選擇性必修第三冊第七章7.5正態分布專題應用一、知識構建知識點一正態曲線與正態分布1．我們稱f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數，為正態密度函數，稱其圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．2．若隨機變量X的概率密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態分布．3．若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區域A的面積，而P(a≤X≤b)為區域B的面積．知識點二正態曲線的特點1．對?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．2．曲線與x軸之間的面積為1.3．曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱．4．曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．6．當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.7．當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ較小時曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；σ較大時，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖②.知識點三正態總體在三個特殊區間內取值的概率值及3σ原則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.盡管正態變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區間[μ－3σ，μ＋3σ]內，而在此區間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生．在實際應用中，通常認為服從于正態分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統計學中稱為3σ原則．二、類型歸納類型一正態函數圖像及性質的理解類型二標準正態分布應用類型三指定和特定區間概率類型四根據正態曲線的對稱性求參數類型五3σ原則的應用類型六正態分布的實際應用三、類型應用【例1】（2324高二下·山東聊城·期末）設隨機變量，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】正態曲線的性質、特殊區間的概率【分析】由密度曲線結合正態分布性質求解即可.【詳解】的密度曲線的對稱軸在的密度曲線的對稱軸的左邊，即.的密度曲線較為分散，的密度曲線較為集中，即，故AB錯誤；因為，所以C錯誤；因為，所以D正確；故選：D【變式訓練1】(2324高二下·江蘇常州金壇區·期中)如圖是三個正態分布，，的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應曲線的序號分別依次為（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【答案】A【來源】江蘇省常州市金壇區20212022學年高二下學期期中數學試題【分析】先利用正態分布求出三個變量的標準差，再利用當較小時，峰值高，正態曲線“瘦高”進行判定.【詳解】由題意，得，，，因為當較小時，峰值高，正態曲線“瘦高”，且，所以三個隨機變量X，Y，Z對應曲線的序號分別依次為①，②，③.故選：A.【例2】（多選題）（2024·江蘇宿遷·一模）設隨機變量，其中，下列說法正確的是（

）A．變量的方差為1，均值為0 B．C．函數在上是單調增函數 D．【答案】ACD【知識點】標準正態分布的應用【分析】由正態分布的表示可判斷A；由正態曲線及可判斷B，根據正態曲線的性質可判斷C，根據正態曲線的對稱性可判斷D.【詳解】隨機變量，則A正確；，則B錯誤；隨機變量，結合正態曲線易得函數在上是單調增函數，則C正確；正態分布的曲線關于對稱，，則D正確，故選：ACD．【變式訓練21】（2324高二下·江蘇淮安·期末）隨機變量，，若，則.【答案】/【知識點】標準正態分布的應用、指定區間的概率【分析】分析可知，結合正態分布的對稱性運算求解.【詳解】因為，可知，若，可得，所以.故答案為：.【變式訓練22】（2223高二下·山東青島·期中）隨機變量X服從正態分布，當，時，稱隨機變量X服從標準正態分布.現已知隨機變量Y服從正態分布.若隨機變量（a，b為正實數）服從標準正態分布，則.【答案】/【知識點】標準正態分布的應用【分析】由標準正態分布的定義結合期望和方差的性質計算即可.【詳解】隨機變量Y服從正態分布，所以，因為隨機變量（a，b為正實數）服從標準正態分布，所以，所以，.即，解得，則.故答案為：.【變式訓練23】（多選）（2223高二上·河南南陽·階段練習）已知某批零件的長度誤差服從正態分布，其密度函數的曲線如圖所示，若從中隨機取一件，則下列結論正確的是（

