第=page11頁，共=sectionpages11頁陜西省西安市長慶二中2024-2025學年高一（下）期中數學試卷一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設復數z滿足(1+i)z=2i，則|z|=(

)A.12 B.22 C.2.已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則AE?BD=A.?2 B.6 C.2 D.?63.已知點O是△ABC所在平面內一點，點D為BC邊的中點，且AO=2OD，mOA+OB+A.1 B.2 C.?1 D.?24.在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AB=(1,?2)，AD=(2,1)，則AB?A.5 B.4 C.3 D.25.已知|a|=10，a?b=?530A.2m3 B.3π4 C.5π66.復數z在復平面內表示的點Z如圖所示，則使得z2?z1是純虛數的一個z1A.4+3i

B.3+4i

C.4?3i

D.3?4i7.設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為a2+b2?c24A.1 B.2 C.3 D.48.已知a=(sinα,1?4cos2α)，b=(1,3sinα?2)，α∈(0,π2)，若aA.17 B.?17 C.29.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E是棱CC1A.存在點E，使得A1C1//平面BED1F

B.對于任意的點E，平面A1C1D⊥平面BED1F

C.10.已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t，若點P是△ABCA.13 B.15 C.19 D.2111.已知向量OB=(1,0)，OC=(0,1)，CA=(cosθ,sinθ)，則|ABA.[1,2] B.[22,4] C.[12.如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測畫法畫出的圖形，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，則平面圖形ABCD的面積為(

)

A.2 B.22 C.3 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量a=(?x,2x)，b=(3x,2)，若a與b的夾角是鈍角，則x的取值范圍是______．14.已知A(1,1)，B(5,3)，向量AB繞點A順時針旋轉π2到AC位置，則點C的坐標為______．15.若復數z滿足3z+z=1+i，其中i是虛數單位，則z=______．16.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為______．三、解答題：本題共5小題，共58分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

(Ⅰ)已知i為虛數單位，計算(1+i1?i)2013；

(Ⅱ)已知z是復數，z+3i?與z3?i均為實數(為虛數單位18.(本小題12分)

△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，sin(A+π6)=2cosA．

(1)求A的值；

(2)若a=3，BC邊上的高為19.(本小題12分)

如圖，已知矩形ABCD，AB=2，AD=3，點P為矩形內一點且|AP|=1，設∠BAP=α．

(1)當α=π3時，求證，PC⊥PD20.(本小題12分)

已知正三棱錐的高為1，底面邊長為26，其內有一個內切球，球心到該三棱錐的四個面的距離都相等.求：

(Ⅰ)棱錐的表面積；

(Ⅱ)球的半徑R21.(本小題12分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a、b、c，已知a=(cosA,cosB)，b=(a,2c?b)，且a//b．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)若b=3，△ABC的面積S△ABC=3答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了復數的四則運算，復數的模，考查了計算能力，屬于基礎題．

根據復數的運算可得z=1+i，再根據模長公式求解即可．【解答】解：∵(1+i)z=2i，

∴(1?i)(1+i)z=2i(1?i)，

∴z=1+i，

則|z|=2．

故選2.【答案】C

【解析】解：根據題意，如圖：以B為坐標原點建立坐標系，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立坐標系，

則C(2,0)A(0,2)，D(2,2)，

則E(2,1)，

則AE=(2,?1)，BD=(2,2)，

則AE?BD=2×2+(?1)×2=2，

故選：C．

根據題意，以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立坐標系，據此可得A、C、D、E的坐標，由向量的坐標公式可得向量AE、3.【答案】A

【解析】解：∵D為BC的中點，

∴2OD=OB+OC，

∴AO=OB+OC，

∴mOA+AO=(m?1)OA=0，4.【答案】A

【解析】解：AC=AB+AD=(3,?1)，

AB?AC=1×3+(?2)×(?1)=5，

故選：A．5.【答案】C

【解析】解：因為(a?b)?(a+b)=?15，所以a2?b2=?15，

所以|b|=5，因為a?b=?5302，6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了復數的運算法則、純虛數的定義、復數的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．

