第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年福建省泉州市安溪一中、養正中學、泉州實驗中學高考數學模擬試卷一、單選題：本大題共8小題，共40分。1.已知集合A={x|x>2}，B={x|log2x>1A.A∪B=R B.A∩B=? C.B?A D.A?B2.已知i是虛數單位，復數z滿足z3?i=i，則z?A.?1+3i B.?1?3i C.1+3i D.1?3i3.函數f(x)=(x?1x)cosπx的部分圖象大致為A. B.

C. D.4.已知a，b為單位向量，且a在b上的投影向量為13b，則|3aA.2 B.3 C.22 5.已知π3為曲線y=cosx與y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的一個交點的橫坐標，則函數f(x)=sinA.[?π3,π4] B.[6.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)虛軸的兩個端點分別為B1、BA.355 B.32 C.7.從集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三個數，取出的三個數之和是3的倍數的概率為(

)A.928 B.514 C.388.若斜率為?1的直線l交曲線y=lnx于點A，交曲線y=ln(ex+e)于點B，則|AB|=(

)A.22 B.2 C.1二、多選題：本大題共3小題，共18分。9.某地種植的新品種哈密瓜獲得了豐收，隨機從采摘好的哈密瓜中挑選了100個稱重(單位：kg)，并整理數據，得到如圖頻率分布直方圖.根據此頻率分布直方圖，下面結論正確的是(

)A.m=0.1

B.估計該哈密瓜的質量不低于1.6kg的比例為30%

C.估計有一半以上的該哈密瓜的質量介于1.4kg至1.6kg之間

D.估計該哈密瓜的質量的中位數介于1.5kg至1.6kg之間10.已知F是拋物線E：x2=2py(p>0)的焦點，點N(32,?52)在圓C：x2+(y+2)A.R=1,p=83

B.與E和圓C各恰有一個公共點的直線有6條

C.若圓C上僅有一個點到l的距離為2，則滿足條件的t的值有4個

D.若t=0，E上一點Q到l的距離為d，則|QF|+d11.在三棱錐P?ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，過點A作AE⊥PB，AF⊥PC，分別交PB，PC于點E，F.記三棱錐P?AEF、四棱錐A?BCFE、三棱錐P?ABC的外接球的表面積分別為S1，S2，S3，體積分別為V1，V2，V3A.AF⊥平面PBC B.V3=43π

C.S三、填空題：本大題共3小題，共15分。12.已知二項式(x+1x5)n13.已知正實數a，b滿足1a+1b=m，若(a+1b14.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知asinA+sinB=sinC，tanC=43，則△ABC的內切圓半徑r的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B．

(1)若C=2π3，求B；

16.如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的所有棱長均為2，底面ABCD為正方形，∠D1DA=∠D1DC=π3，點E為BB1的中點，點F為CC1的中點，動點P在平面ABCD內．17.小芳、小明兩人各拿兩顆質地均勻的骰子做游戲，規則如下：若擲出的點數之和為4的倍數，則由原投擲人繼續投擲；若擲出的點數之和不是4的倍數，則由對方接著投擲．

(1)規定第1次從小明開始．

(ⅰ)求前4次投擲中小明恰好投擲2次的概率；

(ⅱ)設游戲的前4次中，小芳投擲的次數為X，求隨機變量X的分布列與期望．

(2)若第1次從小芳開始，求第n次由小芳投擲的概率Pn．18.已知橢圓：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，點P(1,32)在E上，直線y=12x+m與E交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為C，O為坐標原點．

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)證明：19.若函數f(x)的圖象上存在三點A(a,f(a))，B(b,f(b))，M(m,f(m))，且a<m<b，使得直線AB與f(x)的圖象在點M處的切線平行，則稱m為f(x)在區間[a,b]上的“中值點”．

(Ⅰ)若函數f(x)=x2+3x+2在區間[a,b]上的中值點為m，證明：a，m，b成等差數列．

(Ⅱ)已知函數g(x)=2xlnx?x2+tx，存在b>a>0，使得g(a)=g(b)．

(i)求實數t的取值范圍；

(ii)當t=k(k∈N?)時，記g(x)參考答案1.D

2.D

3.A

4.C

5.B

6.A

7.B

8.B

9.BCD

10.ABC

11.BC

12.6

13.[2,+∞)

14.11615.解：(1)∵cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，∴cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，

化為：cosAcosB=sinAsinB+sinB，

∴cos(B+A)=sinB，

∴?cosC=sinB，C=2π3，

∴sinB=12，

∵0<B<π3，∴B=π6．

(2)由(1)可得：?cosC=sinB>0，∴cosC<0，C∈(16.17.解：(1)一人投擲兩顆骰子，向上的點數之和為4的倍數的概率為936=14．

(ⅰ)因為第1次從小明開始，所以前4次投擲中小明恰好投擲2次的概率，

P=14×34×14+34×34×34+34×14×34=3964．

(ⅱ)X0123P121393所以E(X)=0×164+1×2164+2×3964+4×364=2716．

(2)若第1次從小芳開始，則第n次由小芳投擲骰子有兩種情況：

①第n?1次由小芳投擲，第n次繼續由小芳投擲，其概率為P1=14Pn?1(n≥2)；

②第n?1次由小明投擲，第n次由小芳投擲，

其概率為P2=(1?14)(1?Pn?1)=318.解：(Ⅰ)因為橢圓E的離心率為12，

所以a2?b2a=12，

解得b2a2=34，①

因為點P(1,32)在橢圓E上，

所以1a2+94b2=1，②

聯立①②，

解得a2=4，b2=3，

則橢圓E的方程為x24+y23=1；

(Ⅱ)證明：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

可得C(x1,?y1)，

聯立y=12x+mx24+y23=1，消去y并整理得x2+mx+m2?3=0，

此時Δ=m2?4(m2?3)>0，

解得m2<3，

由韋達定理得x1+x2=?m,x1x2=m2?3，

則S△BOC=12|OB||OC|sin19.解：(1)證明：由題意知f(b)?f(a)b?a=f′(m)．

因為f(b)?f(a)b?a=b2?a2+3(b?a)b?a=a+b+3，

又f′(m)=2m+3，

所以a+b+3=2m+3，即a+b=2m，

所以a，m，b成等差數列．

(2)(i)g′(x)=2lnx?2x+2+t，

設?(x)=g′(x)，則?′(x)=2x?2=2(1?x)x,x>0，

令?′(x)>0，解得0<x<1，則?(x)在(0,1)上單調遞增，

令?′(x)<0，解得x>1，則?(x)在(1,+∞)上單調遞減．

故?(x)max=?(1)=t，

且當x→0時，?(x)→?∞，當x→+∞時，?(x)→?∞．

若t>0，則?(x)在(0,1)和(1,+∞)上分別存在一個零點，記為x1，x2，

當0<x<x1時，?(x)<0，即g′(x)<0，g(x)單調遞減，

當x1<x<x2時，?(x)>0，即g′(x)>0，g(x)單調遞增，當x>x2時，?(x)<0，即g′(x)<0，g(x)單調遞減，

故存在b>a>0，滿足g(a)=g(b)；

若t≤0，則恒有?(x)≤0，所以g(x)在(0,+∞)上單調遞減，不符合題意；

綜上，t的取值范圍是(0,+∞)．

(ii)證明：因為g(a)=g(b