第=page11頁，共=sectionpages11頁上海市黃浦區2025年高考數學二模試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如果兩種證券在一段時間內收益數據的相關系數為0.8，那么表明(

)A.兩種證券的收益有反向變動的傾向

B.兩種證券的收益有同向變動的傾向

C.兩種證券的收益之間存在完全反向的聯動關系，即漲或跌是相反的

D.兩種證券的收益之間存在完全同向的聯動關系，即同時漲或同時跌2.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，設a=AA1，b=A.BB1

B.BC1

C.3.設x1<x2<x3<x4，隨機變量X取值x1、x2、x3、x4的概率均為0.25，隨機變量X1取值x1+x22、x2+x32、x3+xA.D[X1]<D[X2]

B.D[X1]=D[X2]

C.D[X14.給定四面體ABCD.平面α滿足：①A、B、C、D四個點均不在平面α上，也不在α的同側；②若平面α與四面體ABCD的棱有公共點，則該公共點一定是此棱的中點或兩個三等分點之一.設A、B、C、D四個點到平面α的距離分別為di(i=1,2,3,4)，那么di的所有不同值的個數組成的集合為A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{1}二、填空題：本題共12小題，共54分。5.設x∈R，不等式xx?2<0的解集為______．6.設a∈R，集合A=[1,3]，B=[a,4]，若A∩B=[2,3]，則a=______．7.拋物線y2=x的焦點到其頂點的距離為______．8.在△ABC中，若A=45°，B=30°，BC=26，則AC=______．9.i為虛數單位，若復數z滿足z?z?=2i且z?=iz10.函數f(x)=3sinx+11.已知等比數列{an}為嚴格增數列，其前n項和為Sn，若a112.已知a為常數，圓(x?a)2+(y+a?2)2=r2(r>0)13.某商場要懸掛一個棱長為2米的正方體物件作為裝飾，如圖，A、B、C、D為該正方體的頂點，BB1、CC1、DD1為三根直繩索，且均垂直于屋頂所在平面α.若平面BCD與平面α平行，且點A到α的距離為2米，則直繩索BB1

14.若從2025的所有正約數中任取一個數，則這個數是一個完全平方數的概率為______．15.設{an}為等差數列，其前n項和為Sn，若(S8?S16.設a、b為常數，f(x)=|a+sinx|+|a?sinx|，若對任意的b∈(1,2)，函數y=f(x)?b在區間[0,2π]上恰有4個零點，則a的取值范圍是______．三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知f(x)=2x．

(1)若f(x)?f(2?x)=3，求x的值；

(2)是否存在實數a，使函數y=f(x)+af(?x)是奇函數？請說明理由．18.(本小題14分)

在四面體ABCD中，DB=DC=2，DB⊥DC．

(1)若△ABC為正三角形，平面ABC⊥平面DBC，求四面體ABCD體積；

(2)若AB=AC=4，AD=3，求二面角A?BC?D的大?。?9.(本小題14分)

一盒子中有大小與質地均相同的20個小球，其中白球n(3≤n≤13)個，其余為黑球．

(1)當盒中的白球數n=6時，從盒中不放回地隨機取兩次，每次取一個球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求P(B|A)和P(B)，并判斷事件A與B是否相互獨立；

(2)某同學要策劃一個抽獎活動，參與者從盒中一次性隨機取10個球，若其中恰有3個白球，則獲獎，否則不獲獎，要使參與者獲獎的可能性最大、最小，該同學應該分別如何放置白球的數量n？20.(本小題18分)

橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(?c,0)、F2(c,0)(c>0)，過點F1的直線l與Γ交于點P．

(1)若c=2，點P的坐標為(2,2)，求點F2到直線l的距離；

(2)當b≤c時，求滿足PF1⊥PF2的點21.(本小題18分)

設D是R的一個非空子集，函數y=f(x)的定義域為D，若y=f(x)在D上不是單調函數，且存在常數b，使得f(x)≥b對任意的x∈D成立，則稱函數y=f(x)具有性質H，稱b為該函數的一個下界．