由圖可得：z=?2+i，設z1=a+bi(a,b∈R)，再利用復數的運算法則、純虛數的定義即可得出．

【解答】

解：由圖可得：z=?2+i，設z1=a+bi(a,b∈R)．

z2?z1=(?2+i)2(a+bi)=(3?4i)(a+bi)=3a+4b+(3b?4a)i為純虛數，

則7.【答案】A

【解析】解：由△ABC的面積為a2+b2?c24，

可得12absinC=a2+b2?c24，

即sinC=a2+b2?c22ab=cosC，

8.【答案】B

【解析】解：因為a=(sinα,1?4cos2α)，b=(1,3sinα?2)，且a/?/b，

所以1?4cos2α=sinα(3sinα?2)，

即1?4(1?2sin2α)=3sin2α?2sinα，

即5sin2α+2sinα?3=0，

解得sinα=?1或sinα=35，

因為α∈(0,π2)，

則sinα=39.【答案】C

【解析】解：對于A：當E為棱CC1上的中點時，此時F也為棱AA1上的中點，

此時A1C1/?/EF；滿足A1C1/?/平面BED1F成立，∴A正確；

對于B：連結D1B，則D1B⊥平面A1C1D，而B1D?平面BED1F，

∴平面A1C1D⊥平面BED1F成立，∴B正確；

對于C：BD1?平面BED1F，∴若存在點E，使得B1D⊥平面BED1F，

則B1D⊥BD1，則矩形BDD1B1是正方形或菱形，

在正方體中，BD=2BB1，則矩形BDD1B1不可能是正方形或菱形，

∴不可能存在點E，使得B1D⊥平面BED1F，∴10.【答案】A

【解析】解：∵AB⊥AC，∴以A為原點，直線AB，AC分別為x軸，y軸，建立如圖平面直角坐標系，則根據條件得：

P(1,4)，B(1t,0),C(0,t)，

∴PB?PC=(1t?1,?4)?(?1,t?4)

=?1t+1?4t+16

=?(4t+1t)+17≤?24t?1t+17=13，當且僅當4t=1t，即t=12時取等號，

∴PB?PC的最大值為11.【答案】C

【解析】【分析】本題考查向量模的坐標表示，兩角和差公式，屬于中檔題．

設A(x,y)，得到(x,y?1)=(cosθ,sinθ)，進而得到AB=(1?cosθ,?1?sinθ)，結合兩角和差公式得到|AB|=【解答】

解：OB=(1,0)，OC=(0,1)，CA=(cosθ,sinθ)，

設A(x,y)，可得(x,y?1)=(cosθ,sinθ)，

可得AB=(1?cosθ,?1?sinθ)，

|AB|=1?cosθ2+?1?sinθ2=3?2cos12.【答案】C

【解析】解：如圖，

作平面直角坐標系x?O?y，使A與O重合，AD在z軸上，且AD=2，AB在y軸上，且AB=2，

過B作BC/?/AD，且BC=1，則四邊形ABCD為原平面圖形，其面積為S=12(1+2)×2=3．

故選：C．

由題意還原原四邊形，再由梯形面積公式求解．13.【答案】(?∞,?1【解析】解：∵向量a=(?x,2x)，b=(3x,2)，若a與b的夾角是鈍角，

∴a?b=?3x2+4x<0，且a與b不共線，即x(3x?4)>0，且

?x3x≠2x2．

解得x<0，且x≠?13，或x>43，故x14.【答案】(3,?3)

【解析】解：設C(x,y)，則AB=(4,2)，AC=(x?1,y?1)，

∴AB?AC=0，|AB|=|AC|，

則4(x?1)+2(y?1)=0，且42+22=(x?1)2+(y?1)2，

聯立解得x=?1，y=5或x=3，y=?3，

∵向量AB繞點A順時針旋轉π215.【答案】14【解析】解：設z=a+bi，則z=a?bi(a,b∈R)，

又3z+z=1+i，

∴3(a+bi)+(a?bi)=1+i，

化為4a+2bi=1+i，

∴4a=1，2b=1，

解得a=14，b=12．

∴z=14+12i16.【答案】3π4【解析】【分析】

本題考查面圓柱的體積的求法，考查圓柱、球等基礎知識，考查空間想象能力，是基礎題．

推導出該圓柱底面圓周半徑r，由此能求出該圓柱的體積．

【解答】解：∵圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，

∴該圓柱底面圓周半徑r=12?(12)2=17.【答案】(Ⅰ)i．

(Ⅱ)9?3i．

【解析】解：(Ⅰ)(1+i1?i)2013=i2013=(i4)503?i=i；

(Ⅱ)設z=x+yi(x,y∈R)，

z+3i?=x?(y+3)i為實數，

則y=?3，

z3?i=x?3i3?i=11018.【答案】解：(1)∵sin(A+π6)=2cosA，

∴sinA=3cosA，∴tanA=3，

∵0<A<π，∴A=π3．

(2)由已知，12×3【解析】(1)利用兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式，利用同角三角函數基本關系式求解即可．

(2)利用三角形的面積以及余弦定理，轉化求解即可．

本題考查余弦定理的應用以及三角形的面積的求法，兩角和與差的三角函數的應用，考查計算能力．19.【答案】解：(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，

則A(0,0)，B(2,0)，C(2,3)，D(0,3)，

當α=π3時，P(12,32)，

則PC=(32,32)，PD=(?12,32)，

則PC?PD=32×(?12)+(3【解析】本題考查了平面向量數量積的坐標運算及三角函數最值的求法，屬中檔題．

(1)利用兩個向量數量積等于零證明向量垂直即可；

(2)由平面向量數量積結合三角函數便可得出結果．20.【答案】(Ⅰ)92+63；

【解析】解：(Ⅰ)因為正三棱錐的高為1，底面邊長為26，

所以底面正三角形的中心到正三角形邊的距離為13×32×26=2，

所以側面三角形的斜高為12+(2)2=3，

所以棱錐的表面積為3×12×221.【答案】解：(Ⅰ)∵a//b，

∴(2c?b)?cosA?a?cosB=0，

∴cosA?(2sinC?sinB)?sinA?cosB=0，

即2cosAsinC?c