第一章集合

第一節集合的含義、表示及基本關系

A組

1.已知4={1,2},8={x|xe/},則集合4與6的關系為______.

解析：由集合⑷知，5={1,2}.答案：A=B

2.若。星{x|xWa,aGR},則實數a的取值圍是.

解析：由題意知，有解，故a》0.答案：a20

3.已知集合4={y|y=f—2x—l,x€R},集合6={x|-2WK8},則集合力與

8的關系是.

解析：y—x—2x—l=(x-1)'—22-2,A={y\—2},BA

答案：瘴4

4.(2009年高考卷改編)已知全集〃=R,則正確表示集合材={-1,0,1}和N=

{x\*+x=0}關系的韋恩(Venn)圖是.

①

解析：由心{x/x?+x=O},得滬{-1,0},則A呈必答案：②

5.(2010年蘇、錫、常、鎮四市調查)已知集合［={x|x>5},集合8={x|x>a},

若命題“xG/”是命題"xRB”的充分不必要條件，則實數a的取值圍是

解析：命題“后"是命題“xdB”的充分不必要條件，B,.-.a<5.

答案：a<5

6.(原創題)已知加￡4nGB,且集合/={x|x=2w,aWZ},8={*x=2a+l,

a￡Z},又C={x|x=4a+l,a￡Z},判斷加+〃屬于哪一個集合？

解：?：mGA,.二設加=2a,aWZ,火?：nRB,.二設〃=2&+1,&RZ,.*.///

+〃=2(4+己2)+1,而d+?,.〃，+〃￡〃.

B組

1.設a"都是非零實數,了=備+彳+乎?可能取的值組成的集合是.

解析：分四種情況：(l)a>0且方〉0；(2)a〉0且伙0；(3)a<0且6>0；(4)a<0

且叢0,討論得尸3或y=-l.答案：{3,-1)

2.已知集合力={-1,3,2勿-1},集合6={3,痛}.若厄爾則實數卬=______.

解析：:,醫4顯然病#—1且卬2#3,故窟=20一1,即(0一1尸=0,...如

=1.答案：1

3.設只。為兩個非空實數集合，定義集合尸+0={a+5aGR4砒,若P=

{0,2,5},0={1,2,6},則尸+0中元素的個數是個.

解析：依次分別取a=0,2,5；6=1,2,6,并分別求和，注意到集合元素的

互異性，，尸+0={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案：8

4.已知集合M={x|x=\],集合A—{x\ax=l},若NM,那么a的值是.

解析：豺={x\x=1或x=-1},NM,所以N=0時，a=0；當a￥0時，x

=一=1或-1,?..a=l或一L答案:0,1,—1

a

5.滿足⑴緊4U{123}的集合{的個數是______個.

解析：力中一定有元素1,所以力有{1,2},{1,3},{1,2,3).答案：3

6.已知集合[={x|x=a+1,a￡Z},B={x\x=^—^9b^Z},C={x|x=9+J,

0，JZ0

CGZ),則/、B、C之間的關系是.

解析：用列舉法尋找規律.答案：A^B=C

7.集合4={x||x|W4,xGR},B={x\Ka},則是"a>5”的.

解析：結合數軸若/U80a24,故UAQff'是“a>5”的必要但不充分條

件.答案：必要不充分條件

8.(2010年啟東模擬)設集合M={必|R=2",〃GN,且欣500},則"中所有元素

的和為.

解析：：2"<500,...〃=0,1,2,3,4,5,6,7,8.中所有元素的和S=l+2+

2?+…+2'=51L答案:511

9.(2009年高考北京卷)設/是整數集的一個非空子集，對于衣￡4如果衣一1

建人且4+1+/,那么稱在是力的一個“孤立元”.給定5={1,2,3,4,5,6,7,8},

由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個.

解析：依題可知，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”，這

三個元素一定是相連的三個數.故這樣的集合共有6個.答案：6

10.已知[={x,xy,1g(燈)},B—{0,x\,y},且/=8,試求x,y的值.

解：由lg(xy)知，xy>0,故x=0,燈會0,于是由力=6得lg(xy)=0,xy

=1.

：.A—{^1,0},B={0,x\,1}.

于是必有/：=1,-=x#l,故x=-1,從而y=-1.

