第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年安徽省宿州市省、市示范高中皖北高一下學期期中考試教學質量檢測數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z=2i1?i，其中i為虛數(shù)單位，則|z|=(

)A.1 B.2 C.22 2.已知A，B，C，D是平面內不共線的四點，則“AB=DC”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，A′D′=2，B′C′=A′B′=1，則平面圖形ABCD中對角線AC的長度為(

)

A.3 B.5 C.24.已知平面向量a=(2,0)，b=(?3,3)，則向量a+A.π6 B.5π6 C.π35.已知圓錐的表面積為3π，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的母線長為(

)A.1 B.2 C.3 D.6.記△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=3，c=7，C=2π3，則△ABC的面積為(

)A.1534 B.15327.在正六邊形ABCDEF中，點G是線段CD上靠近點C的三等分點，則GA=(

)A.103BA?23CE B.88.在平面四邊形ABCD中，已知AC=3AB=23，∠BAC=π2，A.?23 B.?3 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復數(shù)z滿足z+z=4，z?z=?2i，其中i是虛數(shù)單位，z表示zA.z的虛部為?i

B.z在復平面內對應的點位于第一象限

C.z1?2i是純虛數(shù)

D.若z是關于x的實系數(shù)方程2x10.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長方體，正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是半正多面體.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面所圍成的多面體，這體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖，將棱長為1的正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此一共可截去八個三棱錐，得到一個半正多面體，它們的棱長都相等，則下列說法正確的有(

)

A.該半正多面體有12個頂點 B.該半正多面體有12個面

C.該半正多面體表面積為3 D.該半正多面體體積為511.記△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知c2=a2A.△ABC一定是鈍角三角形 B.3tanA=tanC

C.角B的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量a與b互相垂直，且a=(2,0)，|b|=1，則b的坐標為

13.已知一個正四棱臺的兩底面邊長分別為1和2，高為3，則該正四棱臺的體積為

．14.如圖，點A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，∠APB=π3，則圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知平面向量a與b不共線，且OA=2a?b，OB(1)若OA//OC，求λ(2)若λ=?3，證明：A，B，C三點共線．16.(本小題15分)已知a與b是平面內的兩個向量，|a|=2，|b|=1，(1)求a(2)求|(3)在平面直角坐標系下，若b=(1,0)，求a在b方向上的投影向量的坐標．17.(本小題15分)如圖所示，某海域的東西方向上分別有A、B兩個觀測點，它們相距30+103海里.現(xiàn)有一艘輪船在D點發(fā)出求救信號，經(jīng)探測，得知D點位于A點北偏東45°，B點北偏西60°方向，這時，位于B點南偏西60°且與B點相距40(1)求B點到D點的距離BD;(2)若命令C處的救援船立即前往D點營救，求該救援船到達D點需要的時間．18.(本小題17分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知asin(1)求角A的大小;(2)若b=3，△ABC的面積為33，求△ABC(3)若△ABC為銳角三角形，求2cosB+19.(本小題17分)如圖，已知圓C的半徑為3，A，B為圓C上的兩點．(1)若cos∠CAB=13，當實數(shù)k為何值時，AC+2(2)若G為△ABC的重心，直線l過點G交邊AB于點P，交邊AC于點Q，且AP=λAB，AQ=μAC(3)若|AC+tAB|關于t(t∈R)的最小值為1，求參考答案1.D

2.C

3.B

4.D

5.B

6.A

7.D

8.C

9.BCD

10.AD

11.ACD

12.(0,±1)

13.7

14.4π+615.(1)解：若OA//OC，則2a?b=t(a+λb)，t∈R，

所以2=t?1=tλ，解得λ=?12．

(2)證明：若λ=?3，則OC=a?3b，

所以AC=OC?OA=(a?316.解：(1)a?b=|a||b|cos<a，b>=2×1×cosπ4=1；

(2)由(1)得a?b=1

則17.解：(1)由題意知AB=30+10∠DBA=90∴∠ADB=180在△DAB中，由正弦定理得DBsin，=10(3+3(2)在△DBC中，∠DBC=∠DBA+∠ABC=30BC=403(海里)，=1200+4800?2×20∴CD=60(海里)，則需要的時間t=6030=2(答：救援船到達D點需要2小時．

18.【詳解】(1)∵asinB=bsin2A，

∴sin∵A,B∈0,π，

∴∴cosA=12，(2)由(1)得，sinA=∵?ABC的面積為33，

∴12bcsinA=3由余弦定理得，a2∴a=13，

故?ABC的周長為(3)由A=π3得B+C=2π3，∴2=∵?ABC為銳角三角形，

∴0<B<π2,0<2π3∴π2<B+π3∴32<3sin

19.解：(1)因為

CA=CB=3,

cos∠CAB=1所以由余弦定理得

CB2=AC2+AB2?2AC×AB×cos若

AC+2AB

與

kAC?AB

所以

kAC2+2k?1AB?解得

k=1013

，即

k=1013

時，

AC+2AB(2)因為

G

為

?ABC

的重心，所以

AG=2又因為

AP=λAB,AQ=μAC由于

P,G,Q

三點共線，所以存在實數(shù)

t

使得

PG=tPQ

，所以化簡為

AG=1?tAP+tAQ

，所以

13λ顯然

λ>0,μ>0

，則

λ+μ=13當且僅當

λμ