）．（附：若隨機變量服從正態分布，則，，．A．B．長度誤差落在內的概率為0.6826C．長度誤差落在內的概率為0.1359D．長度誤差落在內的概率為0.1599【答案】ABC【知識點】正態密度函數、正態曲線的性質、標準正態分布的應用、特殊區間的概率【分析】根據正態分布的性質，結合圖像、題中所給公式逐一判斷即可．【詳解】由圖中密度函數解析式，可得，A選項正確；又由圖像可知，則長度誤差落在內的概率為，B選項正確；長度誤差落在內的概率為，C選項正確；長度誤差落在內的概率為，D選項錯誤；故選：ABC.【變式訓練24】（2324高二上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖分別是甲?乙?丙三種品牌手表日走時誤差分布的正態分布密度曲線，則下列說法不正確的是（

）A．三種品牌的手表日走時誤差的均值相等B．C．三種品牌的手表日走時誤差的方差從小到大依次為甲?乙?丙D．三種品牌手表中甲品牌的質量最好【答案】B【知識點】概率分布曲線的認識、標準正態分布的應用【分析】根據三種品牌手表誤差的正態分布曲線的圖象，結合正態分布曲線的性質，逐項判定，即可求解.【詳解】根據正態分布曲線的性質和圖象可得，三種品牌的手表日走時的誤差對應的正態分布曲線的對稱軸都是軸，所以三種品牌的手表日走時誤差的均值相等，所以A正確；乙品牌對應點的正態分布曲線在區間之間與圍成的面積與丙品牌對應點的正態分布曲線在區間之間與圍成的面積相等，所以B不正確；由正態分布曲線的形狀，可得，所以三種品牌的手表日走時誤差的方差從小到大依次為甲?乙?丙，所以C正確；由，可得甲種品牌手表的最穩定，質量最好，所以D正確.故選：B.【例3】（2425高二上·江西九江·期末）已知隨機變量，，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【知識點】正態曲線的性質、指定區間的概率【分析】掌握正態分布中的含義，結合正態曲線的對稱性求解即可.【詳解】對于選項A，由正態曲線的對稱性知，故A正確；對于選項B，因為，所以，故B錯誤；對于選項C，因為，故C錯誤；對于選項D，，故D正確．故選：AD.【變式訓練31】（2425高二上·江西·期末）已知隨機變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】正態曲線的性質、指定區間的概率【分析】根據正態分布的性質直接求解即可.【詳解】由，得，故．故選：B【變式訓練32】（2324高二下·山東濱州·期末）若隨機變量，且，則（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【知識點】特殊區間的概率【分析】由對稱性先得出，進而得出.【詳解】因為，所以，所以.故選：D【變式訓練33】（2324高二下·福建福州·期末）已知隨機變量，隨機變量，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】特殊區間的概率、根據正態曲線的對稱性求參數【分析】由結合對稱性得出，再由對稱性得出.【詳解】因為，所以，因為，所以，又，所以A正確；故選：A【變式訓練34】（2324高二下·河北·階段練習）已知，且，則.【答案】0.6/【知識點】指定區間的概率、根據正態曲線的對稱性求參數【分析】根據分析可知，結合正態分布密度曲線的對稱性運算求解即可.【詳解】因為，所以，則.因為，所以.故答案為：0.6.【變式訓練35】（多選）（2324高二上·廣西桂林·期末）某市對歷年來新生兒體重情況進行統計，發現新生兒體重，則下列結論正確的是（

）A．該正態分布的均值為 B．C． D．【答案】AB【知識點】概率分布曲線的認識、指定區間的概率【分析】根據可得出該正態分布的均值，可判斷A選項；利用正態密度曲線的性質可判斷BCD選項.【詳解】因為，對于A選項，該正態分布的均值為，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，由正態密度曲線的對稱性可知，，D錯.故選：AB.【例4】(2425·福建廈門·)已知隨機變量X服從正態分布，若，且，則（

）A．1 B． C．0 D．【答案】C【來源】福建省廈門市20242025學年高中畢業班第一次質量檢測數學試卷【分析】根據正態分布的對稱性，即可求得答案.【詳解】由題意知隨機變量X服從正態分布，，如圖所示，結合，得，可知關于對稱，所以，解得，故選：C．【變式訓練41】（2425高二上·河北滄州·階段練習）設隨機變量服從正態分布，若，則實數的值為（