X

11.已知集合[={x|f-3x-10W0},

(1)若比48={x卬+11},求實數/力的取值圍；

⑵若6={x：w—6WxW2m—l},求實數加的取值圍；

(3)若/=8,B=\xm-6WxW2m-\]'求實數加的取值圍.

解：由4={x|J—3x—10W0},得/={x|—2Wx<5},

(1)：住4二①若6=0,則勿+1>2m-1,即欣2,此時滿足住4

w+\W2m—1,

②若廢。，貝(-2Ww+l,解得2WrW3.

由①@得，0的取值圍是(-8,3].

2勿—1>/?—6,ni>—5,

解得卜在4,故

⑵若AQB.則依題意應有</—6W—2,

、2〃L125.、加23.

3W/?W4,

???加的取值圍是[3,4].

-6=-2,

(3)若力=氏則必有解得〃后0.,即不存在加值使得力=

[2/2?-1=5,

B.

12.已知集合A—{x\%—3%+2^0},B={x\x—(a+1)x+a〈0}.

(1)若/是6的真子集，求a的取值圍；

(2)若5是4的子集，求a的取值圍；

(3)若4=反求a的取值圍.

解：由?一3x+2W0,即(才一1)(x-2)W0,得1WXW2,故4={x|lWW2},

而集合B—{x\(x—1)(x—a)<0},

(1)若/是6的真子集，即4B,則此時a],故於2.

(2)若8是/的子集，即應凡由數軸可知

1。2

(3)若力二區則必有42

第二節集合的基本運算

A組

1.(2009年高考卷改編)設〃=R,A={x|x>0},B={x\x>\],則tB=___.

解析：3A<1},I.nnC,6={xO<xWl}.答案：{x|O〈xWD

2.(2009年高考全國卷I改編)設集合/={4,5,7,9},8={3,4,7,8,9},全集〃

=4U&則集合「M/n皮中的元素共有________個.

解析：力仆8={4,7,9},/U%析,4,5,7,8,9},C〃(40百={3,5,8}.答案：

3

3.已知集合冊={0,1,2},A-{x|x=2a,粉，則集合MCI川=________.

解析：由題意知，八三[0,2,4},故材n力土{0,2}.答案：{0,2}

4.(原創題)設/,8是非空集合，定義/⑧5={x：xG4U8且N/C8},已知4

={x|0WxW2},6={y|y20},則力⑧8=_______.

解析：/U8=[0,+8),/n%[0,2],所以{⑧6=(2,+°°).

答案：(2,+8)

5.(2009年高考卷)某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運

動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數為

解析：設兩項運動都喜歡的人數為x,畫出韋恩圖得到方程

15-戶*+10-矛+8=30=獷3,...喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數為

15-3=12(人).答案：12

6.(2010年質檢)已知集合4={x|x>l},集合8={x|〃WxW〃+3}.

(1)當卬=-1時，求4C8,

(2)若醫/,求加的取值圍.

解：(1)當小=-1時，6={x|-lWxW2},.,"nb={x|l<xW2},AUB=

{x|x2一1}.(2)若醫4,則初>1,即0的取值圍為(1,+°°)

B組

1.若集合J勺{xCR|-3<x<l},A』{xGZ|-1WXW2},則"AA'=______.

解析：因為集合"={-1,0,1.2},所以MC/V={-I,0}.答案：{-1,0}

2.已知全集〃={-1,0,1,2},集合A={-1,2},B={0,2},則((所8=

解析：C[011},故(CMC5={0}.答案：{0}

3.(2010年市高三模擬)若全集〃=R,集合M={x-2WxW2},N={x\x-

3xWo},則"n([聞=________.

解析：根據已知得#n(C={x|-2WxW2}n{x|K0或X>3}={x|-

2Wx<0}.答案：{x|-2〈x〈o}

4.集合4={3,logza},6={a,b},若力D8={2},貝」i4U6=______.

解析：由/n6=⑵得log2a=2,；.a=4,從而6=2,；./U8={2,3,4}.

答案：{2,3,4}

5.(2009年高考卷改編)已知全集Q/U8中有卬個元素，(C〃)U(C,而中有〃

個元素.若4口8非空，則4n8的元素個數為.

解析：/4U6中有小個元素，

,/([tA)U([㈤=[4/門⑤中有〃個元素，.中有叫一〃個元素.答

案：m-n

6.(2009年高考卷)設是小于9的正整數},4={〃6切力是奇數},B=

〃〃是3的倍數},則cuB)=.

