湖南省普通高中學業水平合格性考試（三）注意事項：．答題前，請考生先將自己的姓名，準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼上的姓名，準考證號，考室和座位號；．必須在答題卡上答題，在草稿紙，試題卷上答題無效；．答題時，請考生注意各題題號后面的答題提示；．請勿折疊答題卡，保持字體工整，筆跡清晰，卡面清潔．姓名準考證號座位號湖南省普通高中學業水平合格性考試（三）數學時量：分鐘滿分：分一、選擇題：本大題共小題，每小題3分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據補集定義易得.【詳解】由，易得.故選：A.2.在正六邊形ABCDEF中，設，則下列向量中與不共線的是（）A.B.C.D.【答案】C第1頁/共14頁【解析】【分析】根據共線向量的定義即可.【詳解】因為共線向量是指向量所在直線共線或平行的向量，O為正六邊形的中心，所以與所在直線平行，所以是共線向量，故A錯誤；與所在直線平行，所以是共線向量，故B錯誤；與所在直線既不共線也不平行，所以不是共線向量，故C正確；與所在直線共線，所以是共線向量，故D錯誤.故選：C.3.已知函數的最小正周期為，則為（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】由正切函數的周期性，可得答案.【詳解】由題意可得，解得.故選：A.4.半徑為2，圓心角為1弧度的扇形的面積是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根據扇形面積公式即可代入求解.【詳解】由扇形面積的計算公式可得,故選：B5.（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】第2頁/共14頁【分析】利用兩角差的正弦公式計算.【詳解】.故選：C.6.不等式的解集為（）A.或B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】求出對應方程的根，結合對應二次函數的開口方向即可求解.【詳解】由得或，因為的圖象開口向上，所以不等式的解集為.故選：B7.為了得到函數的圖象，只需把余弦曲線上所有的點（）A.橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變B.橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變C.縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變D.縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，利用三角函數圖象變換求解判斷.【詳解】把余弦曲線上所有的點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得的圖象，A正確，BCD錯誤.故選：A8.函數的定義域是（）A.且B.C.D.且【答案】A【解析】第3頁/共14頁【分析】根據函數有意義求解即可.【詳解】由，解得且，所以函數的定義域是且.故選：A.9.下列函數在其定義域內單調遞減的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據題意，結合正弦、余弦函數的性質，以及指數函數的性質，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數在定義域上不是單調函數，所以A不符合題意；對于B中，函數在定義域上不是單調函數，所以B不符合題意；對于C中，由指數函數的性質，可得在上是遞增函數，所以C不符合題意；對于D中，由指數函數的性質，可得在上是遞減函數，所以D符合題意.故選：D.10.數據的方差是5，則數據的方差是（）A.9B.10C.19D.20【答案】D【解析】【分析】利用方差的性質求解即可．【詳解】因為數據的方差是5，所以數據的方差是.故選：D.第4頁/共14頁若與互為相反數，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用對數的運算公式即可得解.【詳解】由題意可知，則，.故選：C12.若直線l是與平面相交的一條斜線，則在平面內與l垂直的直線（）A.有且只有一條B.有無數條C.有且只有兩條D.不存在【答案】B【解析】【分析】依題意畫出圖形，即可判斷.【詳解】如圖設斜線l與平面交于點A，在平面內過點A作直線，則在平面內所有與直線a平行的直線均與直線l垂直，故在平面內與l垂直的直線有無數條.故選：B13.樹人中學七年級有500人?八年級有600人?九年級400人，為了解該校“雙減”政策落實情況?按年級進第5頁/共14頁行分層，用分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽取一個容量為150的樣本.則八年級應抽取的人數為（）A.30B.40C.50D.60【答案】D【解析】【分析】根據分層抽樣的定義求出抽樣比，按此比例求出八年級的人數即可.【詳解】依題意，抽樣比為，故八年級應抽取的人數為人.故選：D14.已知，則a，b，c的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式求，結合指數函數和對數函數的單調性即可比較大小.【詳解】因，所以.故選：B15.在長方體中，下列直線位置關系判斷正確的是（）A.