高級中學名校試題PAGEPAGE1北京市西城區2025屆高三下學期4月統一測試數學試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，那么集合（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，，所以，.故選：A.2.下列函數中，圖像關于軸對稱的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A選項，由二次函數圖像及性質可知，對稱軸為，A選項錯誤；B選項，由指數函數圖像及性質可知，函數沒有對稱軸，B選項錯誤；C選項，因為，所以函數為偶函數，圖像關于軸對稱，C選項正確；D選項，函數定義域為，不是偶函數，D選項錯誤.故選：C.3.在的展開式中，的系數等于（）A.6 B.12C.18 D.24【答案】D【解析】由題設，二項式展開式通項為，，令，則，即的系數等于24.故選：D4.在長方形中，為的中點，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，則，如下圖所示：因為，，，所以，，所以，，故，因此，.故選：B.5.在平面直角坐標系中，若從點發出的光線經過點，且被軸反射后將圓平分，則實數（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如下圖所示：點關于軸的對稱點為，由對稱性可知，點、、圓心三點共線，則，即，解得.故選：A.6.設直線平面，平面平面直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】已知直線平面，平面平面直線，若，由平面，則；若，此時得不到，直線可能與平面相交，如下圖：所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知函數．若，則（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】因為，則該函數的最小正周期為，由可得，所以，函數的對稱軸方程為，因為，則或，故選：B.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，若雙曲線上存在點，使得，則此雙曲線的離心率的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】故選C.9.蜂巢的精密結構是通過優勝劣汰的進化自然形成的．若不計蜂巢壁的厚度，蜂巢的橫截面可以看成正六邊形網格圖，如圖所示．設為圖中7個正六邊形（邊長為4）的某一個頂點，為兩個固定頂點，則的最大值為（）A.44 B.48C.72 D.76【答案】B【解析】設點，正六邊形的邊長為4，所以，所以，所以，設點到原點的距離為，則的最大值為，由圖可知，離原點距離最遠的正六邊形頂點為最外圍的頂點，如圖，可取，所以，即的最大值為48.故選：.10.設等比數列的前項和為，前項的乘積為．若，則（）A.無最小值，無最大值 B.有最小值，無最大值C.無最小值，有最大值 D.有最小值，有最大值【答案】D【解析】由已知，是等比數列，，即，可得，若，則，可計算當時，，結合，可得即為的最小值，同理，當，，當，，可知的最小值為，綜上可得，有最小值.由可得，，根據等比數列的性質，，必有滿足對于所有，，因為一定是正負交替出現，可得一定存在最大值.綜上，對于滿足已知條件的等比數列，滿足有最小值，有最大值.故選：D二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設為虛數單位，則________．【答案】【解析】.故答案為：.12.設拋物線的焦點為，準線為，則拋物線上一點到的距離為________．【答案】3【解析】由題可得，所以，所以準線，所以上一點到的距離為，故答案為：3.13.設平面向量，，，且，則使得向量與共線的一組值________，________．【答案】①.（答案不唯一，填也對）②.（答案不唯一，第一空填，則第二空填，第一空填，則第二空填）【解析】因為，，所以，即，因為，，所以，又向量與共線，，所以，所以，所以，所以或，所以或，故答案：；（答；也對）14.端午節又名端陽節、粽子節等，它是中國首個入選世界非遺的節日．從形狀來分，端午節吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形狀可以近似看成一個四面體，如圖所示．設棱的長為，其余的棱長均為，則該四角粽的表面積為________，內含食物的體積為________．（粽葉的厚度忽略不計）【答案】①.②.【解析】,所以為銳角，所以，該四角粽的表面積取中點為，連接，則,所以,即，且，平面，所以平面，內含食物的體積為.故答案為：；.15.記表示不超過實數最大整數．設函數，有以下四個結論：①函數為單調函數；②對于任意的，或；③集合（為常數）中有且僅有一個元素；④滿足的點構成的區域的面積為8．其中，所有正確結論的序號是________．【答案】①②④【解析】，且，則，則，即，則在上單調遞增，故①正確；當，時，，故當時，，有，，此時，當時，，，，此時，故②正確；當時，，當時，，結合在上單調遞增可知，當時，方程無解，故集合為空集，故③錯誤；設，，其中，，則，因，則，則，在每個單位正方形內，的值從到，但不包括，因此在的區域內的每個單位正方形內，的點構成的區域面積為1，由于的區域內的單位正方形有個，因此滿足的點構成的區域面積為圖中的面積8.故答案為：①②④三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在多面體中，平面，平面平面，，于點．（1）求證：；（2）設，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，（2）解：在平面內過點作．