解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},6={3,6},：.AUB=

{1,3,5,6,7),

得[〃C4U0={2,4,8}.答案：{2,4,8}

x

7.定義J?6={z|z=xy+],x&A,yW0.設集合[={0,2},5={1,2},C=

{1},則集合(廢而?C的所有元素之和為.

解析：由題意可求(力?而中所含的元素有0,4,5,則(力?8)?C中所含的元

素有0,8,10,故所有元素之和為18.答案：18

8.若集合{(x,0|x+y—2=0且x-2y+4=x,y)|y=3x+6},貝!I6=

ix+y-2=0,[%=0,

解析：由，,=>1點(0,2)在y=3x+6上，，6=2.

.x—2y+4=0.[y=2.

9.設全集/={2,3,才+22—3}"={2,后+1|},[滔={5},材={4x=logja|},

則集合出的所有子集是.

解析：'：AU(C,A)=I,二{2,3,a?+2a-3}={2,5,a+l|},：.\a+l\

=3,且a°+2a—3=5,解得a=—4或a=2,；.V={logz2,log2|-4|}={1,2}.

答案：。,{1},{2},{1,2}

10.設集合-3x+2=0},8={x|x'+2(a+1)x+(a"—5)=0}.

(1)若404={2},求實數a的值；

(2)若4U8=4,求實數a的取值圍.

解：由f—3x+2=0得x=l或x=2,故集合力={1,2}.

⑴,.3C%{2},.'2G6,代入6中的方程，得a2+4a+3=0na=T或a

=-3；當a=-1時，B={xx_4=0}={-2,2},滿足條件；當a=-3時，B

={x|f—4x+4=0}={2},滿足條件；綜上，a的值為一1或一3.

(2)對于集合8,△=4(a+l)2-4(aD=8(a+3).'：A^B=A,J.BQA,

①當A<0,即a<—3時，3=0滿足條件；②當A=0,即a=-3時，B=

{2}滿足條件；③當A>0,即a〉一3時，6=4={1,2}才能滿足條件，則由根與

系數的關系得

l+2=—2(a+l)

乙矛盾.綜上，a的取值圍是aW—3.

2=〈

lX2=a-52_

11.已知函數f(x)=寸由一1的定義域為集合A,函數g(x)=lg(—f+2x

+而)的定義域為集合8.

(1)當勿=3時，求4n(1由；

(2)若406=5|一1<水4},求實數"的值.

解：A={x-1<A<5}.

⑴當m=3時，B={x|—1<X3},則[招={x]—1或x23},

：.AC\([R?={x|3WxW5}.

(2)'：A={x-5},AC\B=U|-KX4},

二有一42+2X4+〃=0,解得z?=8,此時3={X|-2<_Y<4},符合題意.

12.已知集合4={xWR|ax2-3x+2=0}.

(1)若力=。，求實數a的取值圍；

(2)若力是單元素集，求a的值及集合4；

(3)求集合，仁).

解：(1)4是空集，即方程af—3x+2=0無解.

9

若a=0,方程有一解x=個不合題意.

若ar0,要方程af—3x+2=0無解，則A=9—8a<0,則a〉號

9

綜上可知，若力=。,則a的取值圍應為

0

99

⑵當a=0時，方程蘇―3x+2=0只有一根x=§,[={§}符合題意.

9

當aWO時，則A=9—8a=0,即時，

O

44

方程有兩個相等的實數根X=g,則-{/

294

綜上可知，當石=0時，A={-}；當片§時，A={-}.

2

(3)當a=0時，4={§}W。.當a#0時，要使方程有實數根，

9

則△=9—8a20,即aWj

O

99

綜上可知，a的取值圍是aW?,即"={aCR|廿0}={a|aW$

OO

第二章函數

第一節對函數的進一步認識

A組

1.(2009年高考卷改編)函數恒^的定義域為

X

——RV—I—40

''=xG[—4,0)U(0,1]

/0,

答案:[-4,0)U(0,1]

2.(2010年第一次質檢)如圖，函數/'(X)的圖象是曲線段38,其中點0,A,B

的坐標分別為(0,0),(1,2),(3,1),則/.(卷)的值等于.

解析：由圖象知f(3)=l,/■(7m)=f(l)=2.答案：2

[3\xWl,

3.(2009年高考北京卷)已知函數f(x)=若娘x)=2,則x=

—%,x>\.