直線AB與AC異面B.直線AC與相交C.直線與AC異面D.直線與相交【答案】C【解析】【分析】利用長方體中的線線位置關系，可逐一判斷各選項.第6頁/共14頁【詳解】如圖，連接，對于A，因，故直線AB與AC相交，不異面，故A錯誤；對于B，因，，故得，則有，故直線AC與不可能相交，故B錯誤；對于C，因平面，平面，平面，故直線與AC異面，即C正確；對于D，因，，故得，則，而與相交，故直線與異面，故D錯誤故選：C.16.A正常工作的概率為0.6B正常工作的概率為0.7AB元件工作狀態相互獨立．則整個電路正常工作的概率為（）A.0.42B.0.88C.0.7D.0.6【答案】B【解析】【分析】想要電路正常工作，只需中至少有一個正常工作即可，結合對立事件的概率可求解.【詳解】當都不能正常工作時，整個電路就不能正常工作，所以整個電路不能正常工作的概率為：，所以整個電路正常工作的概率為：.故選：B第7頁/共14頁17.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由平面向量垂直的坐標關系及充分、必要條件的概念判斷即可.【詳解】由，可得，當時，，可以推出，當時，，不能推出，故充分性不成立；由，可得，解得，可以推出，故必要性成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.18.穩定的情況下，筒車的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動．現將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4從點處開始運動，與水平面的所成角為2分鐘恰好轉動1圈，則盛水筒距離水面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的函數關系式是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】有題意設，根據最高、最低高度，周期和初始高度，可得結果.第8頁/共14頁【詳解】設距離水面的高度H與時間t的函數關系式為，周期為120s，，最高點的縱坐標為，最低點的縱坐標為，所以，當t=0時，H=0，，所以.故選：A.二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共分，19.已知復數為純虛數，則______．【答案】1【解析】【分析】利用純虛數的定義求出，再求出復數的模.【詳解】由復數為純虛數，得，，所以.故答案為：120.函數的圖象恒過定點__________.【答案】【解析】【分析】根據分析求解即可.【詳解】令，解得，此時，所以函數的圖象恒過定點.故答案為：.21.在中，內角A，B，C的對邊分別為，則______第9頁/共14頁【答案】【解析】【分析】由正弦定理即可求解.【詳解】由，可得：，得，故答案為：22.如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，樣本數據共分3組，分別為．估計該樣本數據的第60百分位數是______．【答案】14【解析】【分析】根據百分位數的定義計算即可.【詳解】由題圖知，數據落在區間上的頻率為，數據落在區間上的頻率為，所以第百分位數是．故答案為：.三、解答題：本大題共3小題，共分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．23.在一個盒子中有除顏色外完全相同的311其顏色后放回，然后隨機取出1個球．（1）請用適當的符號表示試驗的可能結果，寫出試驗的樣本空間；（2）求“第一次取出的是紅球”的概率；（3）求“第一次取出的是紅球且兩次取出的球顏色不同”的概率．第10頁/共14頁【答案】（1）答案見解析（2）（3）【解析】1）根據題意寫出樣本空間即可；（2）寫出事件A包含的基本事件，利用古典概型求解；（3）寫出事件B包含的基本事件，利用古典概型求解.【小問1詳解】樣本空間Ω【小問2詳解】設“第一次取出的是紅球”為事件A．事件A3個，由（1）知基本事件總數，所以．【小問3詳解】設“第一次取出的是紅球且兩次取出的球顏色不同”為事件B．事件B2個，由（1）知基本事件總數，所以.24.如圖，在正四棱錐中，是正方形ABCD的中心，E是PC的中點，直線PB與平面ABCD所成的角為．（1）求證：平面PAD；第11頁/共14頁（2）求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）證明，再利用線面平行的判定定理即可；（2長度求出正四棱錐的高公式即可.【小問1詳解】連接AC，因為O是正方形ABCD的中心，所以O是AC的中點．又因為E是PC的中點，所以是的中位線，則，因為平面平面，所以平面.【小問2詳解】在正四棱錐中，平面.因為直線PB與平面ABCD所成的角為，則直線PB與平面ABCD所成的角，在正方形ABCD中，，則，在中，，所以，又正四棱錐的底面積，則正四棱錐的體積．第12頁/共14頁25.已知函數．（1）求m的值；（2）用定義法證明：函數在上減函數；（3）若在上有兩個不同的實根，求實數a的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】1）將代入函數解析式中即可求得的值；（2）任取，利用作差法證明即可；（3）分析函數在上的單調性和最值，發現當時，單調遞減；當時，單調遞增，計算的值，由此可得函數在上的圖象，進而得到實數a的取值范圍