教學(xué)設(shè)計(jì)題目雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第1課時(shí)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單應(yīng)用內(nèi)容解析課程標(biāo)準(zhǔn)對本節(jié)內(nèi)容的要求是：了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程。通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。雙曲線與科研、生產(chǎn)以及人類生活有著密切的關(guān)系，因此，研究它的幾何特征及其性質(zhì)有著極其現(xiàn)實(shí)的意義。學(xué)生初步認(rèn)識(shí)圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學(xué)習(xí)是對其研究內(nèi)容的進(jìn)一步鞏固、深化和提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學(xué)習(xí)就會(huì)順理成章。所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，橫向?yàn)殡p曲線的簡單性質(zhì)以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)拋物線，解決更復(fù)雜的解析幾何綜合問題奠定良好的基礎(chǔ)。二、學(xué)情分析從知識(shí)方面來說，學(xué)生從必修“平面解析幾何初步”到選修“圓錐曲線”，已經(jīng)學(xué)習(xí)直線、圓和橢圓，較為系統(tǒng)地研究了他們的性質(zhì)，對解析幾何的基本思想方法有了一定的認(rèn)識(shí)，基本掌握了求曲線方程的一般方法，能對含有兩個(gè)根式的方程進(jìn)行化簡，并對數(shù)形結(jié)合、類比推理的思想方法有一定的體會(huì)。從能力方面來說，作為高二年級(jí)的學(xué)生，其學(xué)習(xí)能力與理性思維都達(dá)到了一定的水平.具備一定的計(jì)算、推理、知識(shí)遷移、歸納概括和分析問題、解決問題的能力等能力，并對數(shù)形結(jié)合、類比等思想方法有了一定的感悟。三、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)1、理解和掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程；2、通過定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用，提高學(xué)生的觀察與探究能力。目標(biāo)解析能從幾何情景中認(rèn)識(shí)雙曲線的幾何特征，說出雙曲線的定義。類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（教師給出），并能用于解決簡單的問題，發(fā)現(xiàn)與橢圓方程的不同之處。教學(xué)重點(diǎn)雙曲線的幾何特征，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn)雙曲線的形成四、教學(xué)方法分析著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。”雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓很類似，學(xué)生已經(jīng)有了一些學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗(yàn)，所以本節(jié)課采用了“啟發(fā)探究”、“類比教學(xué)”的教學(xué)方式，重點(diǎn)突出以下兩點(diǎn)：1、以類比思維作為教學(xué)的主線2、以自主探究作為學(xué)生的學(xué)習(xí)方式授之以“魚”不如授之以“漁”，教師只是課堂教學(xué)的引導(dǎo)者、啟發(fā)者，在新課程改革理念的指導(dǎo)下，要注重突出學(xué)生的主體作用。因此，在學(xué)習(xí)方法的制定上，將充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的作用，通過學(xué)生主動(dòng)探索、動(dòng)手實(shí)踐調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，形成理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q問題的態(tài)度。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教師活動(dòng)與任務(wù)設(shè)計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)與任務(wù)解決設(shè)計(jì)意圖或評(píng)價(jià)目標(biāo)環(huán)節(jié)一任務(wù)1：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題引導(dǎo)語：從本章引言的學(xué)習(xí)中知道雙曲線是圓錐曲線的一種，而且具有廣泛的應(yīng)用，如發(fā)電廠冷卻塔、廣州塔等的外形，本單元我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關(guān)問題。問題1：我們知道，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2的距離之和等于常數(shù)（大于F1和F2的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓，一個(gè)自然問題是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？通過橢圓的定義著手，從數(shù)學(xué)運(yùn)算角度出發(fā)，提出“差為常數(shù)”動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。環(huán)節(jié)二任務(wù)2：觀察發(fā)現(xiàn)，形成定義問題2：在直線上取兩個(gè)定點(diǎn)A、B，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)。在平面內(nèi)，取定點(diǎn)F1、F2，以點(diǎn)F1為圓心線段PA為半徑作圓，再以點(diǎn)F2為圓心線段PB為半徑作圓。P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，兩圓交點(diǎn)如何變化的？師生活動(dòng)：教師演示，學(xué)生觀察到：當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果|F1F2|＜|AB|，那么兩圓相交，其交點(diǎn)的軌跡是橢圓（如下圖)：如果|F1F2|＞|AB|，兩圓不相交，不存在交點(diǎn)軌跡（如下圖)：追問1：如果點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)，兩圓交點(diǎn)又如何變化？師生活動(dòng)：教師演示，學(xué)生觀察到：當(dāng)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果|F1F2|＜|AB|，那么兩圓不相交，不存在軌跡（如下圖)：如果||F1F2|＞|AB|，兩圓相交，交點(diǎn)軌跡不同于橢圓的曲線，它是不封閉且分為左右兩支（如下圖)：追問2：這時(shí)MF1，MF2滿足什么關(guān)系？師生活動(dòng)：教師演示動(dòng)畫，學(xué)生觀察到數(shù)值變化：在|F1F2|＞|AB|條件下，點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M靠近點(diǎn)F1時(shí)，|MF2||MF1|=|AB|；當(dāng)點(diǎn)M靠近點(diǎn)F2時(shí)，|MF1||MF2|=|AB|。