南寧市第二十中學2025年春季學期3月高一數學質量評估一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若復數，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，進而求出.【詳解】因為，所以，所以故選：B2.設點O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（）A.相同的向量 B.模相等的向量C.共線向量 D.共起點的向量【答案】B【解析】【分析】根據正三角形的中心到三個頂點的距離相等，得到這三個向量的模長相等，即可判斷得解【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的向量，到三個頂點的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點相同的向量.故選：B3.已知向量滿足，且，則的值為（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】根據已知條件直接化簡求解即可.【詳解】因為向量滿足，且，所以.故選：C.4.在矩形中，為線段的中點，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】選做基底，根據向量的加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則運算，即可求得答案.【詳解】在矩形中，為的中點，故選：D.5.已知平面向量滿足，且，則的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設夾角為，根據向量數量積的運算律即可求解．【詳解】因為，所以，即，設夾角為，則，，又因為，所以，故選：D．6.平面內順次連接所組成的圖形是（）A.平行四邊形 B.直角梯形C.等腰梯形 D.以上都不對【答案】B【解析】【分析】先求出，然后通過判斷它們間的關系進行判斷即可.【詳解】因為，所以，，所以，，∥，所以四邊形直角梯形.故選：7.如圖，某市人民廣場正中央有一座鐵塔，為了測量塔高，小胡同學先在塔的正西方點C處測得塔頂的仰角為，然后從點C處沿南偏東方向前進140米到達點D處，在D處測得塔頂的仰角為，則鐵塔的高度是（）A.70米 B.80米 C.90米 D.100米【答案】A【解析】【分析】先由題意得出，，再在中，由余弦定理即可求解.【詳解】由題，所以，故在中，由余弦定理得，所以即，（舍去）或，故鐵塔的高度是70米.故選：A.8.已知復數z滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】設復數z在復平面內對應的點為Z，由復數的幾何意義可知點的軌跡為軸，則問題轉化為軸上的動點到定點距離的最小值，從而即可求解.【詳解】解：設復數z在復平面內對應的點為Z，因為復數z滿足，所以由復數的幾何意義可知，點到點和的距離相等，所以在復平面內點的軌跡為軸，又表示點到點的距離，所以問題轉化為軸上的動點到定點距離的最小值，所以的最小值為2，故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.（在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知為虛數單位，復數，則（）A.與互為共軛復數 B.C.為純虛數 D.【答案】BD【解析】【分析】對于A，根據共軛復數的定義分析判斷，對于B，分別求出兩復數的模進行判斷，對于C，直接計算進行判斷，對于D，直接計算判斷.【詳解】對于A，因為的共軛復數為，所以與不互為共軛復數，所以不正確；對于B，因為，所以B正確；對于C，因為，為實數，所以C不正確；對于D，因為，所以，所以D正確.故選：BD10.若，是平面內兩個不共線的向量，則下列說法不正確的是（）A.可以表示平面內的所有向量B.對于平面中的任一向量，使的實數，有無數多對C.，，，均為實數，且向量與共線，則有且只有一個實數，使D.若存在實數，，使，則【答案】BC【解析】【分析】根據平面向量基本定理結合線性運算分析判斷.【詳解】由題意可知：，可以看成一組基底向量，根據平面向量基本定理可知：A，D正確，B不正確；對于C，當時，則，此時任意實數均有，故C不正確；故選：BC．11.在中，，，，則下列說法正確的是（）A. B.的面積為2C.的外接圓直徑是 D.的內切圓半徑是【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角公式求出，根據同角三角函數的基本關系求出，再由余弦定理求出，由正弦定理求出外接圓的直徑，利用面積公式及等面積法判斷B、D；【詳解】解：因為，所以，所以，，故A、B正確；由余弦定理，即，所以，所以外接圓的直徑，故C錯誤；設的內切圓半徑為，則，即，所以，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數是純虛數，其中為虛數單位，則實數的值為__________．【答案】1【解析】【分析】根據純虛數的概念，列出關系式，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，解得.故答案為：1.13.已知向量，則與向量平行的單位向量為______（填入其中一個向量的坐標）【答案】（或）【解析】【分析】根據平行向量和單位向量的定義求解即可.【詳解】因為，所以，所以與向量平行的單位向量為或.故答案為：.（或）14.已知中，角的對邊分別為，且的面積為，則__________.【答案】##【解析】【分析】先利用三角形的面積列方程求出，再利用余弦定理求出，從而可求出的值.【詳解】，解得，，.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.（1）已知單位向量與的夾角為，且，求；（2）已知，求.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）根據題意，得到，利用向量數量積的運算律展開，即可求解；（2）根據題意，對兩邊平方，并代入，即可求解.【詳解】（1）單位向量與的夾角為，則..（2）由，即.16.已知向量，且.（1）求的值；（2）求向量與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用平面向量垂直的坐標公式計算即可.（2）運用平面向量夾角公式計算即可.小問1詳解】因為，，所以，解得.故的值為3.【小問2詳解】由（1）知，，所以，所以，所以故與的夾角的余弦值為.17.如圖，在△ABC中，，，，，．（1）設，求x，y的值，并求；（2）求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）以為基底，由向量的線性運算求出，再由向量數量積的運算性質求模即可；（2）根據向量的線性運算轉化為基底表示，再由數量積的運算求解即可.【小問1詳解】，，，，.【小問2詳解】.18.在中，內角所對的邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若的中線，求的最大值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）..（2）為中線結果.【小問1詳解】由題可得，，結合正弦定理可得，因為，所以，得，因為，所以．【小問2詳解】易知，（技巧：向量的平行四邊形法則）兩邊同時平方得，得．法一：可化為，因為，所以，所以，得，當且僅當時取等號．（點撥：運用基本不等式求最值時，注意等號是否可以取到）所以的最大值是4．法二：，令則，所以，當且僅當，即時等號成立．（點撥：三角函數的有界性）所以的最大值為4．19.在平面四邊形中（在的兩側），.（1）若，求；（2）若，求四邊形的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之間