解析：依題意得xWl時，3*=2,??.x=log32；

當x>l時，-x=2,X=-2(舍去).故X=log32.答案：log32

4.(2010年黃岡市高三質檢)函數f：{1,{1,滿足的這樣

的函數個數有個.

解析：如圖.答案：1

5.(原創題)由等式x+a\x+52-H-=(x+1),+6i(x+1產+灰(x+1)+K定義—

個映射FE,改,為)=必，&),則#2,1,-1)=.

解析：由題意知f+zV+x—1=(x+1)+Z?i(x+1)+為(x+1)+A,

令義=一1得：-1=&；

[-1=1+61+益+從

再令x=0與x=l得?,

[3=8+4〃+2b2+A

解得打=-1,bz=O.

答案：(一1,0,—1)

C1

1+-U>1),

,”1

6.已知函數F(x)=I.(vv、⑴求A1--7=~；),

x2+1(―IWxWl),弋2—1

、2x+3(X-1).

3

2)]}的值；(2)求f(3x—1);(3)若f(a)=5，求a

解：f(x)為分段函數，應分段求解.

(1)V1-下■—1—(鏡+1)=-1,f(—yf2)=-24+3,

1Q

又,"(-2)=—1,—F(—2)]=f(—1)=2,.*./'{/[/(-2)]}=1+-=-

913x

(2)若3x—1>1,即才>三，F(3x—1)=1+^---7=丁~T；

33x-13x—1

3

若一lW3x—1W1,即OWxW]f(3x—1)=(3x—1尸+l=9f—6x+2；

若3X一1<一1,即底0,F(3x—l)=2(3x—l)+3=6x+L

3x2

(x>R,

3x—1o

/.A3%-1)=〈9

9x-6x+2

<6%+1(X0).

3

(3)Vf{a)=~9/.a>l或一iWaWl.

13

當a>l時,有1+-=-,/.a=2；

a2

3

當一IWaWl時，，+1=5，.\a=

??a=2或土乎.

B組

出y+lg(2x—1)的定義域是..

1.(2010年江門質檢)函數y=

3x—2

22

解析:由3x—2>0,2x—1>0,得力不答案：U|x>-}

Jo

—2x+1,(x<—1),

2.(2010年棗莊模擬)函數f(x)=?—3,(TWA<2),則咳)+5))

2x-l,(x>2),

解析：.../'(|)+5=—3+5=2,.?.f(2)=-3,

；.f(—3)=(—2)X(—3)+1=7.答案：7

3.定義在區間(一1,1)上的函數/Xx)滿足2f(x)—f(—x)=lg(x+l),則f(x)

的解析式為.

解析：?.,對任意的矛￡(―1,1),有一x￡(—1,1),

由2F(x)—F(—x)=lg(x+l),①

由2f(—x)—F(x)=lg(—x+l),②

①X2+②消去f(—Q,得3f(x)=21g(x+l)+lg(—x+1),

21

f{x)=zlgU+l)+-lg(l—x),(—KKl).

oo

21

答案：f(x)=~lg(^+l)+-lg(l—%),(—KXl)

oo

4.設函數y=f(x)滿足f(x+l)=f(x)+1,則函數y=f(x)與y=x圖象交點的

個數可能是個.

解析：由/■(x+l)=f(x)+l可得F(l)=f(0)+l,A2)=/(0)+2,f(3)=

Ao)+3,…本題中如果Ao)=0,那么y=f(x)和y=x有無數個交點；若

f(0)W0,則y=f(x)和y=x有零個交點.答案：0或無數

(2(%>0)

5.設函數f(x)=<2,,?x\，若以-4)=f(0),

[x+bx+c(xWO)

則f(x)的解析式為/Xx)=,關于x的方程f^)=x的解的個數為

________個，

解析：由題意得

J16—4Z>+c=cJZ>=4

[4—2Z?+c=—2\c—2'

2(x>0)

f(x)--

f+4x+2(xWO)

由數形結合得f(x)=X的解的個數有3個.

[2(%>0)

答案：U2+4%+2(XWO)

6.設函數f{x)=logC7x(a>0,dWl),函數g(x)=-x：'+bx+c,若F(2+，5)

—F(鏡+1)=；,g(x)的圖象過點1(4,-5)及夕(一2,—5),貝Ia=,

函數f[g(x)]的定義域為.

答案：2(-1,3)

V—4x+6才20

,'Y,則不等式

{x+6,x<0

f(x)>F(l)的解集是.

