，，再由化簡求值即可.【詳解】，，，，，，，.故選：B.7.在中，，，為線段上一點，且滿足，若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據三點共線求出，利用向量的線性運算用表示，結合數量積的運算律可得結果.【詳解】∵，∴，∵，∴，∵三點共線，∴，故，∴.∵，∴，∵，，，∴.故選：B.8.已知，且，則有（）A.最大值 B.最小值C.取不到最大值和最小值 D.以上均不正確【答案】D【解析】【分析】注意到，將等式化成，展開整理得到，利用角的范圍，將其簡化為，代入中整理可得，利用基本不等式即可求得最大值.【詳解】由可得：，展開得：，即（*），因且，故，由（*）可得：.由，因，則，由,可得：，當且僅當時，即時，時，等號成立，故時，有最大值為.故選：D.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯得0分.）9.在中，根據下列條件解三角形，其中有唯一解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】BC【解析】【分析】根據正弦定理，余弦定理，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】對于A：，則，故三角形有2個解，故A錯誤；對于B：三角形三邊確定，三角形唯一，故B正確；對于C：由余弦定理得，所以，解得或（舍），所以能唯一確定三角形，故C正確；對于D：由余弦定理得，所以，，方程無解，所以無法構成三角形，故D錯誤；故選：BC.10.已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結論正確的是（）A.與共線 B.與的夾角余弦值為C.向量在向量上的投影向量為 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據向量共線的坐標關系判斷選項A；利用兩個向量的夾角公式驗證選項B；利用投影向量的公式求解判斷選項C；利用向量垂直關系的坐標表示驗證選項D.【詳解】對于A，，又，，與不共線，故A錯誤；對于B，，又，，故B正確；對于C，向量在向量上的投影向量為，故C錯誤；對于D，，則，故D正確；故選：BD.11.已知三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則下列選項正確的是（）A.的取值范圍是B.若D是AC邊上的一點，且，則的面積的最大值為C.若三角形是銳角三角形，則的取值范圍是D.若O是的外心，，則【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理及余弦定理求出角B，利用三角恒等變換公式化簡求出值域判斷A；利用向量線性運算及數量積的運算律解得，使用基本不等式即可求出面積最大值判斷B；利用正弦定理及三角恒等變換得，求出函數值域即可判斷C；根據模長關系可得，再結合基本不等式運算求解.【詳解】因為，由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，即，且，所以.對于選項A：因為，且，則，可得，所以，故A錯誤；對于選項B：因為，則，可得，即，當且僅當，即時，等號成立，所以，即的面積的最大值為，故B正確；對于選項C：因為，又因為，解得，可得，則，所以，故C正確；對于選項D：因，則，可知點在優弧上（端點除外），因為，則，又因為，且，可得，即，又因為，即，解得，當且僅當時，等號成立，可得，故D正確；故選：BCD.【點睛】方法點睛：1．平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結合圖形分析；二是基于“數”，借助坐標運算來實現；2．正確理解并掌握向量的概念及運算注重數形結合思想、方程思想與轉化思想的應用；提醒：運算兩平面向量的數量積時，務必要注意兩向量的方向．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.若向量，已知與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據與的夾角為鈍角，由，且與的不共線求解.【詳解】解：由，得．又與的夾角為鈍角，∴，得，若，則，即．當時，與共線且反向，不合題意．綜上，k的取值范圍為，故答案為：．13.在中，角??所對的邊分別為??，，的平分線交于點，且，則的最小值為___________.【答案】18【解析】【分析】先根據三角形面積公式得出，再利用基本不等式求最值.【詳解】在中，由的平分線交于點，得，而且，則，化簡得，即，因此，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為18.故答案為：1814.已知，函數，，在上單調，則的取值范圍是______________.【答案】【解析】【分析】利用三角恒等變換然后結合整體法結合三角函數性質對對區間上進行單調分析列不等式計算求解；【詳解】因為，因為，當時，，因為函數在上單調，則，所以其中，解得，所以，解得，又因為，則．當時，；當時，；因此的取值范圍是．故答案為：．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，，.（1）若與垂直，求實數值；（2）若與方向相同，求實數的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據向量垂直的性質，兩垂直向量的數量積為，由此列出關于的方程求解；（2）根據兩向量方向相同可知它們共線，利用向量共線的性質列出關于的方程，再結合方向相同的條件確定的值.【小問1詳解】已知，展開可得.因為，所以，則，解得.因為與垂直，所以.展開可得：將，，代入上式可得：,化簡得，解得.【小問2詳解】因為與方向相同，所以與共線.則存在實數，使得，即.由此可得方程組，將代入可得：，即，，解得.因為，所以，則.16.已知，函數.（1）若，求函數最值及對應的的值；（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）時，，時，；（2）.【解析】【分析】（1）先利用向量數量積的坐標表示和輔助角公式，化簡.由的取值范圍，求得的取值范圍，并由此得到函數的最大值和最小值及對應的值.（2）將原不等式等價變形為恒成立，由（1）知且，解得.【詳解】(1)因為，，所以===，∵x∈，∴，當，即時，，當，即時，.(2)方法一:∵），，故的取值范圍為.方法二：∵），，故的取值范圍是.17.在①，②，且，③，三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角所對的邊分別.已知______．（1）求角的大小；（2）若是的中點，，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇條件，根據正弦定理邊角轉化，結合余弦定理、三角恒等變換可得結果.（2）根據是的中點可得，等式兩邊同時平方結合基本不等式可得，利用三角形面積公式可得結果;.【小問1詳解】選擇條件①：∵，∴，由余弦定理得，∵，∴.選擇條件②：∵，，，∴，故，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，即.選擇條件③：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】∵是的中點，∴，即，∴，即，∴，∵，∴，故，當且僅當時，等號成立，∴面積，即面積的最大值為.18.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，，為等邊三角形，記，.（1）若，求的面積；（2）證明：；（3）若，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根據為等邊三角形，利用三角形面積公式即可求解；（2）在中，利用正弦定理，結合三角恒等變換即可求解，（3）利用余弦定理得，正弦定理得，結合（2）的結論以及三角形面積公式可得,利用三角函數的性質即可求解．【小問1詳解】在平面四邊形中，已知，，為等邊三角形，記，在中，由余弦定理，，所以，則，所以，又因為等邊三角形，所以，且，所以，則的面積為；【小問2詳解】在中，由正弦定理可得，即且，由于，故，由于三角形中，，因此，得證，【小問3詳解】在平面四邊形中，已知，，為等邊三角形，，設，在中，由余弦定理，，，在中，由正弦定理，，即，所以，結合，又因為，所以，所以，即的面積的取值范圍為．19.如圖，設是平面內相交成角的兩條射線，分別為同向的單位向量，定義平面坐標系為仿射坐標系.在仿射坐標系中，若，記.（1）在仿射坐標系中.①若，求；②若，且，的夾角為，求；（2）如圖所示，在仿射坐標系中，B，C分別在x軸，y軸正半軸上，，E，F分別為BD，BC中點，求的最大值.【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①由題意，，將其兩邊平方，再開方即可得到；②由表示出和，再由已知用表示出，因為與的夾角為，然后由，即可得到；（2）由