）A．5 B．3 C． D．【答案】D【知識點】根據正態曲線的對稱性求參數【分析】根據正態分布的特征，可得，求解即可得出結果.【詳解】因為隨機變量服從正態分布，，所以根據正態分布的性質，可得，解得.故選：D.【變式訓練42】（2425高二下·全國·課前預習）隨機變量服從正態分布，若，，則等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知識點】正態曲線的性質、根據正態曲線的對稱性求參數【分析】利用正態曲線的圖象對稱性由即可求得的值.【詳解】，，，即，.故選：B.【例5】（2425高二·全國·課堂例題）設，試求：(1)；(2)；(3)．參考數據：，【答案】(1)(2)(3)【知識點】3δ原則、指定區間的概率【分析】（1）由題意可得，則，從而可求得答案；（2）根據正態分布的對稱性可得，從而可求得答案；（3）根據正態分布的對稱性可得，從而可求得答案.【詳解】（1）．．（2），.（3），．【變式訓練51】(2425高二上·吉林“BEST合作體”·期末)某學校高二年級數學聯考成績，如果規定大于或等于105分為數學成績“良好”，那么在參加考試的學生中隨機選擇一名，他的數學成績為“良好”的概率是（

）（提示：若，則，，）=0.9973）A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135【答案】B【來源】吉林省“BEST合作體”20242025學年高二上學期1月期末考試數學試題【分析】根據正態分布的性質計算可得.【詳解】因為，所以，，所以.故選：B.【變式訓練52】（2324高二下·四川眉山·期末）某種生態魚在某個池塘一年的生長量X（單位：克）服從正態分布，則概率為（

）參考數據：①；②；③A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759【答案】B【知識點】3δ原則、指定區間的概率【分析】分析可知：，根據原則結合對稱性分析求解.【詳解】因為，則，，所以.故選：B.【變式訓練53】（2425高三上·湖南·階段練習）某校高二年級下學期期末考試數學試卷滿分為150分，90分以上（含90分）為及格．閱卷結果顯示，全年級1200名學生的數學成績近似服從正態分布，試卷的難度系數（難度系數平均分/滿分）為0.49，標準差為22，則該次數學考試及格的人數約為（

）附：若，記，則．A．136人 B．272人 C．328人 D．820人【答案】B【知識點】3δ原則、正態分布的實際應用【分析】首先求出平均數，即可得到學生的數學成績，再根據所給條件求出，即可求出，即可估計人數．【詳解】由題得，，，，該校及格人數為（人），故選：B．【變式訓練54】（2324高二下·河南信陽·期末）某校進行的“校園安全”知識競賽成績，若成績在90分以上為“優秀”，該校有4000人參加競賽，則獲得“優秀”的人數為.（附：，）【答案】91【知識點】3δ原則、指定區間的概率、正態分布的實際應用【分析】根據正態分布的對稱性得到，進而得到，求出答案.【詳解】依題意，，，，，.故答案為：91【例6】（2025·云南大理·模擬預測）某地區組織了一次高三全體學生的模擬考試，經統計發現，數學成績近似服從正態分布，已知數學成績高于115分的人數與低于75分的人數相同，那么估計本次考試的數學平均分為（