解析：由已知，函數先增后減再增，當x'O,F(x)>f(l)=3時，令/1(%)=

3,

解得x=l,x=3.故f(x)>f(l)的解集為OW_K1或x>3.

當水0,x+6=3時，x=-3,故/'(x)>f(l)=3,解得一3<水0或x>3.

綜上，f(x)>f(l)的解集為{x—3(水1或x〉3}.答案：{x|-3<x<l或x>3}

8.(2009年高考卷)定義在R上的函數/U)滿足其公=

logz(4—x),xWO,

JDYI),x>。，則,⑶的值為

解析：：f(3)=f(2)-Al),又f(2)=AD-AO)，,f(3)=—F(0)

=log24=2,.?.F(3)=-2.答案：一2

9.有一個有進水管和出水管的容器，每單位時間進水量是一定的，設從某時刻

開始，5分鐘只進水，不出水，在隨后的15分鐘既進水，又出水，得到時間x

與容器中的水量y之間關系如圖.再隨后，只放水不進水，水放完為止，則這段

時間(即x220),y與x之間函數的函數關系是.

解析：設進水速度為&升/分鐘，出水速度為a2升/分鐘，則由題意得

5al=20|a=4

、一、，得.，則y=35—3(x—20),得y=-3x+95,

5al+15(a1-aa)=350=3

又因為水放完為止，所以時間為,又知x220,故解析式為y=-3x+

O

95(20^^^—).答案：y=-3x+95(20WxWk)

oo

10.函數/Xx)=M(l-a2)G+3(i-a)x+6.

(1)若/Xx)的定義域為R,求實數a的取值圍；

(2)若f(x)的定義域為[-2,1],求實數a的值.

解：(1)①若1—22=0,即a=±l,

3)若@=1時，式公=求,定義域為R,符合題意；

(ii)當a=-1時，f(x)=^6x+6,定義域為[-1,+°°),不合題意.

②若1-a?#。，則g(x)=(l—a')x+3(1—a)x+6為二次函數.

由題意知g(x)>0對%eR恒成立，

1—a2>0,—l<a<l,

?<??

,,[△WO,*l(a-l)(lla+5)<0,

5S

二一寸Wa〈l.由①②可得一jj"WaWL

(2)由題意知，不等式(1-才)/+3(1-@)矛+620的解集為[-2,1],顯然1

—a'#0且一2,1是方程(1—3)寸+3(1—a)x+6=0的兩個根.

ri-a<o,

"a<—1?或a>l,

3(1—a)

-2+1=a=2,

a2—1

:.<<a—+2.

5

a<—77或a〉]

IA=[3(l-a)]2-24(l-a2)>0

??a=2.

11.已知f(x+2)=f(x)(xeR),并且當xG[—1,1]時，求當

xG[24一1,24+1](&GZ)時、f(x)的解析式.

解：由/1(x+2)=F(x),可推知/Xx)是以2為周期的周期函數.當

-1,24+1]時，2A-lWxW2A+l,-IWx-2A<1..?.f(x-2公=一(才一282+

1.

又f(x)=f(x—2)=f(x—4)—,

；.f(x)=-(x-2A)2+l,xe[2A—kWZ.

12.在2008年11月4日航展上，中國自主研制的ARJ21支線客機備受關注，

接到了包括美國在的多國訂單.某工廠有216名工人接受了生產1000件該支線

客機某零部件的總任務，已知每件零件由4個C型裝置和3個H型裝置配套組成，

每個工人每小時能加工6個C型裝置或3個H型裝置.現將工人分成兩組同時開

始加工，每組分別加工一種裝置，設加工C型裝置的工人有x位，他們加工完C

型裝置所需時間為g(x),其余工人加工完H型裝置所需時間為力(x).(單位：h,

時間可不為整數)

(1)寫出g(x),力(x)的解析式；

(2)寫出這216名工人完成總任務的時間f(x)的解析式；

(3)應怎樣分組，才能使完成總任務的時間最少？

解：(l)g(x)=F-(0<X216,x&N*),方(x)=7777-----(0<K216,x6N*).

3x216—x

「2000/一產、

H—(0<xW86,xWW).

I3x

(2)f{x)=<(3)分別為86、130或87、

1000/7八

——(87WK216,%eN).

1216—x

129.