因為平面，所以平面，因平面，平面，所以，，因平面，平面，則平面平面，又因為，平面平面，則平面，所以，，兩兩互相垂直．以為原點，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，由題意，得，設平面的法向量為，則，即，令，則，，于是，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．17.在中，．（1）求的值；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求邊上的高．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）由正弦定理，且，得，即．由，得．所以．由，得，所以．（2）選擇條件①：因為，且余弦函數在上單調遞減，故，又因為，從而可得，與三角形的內角和定理矛盾，故①不成立.選擇條件②：由，且，得．由余弦定理，得，解得或（舍）．設邊上高為，則三角形面積，所以．選擇條件③：由，且，得．由，且，得．所以．由正弦定理，得，所以邊上的高．18.發展純電動、插電式混合動力等新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強國的必由之路．為調查研究，某地統計了轄區內從年至年這年的新能源汽車和純電動汽車的銷量，得到如下折線圖（單位：百輛）：在每一年中，記該年純電動汽車銷量占該年新能源汽車銷量的比重為．（1）從年至年這年中隨機抽取年，求該年值超過的概率；（2）現從年至年這年中依次隨機抽取，每次抽取個年份，若該年的值超過，則停止抽取，否則繼續從剩余的年份中抽取，直至抽到值超過的年份．記抽取的次數為，求的分布列和數學期望；（3）記年至年這年新能源汽車銷量數據的方差為，且這年純電動汽車銷量數據的方差為，寫出與的大小關系．（結論不要求證明）解：（1）設從年至年這年中隨機抽取1年，且該年的值超過為事件，由圖表知，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，所以在年至年這年中，有且僅有年至年這年的值超過，所以．（2）由圖表知，在年至年這年中，值超過的有年，所以隨機變量的所有可能取值為，，．則，，．所以的分布列為：故的數學期望．（3）從年至年這年新能源汽車銷量數據的平均數為，所以從年至年這年新能源汽車銷量數據的方差所以從年至年這年純電動汽車銷量數據的平均數為，從年至年這年純電動汽車銷量數據的方差所以，所以.19.已知橢圓離心率為，為橢圓上一點，且點到橢圓的兩個焦點的距離之和等于．（1）求橢圓的方程；（2）若關于原點的對稱點為，過點與垂直的直線與橢圓的另一個交點為，軸于點，直線與軸交于點．用與分別表示與的面積，證明：．（1）解：由題意，得解得，，所以橢圓的方程為．（2）證明：由題意，設點，則點，．設直線的方程為，．由得．所以，，，故，．又因為，所以，去分母化簡得到，所以或．當時，直線過原點，不符合題意．當時，直線的方程為，則點坐標為，所以，．故.20.已知函數，其中．（1）若曲線在點處的切線的斜率為2，求的值；（2）求函數的單調區間；（3）設函數在區間上的最大值和最小值分別為，，求使得不等式成立的的最小值．解：（1）由，則，則，解得．（2）由，則，當時，，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，令，得，若，由，得；由，得，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為；若，由，得；由，得，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．綜上，當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（3）由（2）知，當時，函數在區間單調遞增，當時，，當且僅當，即時等號成立，則函數在上單調遞增；當時，，當且僅當，即時等號成立，則函數在上單調遞增.綜上所述，函數在上單調遞增，所以．由，得，令，則，由，得或．當變化時，與的變化情況如下表：1+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在和上單調遞增，在上單調遞減．又因為，，且，所以當時，；當時，．即當且僅當時，恒成立，所以使得成立的的最小值為2．21.如圖，設是由個實數組成的行列的數表，其中表示位于第行第列的實數，且滿足與均是公差不為的等差數列．…………若根據條件，能求出數表中所有的數，則稱能被確定．（1）已知，分別根據下列條件，直接判斷數表能否被其確定：條件“已知”；條件“已知”．（2）設條件“任意給定數表中的個數”，能被確定，證明：的最小值為；（3）設條件“已知集合或其中中的任意個元素”，求的最小值，使得能被確定．（1）解：數表不能被確定；數表能被確定．對于條件，假設數表中每行、每列的公差都相等，均為，則，，，則，、均無法確定，故數表不能被確定；對于條件，因為、確定，可以根據確定，則第二行可以全部確定，低于第二列，由于確定，結合可確定第二列的公差，進而可求出，則第二列可以全部確定，對于第三行，由于確定了，結合可求出第三行的公差，由此可確定，則第三行可以全部確定，對于第一列，由于確定了、，可以求出第一列的公差，由此可確定，則第一列可以全部確定，綜上所述，數表可由條件確定.（2）證明：對于一個公差為的等差數列，若知其中兩項與，便可根據，求出該等差數列中的每一項．故對于數表中的任意一行（或列），若知道其中的兩個數，便可利用條件得到該行（或列）中的所有數．一方面，若知這個數，則無法求出，故不能得出數表中所有的數，所以．另一方面，若知數表中的任意個數，則必存在表中的兩行，且這兩行中至少有兩個數已知，于是數表中這兩行的數都能被求出，即數表中每一列都至少有兩個數已知，所以數表中所有的數都能求出，即能被確定．綜上，的最小值為．（3）解：當時，若知中的個數，則不能求出中所有的數．當時，已知與中的任意個數，則必存在