）A．85 B．90 C．95 D．100【答案】C【知識點】正態曲線的性質【分析】根據正態密度曲線的對稱性求解即可.【詳解】由正態密度曲線的對稱性，數學成績高于115分的人數與低于75分的人數相同，所以，故選：C【變式訓練61】（2425高二下·全國·課后作業）某地為了美化環境，購買了棵杉樹樹苗，已知杉樹樹苗的高度近似服從正態分布，則樹苗高度在以上（含）的約有棵．【答案】【知識點】特殊區間的概率、正態分布的實際應用【分析】根據原則可求得，由此可計算求得結果.【詳解】由題意知：，，，，樹苗高度在以上（含）的約有棵.故答案為：.【變式訓練62】（2425高二下·全國·課后作業）2023年3月3日，教育部于《教育系統關于新時代學習弘揚雷鋒精神深入開展學雷鋒活動的實施方案》中提出“教育系統要堅持將雷鋒精神深度融入學校教育教學和人才培養的全過程、各方面”．某校積極的參與到該方案實施中，組織全體師生（共1600人）進行了一次“雷鋒精神”相關的知識競賽，經統計，所有參賽者的成績X近似服從正態分布，估計成績不低于75分的參賽者人數為．【答案】1346【知識點】指定區間的概率、正態分布的實際應用【分析】根據求得，再求即可.【詳解】依題意可知，所以，所以，所以估計成績不低于75分的參賽者人數為．故答案為：1346【變式訓練63】（多選）（2425高二上·廣西桂林·期末）在某市某次質量檢測聯合考試中，考生有30000人，考生的數學成績服從正態分布.已知隨機變量，若與的方差相同，則下列結論正確的是（

）附：若隨機變量服從正態分布，則A．B．C．D．估計該市數學成績在區間的考生約645人【答案】ABD【知識點】二項分布的方差、指定區間的概率、正態分布的實際應用【分析】根據二項分布的知識求得方差，由此對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，服從正態分布，所以，A選項正確.隨機變量，所以，所以，B選項正確.，所以C選項錯誤.，估計該市數學成績在區間的考生約人，D選項正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：對于正態分布問題，要牢記正態分布的期望，方差，以及正態分布的對稱性和特殊區間的概率值.在已知正態分布的參數和后，可利用這些性質計算各種概率.對于二項分布，其方差，可根據此公式求出二項分布的方差，再結合與其他分布方差的關系解決相關問題.【變式訓練64】（2425高三上·云南保山·期中）某市共20000人參加一次物理測試，滿分100分，學生的抽測成績服從正態分布，則抽測成績在內的學生人數大約為（