第二節函數的單調性

A組

1.(2009年高考卷改編)下列函數f(x)中，滿足“對任意汨，用6(0,十8),

當￡<生時，都有F(xi)>f(x2)”的是.

①F(x)=：②/、(x)=(x—I)?③F(x)=e"?f(x)=ln(%+l)

解析：,對任意的小，及￡(0,+°°),當xi〈X2時，都有f(xi)>f(x2),Af(x)

在(0,+8)上為減函數.答案：①

2.函數F(x)(x￡R)的圖象如右圖所示,則函數g(x)=F(loga的(0<水1)的單調

減區間是.

解析：:(Ka。，y=log/為減函數，.??log/￡［0,今時，g(x)為減函數.

由OWlog/W：答案：[正，1](或(―，1))

3.函數4+415-3x的值域是.

解析：令x=4+sin2a,aG[0,—],y=sina+/cosa=2sin(a+—)

答案：［1,2］

4.已知函數F(x)=|e'+W|(a￡R)在區間［0,1］上單調遞增，則實數3的取值圍

e

解析：當a〈0,且e'+：》0時，只需滿足e°+120即可，則一lWa<0；當

ee

a=0時，F(x)=lei=e"符合題意；當a>0時，f(x)=e'+4,則滿足/(x)=

e

e'一二NO在［0,1］上恒成立.只需滿足^^(小工汨成立即可，故綜上

e

—1WaWl.

答案：一IWaWl

5.(原創題)如果對于函數f(x)定義域任意的x,都有(材為常數)，稱"

為/'(x)的下界，下界"中的最大值叫做/Xx)的下確界，下列函數中，有下確界

的所有函數是.

'1(x>0)

①/'(x)=sinx；②/'(x)=lgx；③f(x)=e,；④/'(x)=<0(x=0)

1(x<—1)

解析：?；sinx》一1,.?.f(x)=sinx的下確界為-1,即/'(x)=sinx是有下

確界的函數；..,f(x)=lgx的值域為(—8,+8),.?./'(x)=1gx沒有下確界；

.../■(入)=/的值域為(0,+8),;.f(x)=e，的下確界為0,即f(x)=e'是有下

確界的函數；

'I(%>0)［1(x>0)

?."(x)=<0(x=0)的下確界為一1.；"(x)={o(x=0)是

「1(X—1),—1(x<—1)

有下確界的函數.答案：①@④

6.已知函數f(x)=x\g(x)=x—L

(1)若存在xdR使g(x),求實數。的取值圍；

(2)設/(x)=F(x)—儂(x)+1-/一"*且|Mx)|在［0,1］上單調遞增，求實

數m的取值圍.

解：⑴mxCR,g(xx^R,x-bx+b=(-Z?)2-4Z)伙0

或6〉4.(2)尸(x)—x—mx+\—in,△=#—4(1—諭—5m—4,

①當△wo即一淮工

(加時，則必需

5

尸

-羋9.

5

1—b羋W人綃o

②當△>()即成一斗'或勿時，設方程尸(才)=0的根為X1,42(M</2),

若券1,則xWO.

in

加22.

、F(O)=1—才WO

若胃<0,則X2WO,

Ill一r—

—WO2A/5

<2—成一丫.綜上所述:—1〈勿WO或加22.

□

/(0)=1一介0

B組

1.(2010年東營模擬)下列函數中，單調增區間是(一8,0]的是.

?y=—②y=—(x-1)@y—x2—2④y=—|x|

解析：由函數y=-|x|的圖象可知其增區間為(-8,0],答案：④

2.若函數/?(x)=log2(f—ax+3a)在區間[2,+8)上是增函數，則實數a的取

值圍是________.

解析:令g(令=\一ax+3a,由題知g(x)在[2,+8)上是增函數，且g⑵>0.

*2,

.；2...-4〈aW4.答案：-4<a<4

、4—2a+3a>0,

oQ

3.若函數Ax)=x+-%>0)在(],+8)上是單調增函數，則實數a的取值圍.

x4

解析：?.,f(x)=x+；(a>0)在(,，+8)上為增函數，OCawR.

答案：(0,.

4.(2009年高考卷改編)定義在R上的偶函數f(x),對任意小，及e[0,+

8)(汨#及)，有―⑴〈0,則下列結論正確的是________.