由三角形三邊關(guān)系能得到|AB|≤|F1F2|，總之，點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2距離的差的絕對值|AB|是一個(gè)常數(shù)且|AB|≤|F1F2|。追問3：滿足上述幾何特征的曲線叫雙曲線，請閱讀教科書119頁雙曲線定義，其中有哪些關(guān)鍵詞？若刪掉這些關(guān)鍵詞，曲線會(huì)發(fā)現(xiàn)怎樣的變化？師生活動(dòng)：學(xué)生思考，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究運(yùn)動(dòng)變化的特殊情況。(1）若刪掉“非零常數(shù)”，那么|MF1||MF2|=0，點(diǎn)M軌跡為線段F1F2的垂直平分線；(2）若刪掉"小于|F1F2|"，兩圓沒有交點(diǎn)，不存在軌跡或?yàn)閮蓷l射線；(3）若刪掉“絕對值”，得到是雙曲線的一支。追問4：總結(jié)上述探究過程，獲得了哪些曲線，系統(tǒng)分析它們對應(yīng)的幾何特征？師生活動(dòng)：教師給出表格，學(xué)生獨(dú)立思考，并完成。問題2中將橢圓與雙曲線統(tǒng)一起來，借助信息技術(shù)動(dòng)態(tài)演示圖象的變化情況，讓學(xué)生先用“幾何眼光”觀察，直觀感知，從幾何情境中把握雙曲線的幾何特征，通過系列的追問，引導(dǎo)學(xué)生能夠辨別不同軌跡的生成條件是不同的。追問1認(rèn)識(shí)到雙曲線是當(dāng)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)，且|F1F2|＞|AB|。追問2認(rèn)識(shí)到|MF1||MF2|=|AB|距離之差是不變量。追問3通過提取關(guān)鍵詞，思考關(guān)鍵詞，構(gòu)建運(yùn)動(dòng)變化的圖象，辨析概念。追問4促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)整理不同幾何情境下的軌跡分別是什么，讓學(xué)生經(jīng)歷從不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)絿?yán)謹(jǐn)?shù)倪^程，再次體驗(yàn)精確定義一個(gè)數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。環(huán)節(jié)三任務(wù)3：代數(shù)運(yùn)算，建立方程問題3：回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的探究過程，能否類比推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生思考。追問1：如何建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？動(dòng)點(diǎn)M的軌跡用集合如何表示？師生活動(dòng)：學(xué)生回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行遷移，類比求出雙曲線的方程。教師總結(jié)：取經(jīng)過兩焦點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M(x,y）是雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為2c(c＞0)，則焦點(diǎn)F1,F2的坐標(biāo)分別是（c,0),(c,0)，又設(shè)||MF1||MF2||=2a(a為大于0的常數(shù)，a<c)，由雙曲線的定義，雙曲線就是下列點(diǎn)的集合：P={M|||MF1||MF2||=2a,0<2a≤|F1F2|}類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡過程，需先去絕對值，移項(xiàng)、平方，整理得由雙曲線的定義知：2c>2a，即c>a，所以c2a2>0,類比橢圓的建立過程，令b2=c2a2，其中b>0代入上式，得追問2：類比焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成。焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是焦點(diǎn)的坐標(biāo)是F1(0,c),F2(0,c),a,b,c滿足的關(guān)系式是c2=a2+b2。追問3：如何通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)的位置？與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生先觀察標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征，然后獲得方法：若x2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸；若y2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸。橢圓方程與雙曲線方程形式上相似，方程中間加減區(qū)別、c2、a2、b2之間關(guān)系不同等。類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程方法的過程，在前面用“幾何眼光”直觀感知后，用“代數(shù)方法”進(jìn)行論證，即坐標(biāo)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在這樣的過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法。通過比較理解橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的差異，培養(yǎng)學(xué)生批判性思維品質(zhì)。環(huán)節(jié)四任務(wù)4：例題練習(xí)，鞏固解例1：已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)P與F1,F2的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，之后展示點(diǎn)評(píng)。問題4：采用什么方法求方程？師生活動(dòng)學(xué)生選擇定義法完成。例2已知A,B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程。問題5：對比定義，在實(shí)際問題中找到相關(guān)的幾何特征？對應(yīng)的曲線是什么？師生活動(dòng)學(xué)生仔細(xì)讀題，對比定義，找到兩個(gè)定點(diǎn)A,B，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即爆炸所在地點(diǎn)P，并且|AP||BP|=680．從而確定炮彈爆炸點(diǎn)軌跡的形狀是雙曲線的一支（靠近點(diǎn)B)，然后建立平面直角坐標(biāo)系求解。追問1：如何在方程中表示曲線為雙曲線的右支？師生活動(dòng)教師提出，學(xué)生作答，“右支，x>0,x>100”都可以，為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的精確性，可采用x≥340，應(yīng)特別注意x>340不正確。讓學(xué)生熟悉雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握確定雙曲線的幾個(gè)特征，并會(huì)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練應(yīng)用參數(shù)關(guān)系c2=a2+b2解決相關(guān)問題。體會(huì)雙曲線在實(shí)際問題中的應(yīng)用，進(jìn)一步熟悉雙曲線的定義，尤其應(yīng)注意是否為一支情形，引導(dǎo)養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)分析概念的習(xí)慣，把握實(shí)際問題解決的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。環(huán)節(jié)五任務(wù)5：小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)