(1)設f(x)=x+1x，D=(?∞,0)，判斷函數y=f(x)，x∈D是否具有性質H；

(2)設m為常數，f(x)=13x3?x+1，D=(m,2)，當且僅當m滿足什么條件時，函數y=f(x)，x∈D具有性質H，且b=13是該函數的一個下界；

(3)設0<a≤1，f(x)=ln(x+1)+ax(x?2)，D=(0,1)，若函數y=f(x)，x∈D具有性質H答案和解析1.【答案】B

【解析】解：相關系數是用以反映變量之間相關關系密切程度的統計指標，

當相關系數為正數時，表示兩種證券的收益有同向變動的傾向；

當相關系數為負數時，表示兩種證券的收益有反向變動的傾向，

相關系數為0.8(0.8>0)，所以表明兩種證券的收益有同向變動的傾向，

故A錯誤，C錯誤，B正確，

而相關系數為1時表示兩種證券的收益之間存在完全同向的聯動關系，為?1時表示完全反向的聯動關系，

所以D錯誤．

故選：B．

根據相關系數的性質判斷．

本題主要考查了相關系數的性質，屬于基礎題．2.【答案】A

【解析】解：由空間向量基本定理可知，空間中不共面的三個向量可以組成空間向量的一個基，

對于A，若c=BB1，則a=c，

所以a，b，c共面，故A錯誤；

對于B，若c=BC1，

因為BC1，AA1，DB1不共面，所以a、b、c組成空間向量的一個基，故B正確；

對于C，若c=BD，

則DB1=DB+BB1=?BD+AA1，即b=?c+a，

所以a，3.【答案】A

【解析】解：由隨機變量X1，X2的取值情況，它們的期望分別為：E[X1]=14(x1+x22+x2+x32+x3+x42+x4+x12)=14(x1+x2+x3+x4)，

E[X2]=14(2x1?x2+2x2?4.【答案】B

【解析】解：當平面α與四面體ABCD的三條棱的中點相交時，

不妨設平面α過棱AB，AC，AD的中點E，M，N，此時點A，B到平面α的距離相等，

且平面α/?/平面BCD，如圖(1)所示，

此時B，C，D到平面α的距離可能與A，B到平面α的距離相同，此時di有1不同的值；

不妨設平面α過棱AB的中點E，且過AC，AD分別為的三等分點M，N時，

如圖(2)所示，此時點A，B到平面α的距離相等，且C，D到平面α的距離相等，

且A，B到平面α的距離與C，D到平面α的距離不相等，此時di有2不同的值；

不妨設平面α過棱AB，AD的中點E，N，且過AC分別為的三等分點M時，

如圖(3)所示，此時點A，B，D到平面α的距離相等，

其中A，B，D到平面α的距離與C到平面α的距離不相等，此時di有2不同的值；

不妨設平面α過棱AB的中點E，過AC的靠近C的三等分點M，過AD靠近A點的三等分點N，

此時A，B到平面α的距離不同，C，D到平面α的距離不同，

且A，B，C，D到平面α的距離兩兩之間都可能不同，此時di有3個不同的值；

又因為A，B，C，D四個點均不在平面α上，也不在平面α的同側，

所以di不能有4個不同的值(若有4個不同的值，四個點必然在平面α的同側)，

所以di的所有不同值的個數組成的集合為{1,2,3}．

故選：B．

根據題意，分類討論，確定平面αx的位置，結合點到平面的距離的定義，進行分析判斷，即可求解．5.【答案】(0,2)

【解析】解：解不等式xx?2<0，等價于x(x?2)<0.解得0<x<2，

故解集為(0,2)．

故答案為：(0,2)．

根據已知條件，結合分式不等式的解法，即可求解．6.【答案】2

【解析】解：根據交集的定義，兩個集合相交的部分是它們共有的元素組成的集合，所以a=2．

故答案為：2．

根據集合交集的定義求解．

本題考查集合的運算，屬于基礎題．7.【答案】14【解析】解：對于拋物線y2=2px其焦點坐標為(p2,0)，頂點坐標為(0,0)，在拋物線y2=x中，2p=1，

則p=12，所以焦點到頂點的距離為8.【答案】2【解析】解：在△ABC中，根據正弦定理ACsinB=BCsinA，已知A=45°，B=30°，BC=26，

則AC=BCsinBsinA=9.【答案】?1

【解析】解：設z=a+bi，

則z?=a?bi(a,b∈R)，

因為z?z?=2i，所以(a+bi)?(a?bi)=2i，即2bi=2i，解得b=1，

又因為z=iz，即a?i=i(a+i)=?1+ai，所以a=?1，

則Rez=?1．

故答案為：?110.【答案】2

【解析】解：由f(x)=3sinx+cosx=2sin(x+π6)?f(x)max=2．11.【答案】4

【解析】解：因為等比數列{an}為嚴格增數列，a1a10=a8，S4?S1=214，

將a10=a1q9，a8=a1q7代入a1a10=a8可得a1×a1q9=a1q7，

得a1q2=1，即a1=1q2，

S4?12.【答案】1

【解析】解：圓(x?a)2+(y+a?2)2=r2的圓心坐標為(a,2?a)，半徑為r；

圓x2+y2=1的圓心坐標為(0,0)，半徑R=1，

由兩圓有公共點，可得|r?1|≤(a?0)2+(2?a?0)2≤r+1，

先化簡兩圓圓心距d=a2+(2?a)213.【答案】3.15

【解析】解：已知正方體棱長AB=BC=CD=DA=2米．

因為平面BCD//平面α，BB1⊥平面α，CC1⊥平面α，DD1⊥平面α，

設正方體中心為O，連接AO并交平面BCD于點O1，則AO1⊥平面BCD．

在正方體中，底面△BCD是正三角形，其外接圓半徑r，根據正三角形外接圓半徑公式r=33×邊長，

可得r=33×22=263米．

由勾股定理可得AO1=AB2?BO12=4?(14.【答案】25【解析】解：根據題意，2025=34×52，則2025的正約數個數為(4+1)×(2+1)=15個，

