PAGEPAGE12.4等比數列(第2課時)學習目標敏捷應用等比數列的定義及通項公式;深刻理解等比中項的概念;熟識等比數列的有關性質,并系統(tǒng)了解推斷數列是否是等比數列的方法.通過自主探究、合作溝通獲得對等比數列性質的相識.充分感受數列是反映現實生活的模型,體會數學是來源于現實生活,并應用于現實生活的,數學是豐富多彩的而不是味同嚼蠟的,提高學習的愛好.合作學習一、設計問題,創(chuàng)設情首先回憶一下上一節(jié)課所學主要內容:1.等比數列:假如一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一常數,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即:.

2.等比數列的通項公式:.

二、信息溝通,揭示規(guī)律1.等比中項:假如在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項.即G=±(a,b同號).假如在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,則,反之,若G2=ab,則,即a,G,b成等比數列.

(1)在等比數列{an}中,是否有=an-1an+1(n≥2)?(2)假如數列{an}中,對于隨意的正整數n(n≥2),都有=an-1an+1,那么{an}肯定是等比數列嗎?分析:(1)由{an}是等比數列,知,所以有=an-1an+1(n≥2);(2)當數列為0,0,0,0,…時,仍有=an-1an+1,而等比數列的任一項都是不為零的,所以不肯定;若數列{an}中的每一項均不為零,且=an-1an+1(n≥2,n∈N),則數列{an}是等比數列,反之成立.2.幾特性質(1)已知a1,a2,a3,…,an是公比為q的等比數列,新數列an,an-1,…,a2,a1也是等比數列嗎?分析:由等比數列的定義可得=…==q.所以=…=,由此可以看出an,an-1,…,a2,a1是從第2項起,每一項與它的前一項的比值都等于,所以是首項為,公比為的等比數列.

(2)已知無窮等比數列{an}的首項為a1,公比為q.①依次取出數列{an}的全部奇數項,組成一個新數列,這個數列還是等比數列嗎?假如是,它的首項和公比分別是多少?②數列{can}(其中常數c≠0)是等比數列嗎?假如是,它的首項和公比分別是多少?分析:①由=q,得an+1=anq,a3=a2q=a1q2,所以=q2;a5=a4q=a3q2,所以=q2;以此類推,可得,=q2,所以數列{an}的全部奇數項組成的數列是首項為,公比為的等比數列.

②因為=…==q,所以數列{can}(c≠0)是首項為ca1,公比為q的等比數列.(3)已知數列{an}是等比數列.①=a3a7是否成立?=a1a9成立嗎?②=an-1an+1(n>1)是否成立?③=an-kan+k(n>k>0)是否成立?④在等比數列中,m+n=p+k,am,an,ap,ak有什么關系呢?分析:①設數列{an}的公比為q,則a3=a1q2,a5=a1q4,a7=a1q6,q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=q8,所以=a3a7,同理=a1a9.②=an-1an+1(n>1)成立.③=an-kan+k(n>k>0)成立.④由等比數列定義,得am=a1qm-1,an=a1qn-1,ap=a1qp-1,ak=a1qk-1,am·an=qm+n-2,ap·ak=qp+k-2,則aman=apak.結論:若m+n=p+k,則.

三、運用規(guī)律,解決問題【例1】等比數列{an}中,(1)已知a2=4,a5=-,求數列{an}的通項公式;(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例2】假如數列{an},{bn}是項數相同的等比數列,那么{an·bn}也是等比數列.【例3】設a,b,c,d成等比數列,求證:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.【例4】若a,b,c成等差數列,且a+1,b,c與a,b,c+2都成等比數列,求b的值.四、變式訓練,深化提高變式訓練1:等比數列{an}中,若a7·a12=5,則a8·a9·a10·a11=.

變式訓練2:等比數列{an}中,若a1+a2+a3=7,a1·a2·a3=8,則an=.

變式訓練3:已知數列{an}為等比數列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=.

變式訓練4:三個數成等比數列,它們的和為14,它們的積為64,求這三個數.五、反思小結,觀點提煉參考答案一、設計問題,創(chuàng)設情境1.=q(q≠0)2.an=·qn-1(a1·q≠0),an=·qn-m(am·q≠0)二、信息溝通,揭示規(guī)律1.?G2=ab?G=±2.(1)an(2)①a1q2(3)aman=apak(m,n,p,k∈N*)三、運用規(guī)律,解決問題【例1】解:(1)∵a5=a2q5-2,∴q=-.∴an=a2qn-2=4×.(2)∵a3a5=,a3a4a5==8,∴a4=2.又∵a2a6=a3a5=,∴a2a3a4a5a6==32.【例2】解:設數列{an}的首項是a1,公比為q1;數列{bn}的首項為b1,公比為q2,那么數列{an·bn}的第n項與第n+1項分別為a1··b1·與a1··b1·,即為a1b1(q1q2)n-1與a1b1·(q1q2)n,因為=q1q2,它是一個與n無關的常數,所以{an·bn}是一個以a1b1為首項,以q1q2為公比的等比數列.【例3】證明:法一:∵a,b,c,d成等比數列,∴,∴b2=ac,c2=bd,ad=bc,∴左邊=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)=a2-2ad+d2=(a-d)2=右邊.證畢.法二:∵a,b,c,d成等比數列,設其公比為q,則b=aq,c=aq2,d=aq3,∴左邊=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2=a2-2a2q3+a2q6=(a-aq3)2,=(a-d)2=右邊證畢.【例4】解:設a,b,c分別為b-d,b,b+d,由已知b-d+1,b,b+d與b-d,b,b+d+2都成等比數列,有整理,得所以b+d=2b-2d,即b=3d,代入①,得9d2=(3d-d+1)(3d+d),9d2=(2d+1)·4d,解之,得d=4或d=0(舍d=0),所以b=12.四、變式訓練,深化提高變式訓練1:解析:因為a7·a12=a8·a11=a9·a10,又a7·a12=5,所以a8·a9·a10·a11=5×5=25.答案:25變式訓練2:解析:由a1·a2·a3=8得=8,于是a2=2所以a1·a3=4,①由a1+a2+a3=7得a1+a3=5,②由①②解得當時,q==2,an=2n-1,當時,q=,an=4×=23-n.答案:2n-1或23