矩陣的特征值與特征向量1.4定義1.9設若和非零向量使得

(1.5)成立,則稱為的特征值,為的屬于(或?qū)?特征值的特征向量.將式(1.5)改寫為這是含有個未知數(shù)的個方程的齊次線性方程組,它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式

即

這是以為未知數(shù)的一元次方程,其最高次項的系數(shù)為1(稱為首一的).矩陣的特征值與特征向量定義1.10設稱為的特征矩陣,為的特征多項式,

為

的特征方程.注的特征值就是特征方程的根.由代數(shù)學的知識知,特征方程在復數(shù)范圍內(nèi)恒有解,其個數(shù)為方程的次數(shù)(重根按重數(shù)計算),因此階方陣在復數(shù)范圍內(nèi)有個特征值.計算階方陣的特征值與特征向量可按如下步驟進行：第一步：求特征方程的個根,即為的全部特征值;第二步：求解齊次方程組,其非零解即為

的屬于特征值的特征向量.例1.7求下列矩陣的特征值與特征向量：(1)(2)矩陣的特征值與特征向量解(1)

的特征多項式為

因此的特征值為

當時,解方程組.由得基礎解系因此屬于特征值的全部特征向量為(為不等于零的任意常數(shù)).

當時,解方程組.由矩陣的特征值與特征向量得基礎解系因此屬于特征值的全部特征向量為(為不等于零的任意常數(shù)).

(2)

的特征多項式為所以的特征值為

當時,解方程組.由矩陣的特征值與特征向量得基礎解系因此屬于特征值的全部特征向量為(為不等于零的任意常數(shù)).當時,解方程組.由得基礎解系因此屬于特征值的全部特征向量為

(不同時為零).矩陣的特征值與特征向量定義1.11設(互不相同,且),稱為的代數(shù)重數(shù),對應的線性無關的特征向量個數(shù)為的幾何重數(shù).例如,例1.7中的第一個矩陣,特征值1的代數(shù)重數(shù)是2,幾何重數(shù)是1；第二個矩陣,特征是2的代數(shù)重數(shù)是2,幾何重數(shù)是2.定理1.7設是的特征值,則其代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)滿足證設屬于特征值的線性無關的特征向量為,顯然,由基的擴充定理可找到個向量,使線性無關.

令,則是可逆矩陣,且矩陣的特征值與特征向量即

從而,,故矩陣的特征值與特征向量定義1.12設是的多項式：

對于

規(guī)定

稱

為矩陣的多項式.定理1.8設的個特征值為

對應的特征向量為；又設為一多項式,則的特征值為,對應的特征向量仍為如果,則的任意一個特征值滿足證因為所以對于正整數(shù),有故矩陣的特征值與特征向量當時,

.由可知定理1.9設是方陣的互不相同的個特征值,是分別與之對應的特征向量,則線性無關.證利用數(shù)學歸納法來證明.當,由于,因此線性無關,即定理成立.

假設對于個互不相同的特征值定理成立,下面證明對于個互不相同的特征值定理也成立.為此,設有常數(shù)使用左乘上式,得即從上面兩個等式中消去,得由假設可知線性無關,故矩陣的特征值與特征向量而互不相同,故

進而可得因此線性無關.注定理1.9還可以推廣到如下的定理1.10,其證明類似,故略去.定理1.10設是方陣的互不相同的個特征值,是對應特征值

的線性無關的特征向量,那么向量組也線性無關.定理1.11

設

階方陣的特征值為,則有以下結(jié)論：(1)(稱為矩陣的跡,簡記為).(2).(3)

的特征值是的特征值是(4)方陣可逆當且僅當它的特征值全不為0.矩陣的特征值與特征向量定理1.12設則證

設