由于30×50=1，32×50=9，34×50=81，30×52=25，32×52=225，34×52=2025，

在202515.【答案】8

【解析】解：因為{an}是等差數列，Sn是其前n項和，(S8?S7)(S9?S7)<0，所以a8(a8+a9)<0，

若a8>0，則a8+a9<0，此時S16=16(a1+a1616.【答案】[?1【解析】解：已知f(x)=|a+sinx|+|a?sinx]，x∈[0,2π]．

因為sinx∈[?1,1]，

當a≥1時，

f(x)=a+sinx+a?sinx=2a≥2，

函數y=f(x)?b在區間[0,2π]上沒有零點，不符合題；

當a≤?1時，f(x)=?a?sinx?a+sinx=?2a≥2，

函數y=f(x)?b在區間[0,2π]上沒有零點，不符合題意；

當?1<a<1時，

則f(x)=2|a|,?|a|<sinx<|a|2sinx,sinx>|a|?2sinx,sinx<?|a|．

f(x)在[0,2π]上的圖象與直線y=b(1<b<2)恰有4個交點，

所以?1≤2a≤10≤2|a|≤1，解得?12≤a≤12．

所以a的取值范圍是[?12,12]．

17.【答案】x=1；

存，在a=?1．

【解析】解：(1)因為f(x)=2x，

又f(x)?f(2?x)=3，即2x?22?x=3，

令t=2x(t>0)，

則t?4t=3，整理得t2?3t?4=0，解得t=4或t=?1(舍去)，

可得x=2．

(2)假設存在實數a使函數y=f(x)+af(?x)是奇函數，y=2x+a?2?x其定義域為R，

根據奇函數性質f(0)=20+a?20=0，即18.【答案】263；

【解析】解：(1)由題設△BCD為等腰直角三角形，且DB=DC=2，DB⊥DC，

所以BC=22，又△ABC為正三角形，

故S△ABC=12×(22)2×sin60°=23，

若E為BC的中點，連接DE，則DE⊥BC，

又平面ABC⊥平面DBC，平面ABC∩平面DBC=BC，

DE?平面DBC，故DE⊥平面ABC，

所以DE=2是D?ABC的高，

則其體積V=13?DE?S△ABC=13×2×23=263；

(2)由(1)DE⊥BC，且BC=22，DE=2，

又AB=AC=4，則AE=14，

且AE⊥BC，又AD=3，19.【答案】事件A、B不相互獨立；

當該同學放置6個白球時，參與者獲獎的可能性最大；當該同學放置13個白球時，參與者獲獎的可能性最小．

【解析】解：(1)根據題意，A表示事件“第一次取到白球”，B表示事件“第二次取到白球”，

則P(A)=620=310，P(A?)=710，

P(B|A)=519，P(B|A?)=619，

則P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)=310，

由于P(AB)=P(A)P(B|A)=338，

P(A)P(B)=9100，

則P(AB)≠P(A)P(B)，則事件A、B不相互獨立，

(2)根據題意，從盒子中一次性隨機取10個球，設其中恰有3個白球的概率為an，(3≤n≤13)，

由于an=Cn3C20?n7C2010，

則有anan?1=Cn3C20?n7Cn?13C20.【答案】43；

答案見解析；

(?1【解析】解：(1)依題意，F1(?2,0)，F2(2,0)，而P(2,2)，

則直線l的方程為y=24(x+2)，即x?22y+2=0，

所以點F2到直線l的距離d=|2?22×0+2|12+(?22)2=43．

(2)由PF1⊥PF2，得點P在以線段F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上，c2=a2?b2，

聯立x2+y2=c2b2x2+a2y2=a2b2，消去y得(a2?b2)x2=a2(c2?b2)，即c2x2=a2(c2?b2)，

當b=c時，x=0，y=±b，因此點P(0,±b)，共2個；

當b<c時，c2x2=a2(21.【答案】函數y=f(x)，x∈D具有性質H，理由見解答．

(?∞,?1]．

a∈(0,1]，b∈(?∞,ln2?3【解析】解：(1)函數y=f(x)，x∈D具有性質H，理由如下：

函數f(x)=x+1x，x∈(?∞,0)，求導得f′(x)=1?1x2=x2?1x2，

令f′(x)=0，得x=?1，

所以在(?∞,?1)上，f′(x)>0，f(x)單調遞