X1~X\

①/'(3)<y(-2)"⑴②/'(1)</(-2)3⑶

③f(-2)<F(l)<f(3)?/'(3)<Al)</(-2)

解析：由已知4.一“不)〈0,得/■(*)在xe[0,+8)上單調遞減，由偶函

Xi—X\

數性質得/'(2)=f(-2),即/1⑶"(一2)51).答案：①

fa*(X0),

5.(2010年模擬)已知函數F(x)=,.、,,j、滿足對任意％WX2,

[(a-3)x+4a(x20)

都有/(?)—/52〈0成立,則a的取值圍是

X\-X2

0<a<l,

解析：由題意知，f(x)為減函數,所以卜一3<0,解得

—3)X0+4a,

O〈aW；

4

6.(2010年模擬)函數f(x)的圖象是如下圖所示的折線段OAB,點、A的坐標為

(1,2),點6的坐標為(3,0),定義函數g(x)=f(x)?(x—1),則函數g(x)的最

大值為.

2x(x—1)(0^X1),

解析:g(x)=

.(―x+3)(x—1)(1WXW3),

當0Wx<l時，最大值為0；當時，

在x=2取得最大值1.答案：1

7.(2010年模擬)已知定義域在[-1,1]上的函數y=f(x)的值域為[-2,0],則

函數y=f(cos-\[x)的值域是.

解析：?；cos、/；e[―1,1],函數y=f(x)的值域為[―2,0],...y=f(cosy》

的值域為[—2,0].答案：[—2,0]‘

8.已知f(x)=log3x+2,[1,9],則函數y=[『(⑼了+六/)的最大值是

解析：?.?函數y=[f(x)]2+f(*2)的定義域為

fl

\.,.".xG[1,3],令log3X=h[o,1],

UWx2W9,

.,-y=(f+2)2+2i+2=(t+3)2-3,二當2=1時,加￡=13.答案:13

9.若函數A%)=log.(2%+%)(a>0,a#l)在區間(0,J)恒有f(x)>0,則A%)

的單調遞增區間為.

解析：令〃=29+工當xW(0,》時，〃￡(0,1),而此時F(x)>0恒成立,

???0<a<L

〃=2(X+1)2—、，則減區間為(-8,一；).而必然有2/+才>0,即x>0或

4o4

水一；.???4)的單調遞增區間為(-8,-1).答案：(-8,-1)

10.試討論函數y=2(log|x)2—21og1x+l的單調性.

解：易知函數的定義域為(0,+°°).如果令u=g(x)=lo弓x,y=f(d)=

2——2u+l,那么原函數y=ftg(x)]是由g(x)與f(u)復合而成的復合函數，而

u=log|x在才仁(0,+8)是減函數，y=2/-2u+l=2(u—3在(―8,

》上是減函數，在ueg,+8)上是增函數.又尾,即10"舄,得

說，得

由此，從下表討論復合函數y=/［g(x)］的單調性:

單調性

函數(平,+8)

(o,事

u=log|x

『(〃)=24一2u+l

y=2(log^x)2—21og1x+1

故函數y=2(log|x)2-21o或x+1在區間(0,當)上單調遞減，在區間(當,+

8)上單調遞增.

11.(2010年廣西模擬)已知定義在區間(0,+8)上的函數/'(x)滿足/(國)=f(如

X2

—f{x2),且當x>l時，f(x)<0.

⑴求f(l)的值；(2)判斷判力的單調性；(3)若〃3)=—1,解不等式F(|x|)<

-2.

解：(1)令田=*2>0,代入得F(l)=f(M)—F(xi)=0,故f(l)=0.

(2)任取照￡(0,+°°),且為>才2,則軍>1,由于當牙>1時，/、(才)<0,

X2

所以/'(^八。，即『(汨)一，刖)<0,因此人為)"("2),

所以函數/tr)在區間(0,+8)上是單調遞減函數.

V,Q

(3)由A-)=f(小)-fix3得fE)=A9)-A3),而A3)=-1,所以A9)

Xz3

=-2.

由于函數/Xx)在區間(0,+8)上是單調遞減函數，

由/'(|x|)〈f(9),得|x|>9,，x>9或正一9.因此不等式的解集為{x/9或

X-9).

y”—oy—|—

12.已知：f(x)=log3--,xG(0,+8),是否存在實數a,b,使f(x)

同時滿足下列三個條件：(1)在(0,1］上是減函數，(2)在［1,+8)上是增函數,

(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，說明理由.

解：???/'(X)在(0,1］上是減函數，［1,