）（若，則）A．6828 B．5436 C．4773 D．2718【答案】D【知識點】正態曲線的性質、正態分布的實際應用【分析】利用正態分布的對稱性即可求得抽測成績在內大約的學生人數.【詳解】學生的抽測成績服從正態分布，則，由于總人數為20000，則抽測成績在內的學生人數大約為，故選：D.【例7】（2425高二下·遼寧大連·階段練習）某汽車公司研發了一款新能源汽車，并在出廠前對輛汽車進行了單次最大續航里程的測試.現對測試數據進行整理，得到如下的頻率分布直方圖：(1)估計這輛汽車的單次最大續航里程的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；(2)由頻率分布直方圖計算得樣本標準差的近似值為，根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程近似的服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本標準差.（i）利用該正態分布，求；（ii）假設某企業從該汽車公司購買了輛該款新能源汽車，記表示這輛新能源汽車中單次最大續航里程的車輛數，求；參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【知識點】由頻率分布直方圖估計平均數、二項分布的均值、3δ原則【分析】（1）將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，再將所得結果全部相加，可得出的值；（2）（i）由題意可得出，，則，可得出，即可得解；（ii）分析可知，，利用二項分布的期望公式可求得的值.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得.（2）（i）由題意可得，，則，所以，；（ii）由題意可知，，故.【變式訓練7】（2425高三上·山東·階段練習）為進一步提升人才選拔的公正性，某省擬在三年內實現高考使用新高考全國Ⅰ卷，為測試學生對新高考試卷的適應性，特此舉辦了一次全省高三年級數學模擬考試（滿分150分），其中甲市有10000名學生參加考試．根據成績反饋，該省及各市本次模擬考試成績X都近似服從正態分布．(1)已知本次模擬考試甲市平均成績為97.5分，成績位于區間內的學生共有4772人．甲市學生A的成績為114分，試估計學生A在甲市的大致名次；(2)在參加該省本次模擬考試的學生中隨機抽取500人作為研究樣本，隨機變量Y為本次考試數學成績在之外的人數，求的概率及隨機變量Y的數學期望．附：參考數據：參考公式：若有，．【答案】(1)1587名(2)，【知識點】二項分布的均值、指定區間的概率、正態分布的實際應用【分析】（1）考試成績近似服從正態分布，根據概率公式計算出概率后可得名次；（2）求出事件：在樣本中抽取的學生在本次考試中數學成績在之外的概率，隨機變量服從二項分布，即，由公式計算出概率，再由二項分布的期望公式計算出期望．【詳解】（1）已知本次模擬考試成績近似服從正態分布，由題意可得，，,即，解得，甲市學生A在該次考試中成績為114分，且，又，即，，答：學生A在甲市本次考試的大致名次為1587名．（2）設事件：在樣本中抽取的學生在本次考試中數學成績在之外，由于成績在之內的概率為0，9974，，隨機變量服從二項分布，即，，的數學期望為.【例8】（2425高三下·重慶·階段練習）智利的車厘子在中國市場上非常受歡迎，尤其是在春節前后，成為果品市場的“銷售冠軍”.進口水果辦會對智利車厘子進行了分級，標準主要依據果實直徑進行劃分，通常分為以下幾個等級：0級；直徑在24mm到26mm之間；J級：直徑在26mm到28mm之間；JJ級：直徑在28mm到30mm之間；JJJ級：直徑在30mm到32mm之間；JJJJ級：直徑在32mm以上.某商貿公司根據長期檢測結果，發現每批次進口車厘子的直徑服從正態分布并把直徑不小于的車厘子稱為一等品，其余稱為二等品.現從某批次的車厘子中隨機抽取100顆（直徑位于24mm至34mm之間）作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據長期檢測結果，車厘子直徑的標準差，用標準差作為的估計值，用樣本平均數（按四舍五入取整數）作為的近似值.若從該批次中任取一顆，試估計該顆車厘子為一等品的概率（保留小數點后兩位數字）；（①同一組中的數據用該組區間的中點值代表；②參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，）(2)若從樣本中直徑在和的車厘子中隨機抽取3顆，記其中直徑在的個數為，求的分布列和數學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【知識點】由頻率分布直方圖估計平均數、寫出簡單離散型隨機變量分布列、求離散型隨機變量的均值、正態分布的實際應用【分析】（1）先利用頻率分布直方圖求出樣本平均數，再根據正態分布的性質求解即可；（2）根據頻率分布直方圖可知所取樣本個，直徑在的車厘子有個，得到的所有可能取值，根據古典概型的概率公式求分布列，再根據分布列和期望公式求期望即可.【詳解】（1）由題意，估計從該批次的車厘子中隨機抽取顆的平均數為：，即，，所以，則，所以從車厘子中任取一顆，該車厘子為一等品的概率約為.（2）由頻率分布直方圖可知，所以所取樣本個，直徑在的車厘子有個，故可能取的值為，相應的概率為：，，，，隨機變量的分布列為：0123P所以的數學期望.【變式訓練81】某企業對某品牌芯片開發了一條生產線進行試產．其芯片質量按等級劃分為五個層級，分別對應如下五組質量指標值：、、、、．根據長期檢測結果，發現芯片的質量指標值服從正態分布，現從該品牌芯片的生產線中隨機抽取件作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據檢測結果，樣本中芯片質量指標值的標準差的近似值為，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，可得到X服從的正態分布．求和的值；(2)從樣本中質量指標值在和的芯片中隨機抽取件，記其中質量指標值在的芯片件數為，求的分布列和數學期望；(3)將指標值不低于的芯片稱為等品．通過對芯片長期檢測發現，在生產線任意抽取一件芯片，它為等品的概率為，用第（1）問結果試