2024-2025學年八年級（下）期中數學試卷【滬科版】考試時間：120分鐘；滿分：120分；考試范圍：第16~18章姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共25題，單選10題，填空6題，解答9題，滿分120分，限時120分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·重慶·開學考試）估計73+3×A．18到19之間 B．19到20之間C．20到21之間 D．21到22之間2．（3分）（24-25八年級·浙江杭州·自主招生）已知關于x的方程1?2kx2?2A．k≥2 B．k≤2C．?1≤k≤2 D．?1≤k≤2且k≠3．（3分）（2024·山東泰安·模擬預測）如圖，在△ABC中，AD是BC邊的中線，∠ADC=30°，將△ADC沿AD折疊，使C點落在C′的位置，若BC=4，則B

A．23 B．2 C．4 4．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·階段練習）已知7=a，70=b，則A．a+b10 B．b?a10 C．ba5．（3分）（24-25八年級·湖北武漢·階段練習）有一個邊長為1的大正方形，經過1次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過1次“生長”后，形成的圖形如圖1所示．如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”如圖2所示，若“生長”了2024次后，形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）A．2025 B．2024 C．22023 D．26．（3分）（24-25八年級·浙江·期中）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點B，D的距離，已經測得∠ABC=45°，∠ACD=90°，AC=CD，BC=152米，AB=40米，則BDA．50 B．40 C．402 D．7．（3分）（24-25八年級·甘肅天水·期中）字母x、y表示兩個有理數，且x≠y，現規定minx,y表示x、y中較小的數，例如：min3,?1=?1，min?1,0=?1，若minA．3 B．1 C．3或1 D．?3或18．（3分）（24-25八年級·重慶萬州·期中）計算：20242?2023×2024×2025×2026+1A．?2024 B．?2023 C．?2025 D．?19．（3分）（24-25八年級·浙江紹興·期末）在解一元二次方程時，小馬同學粗心地將x2項的系數與常數項對換了，使得方程也變了．他正確地解出了這個不同的方程，得到一個根是2，另一根等于原方程的一個根．則原方程兩根的平方和是（

A．32 B．23 C．4510．（3分）（24-25八年級·廣東深圳·期末）如圖，在三角形ABC，AB2+AC2=BC2，且AB=AC，H是BC上中點，F是射線AH上一點．E是AB上一點，連接EF，EC，BF=FE，點G在AC上，連接BG，∠ECG=2∠GBCA．92 B．82 C．72二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·河南洛陽·期中）如圖，要建一個面積為130m2的倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻長16m），并在與墻平行的一邊開一道1m寬的門，現有能圍成32m12．（3分）（24-25八年級·河南駐馬店·階段練習）如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設其長AD=80cm，高AB=60cm，水深AE=40cm．在水面EF上緊貼內壁的G處有一塊面包屑，且EG=60cm．一只螞蟻想從魚缸外的A點沿魚缸壁爬進魚缸內的G13．（3分）（2025八年級·安徽合肥·階段練習）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去．指的是如果代數式中分母有根號，那么通常將分子、分母同乘以分母的有理化因式，達到化去分母中根號的目的．如：11+2=1×2?1214．（3分）（24-25八年級·安徽六安·階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=43，M是AC的中點，N是AB上任意一點，以MN為對稱軸折疊△AMN，得到△DMN，點A的對應點為點D（點B，N，D在（1）當MD⊥AB時，∠ANM=；（2）當DN⊥AB時，BN的長為．15．（3分）（24-25八年級·遼寧沈陽·期中）如圖，點C為直線l上的一個動點，AD⊥l于D點，BE⊥l于E點，點E在點D右側，并且點A、B在直線l同側，AD=DE=8，BE=2，當CD長為時，△ABC為直角三角形．16．（3分）（24-25八年級·安徽合肥·期中）如圖，長方形ABCD中，AB=5cm，AD=4cm，動點P從點D出發，沿DA向終點A以1cm/s的速度移動，動點Q從點A出發沿A?B?C向終點C以3cm/s的速度移動，如果P、Q分別從（1）若經過x秒，用x的代數式表示AP，則AP=cm；（2）經過秒時，以A、P、Q為頂點的三角形面積為2cm第Ⅱ卷三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·江蘇揚州·期末）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根；(2)如果方程的兩個實數根為x1,x2x18．（6分）（24-25八年級·湖南邵陽·期末）閱讀下列解題過程：15(1)觀察上面解題過程，計算3(2)請直接寫出1n+(3)利用上面的解法，請化簡：119．（6分）（24-25八年級·海南儋州·期末）如圖，某公園有一塊四邊形草坪ABCD，計劃修一條A到C的小路，經測量，∠D=90°，AD=14?m，DC=48?m，AB=40?m(1)求小路AC的長；(2)萌萌帶著小狗在草坪上玩耍，萌萌站在點B處，小狗從點B開始以2?m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到點A20．（8分）（24-25八年級·吉林長春·開學考試）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求找格點M．(1)在圖①中，連結AM、BM、CM，使AM=BM=CM；(2)在圖②中，連結BM、CM，使∠BMC+∠BAC=180°；(3)在圖③中，連結BM，使∠CBM+∠BAC=90°．21．（8分）（24-25八年級·福建泉州·期中）如果關于x的一元二次方程x2+bx+c=0a≠0有兩個實數根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如一元二次方程x2+x=0的兩個根是x(1)已知關于x的方程x2?m?1x?m=0（(2)若關于x的方程ax2+bx+1=0（a,b是常數，且a>0）是“鄰根方程”，令t=12a?22．（10分）（24-25八年級·安徽滁州·期中）任意一個無理數介于兩個整數之間，我們定義，若無理數T:m<T<n，（其中m為滿足不等式的最大整數，n為滿足不等式的最小整數），則稱無理數T的“行知區間”為m,n，如1<2<2，所以2的行知區間為(1)無理數17的“行知區間”是________；(2)若a=b?3+3?b(3)實數x，y，n滿足2x+3y?n+3x+4y?2n=23．（10分）（24-25八年級·上海嘉定·期中）上海市公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔9月份到11月份的銷量，該品牌頭盔9月份銷售500個，11月份銷售720個，9月份到11月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進價為40元/個，商家經過調查統計，當售價為50元/個時，月銷售量為500個，若在此基礎上售價每上漲2元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到9000元，且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔每個售價應定為多少錢？24．（12分）（24-25八年級·江蘇揚州·期中）如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，過點C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點F，直線BE交直線CD于G點．

(1)設∠BCD=m°，則∠AEC=______°（用含m的代數式表示），并證明：∠AEB=45°；(2)猜想線段AF、EF、AC之間的數量關系，并給出證明．(3)若AC=13，BE=10，求△ACF的面積．25．（12分）（24-25八年級·重慶九龍坡·階段練習）如圖，點D為△ABC所在平面內的一點，連接AD、CD，∠ABC=30°．(1)如圖1，點D為△ABC外一點，點E在邊AC的延長線上，連接BE．若BE=AD，AB=AC，∠DAC=4∠CBE=40°，求∠D的度數：(2)如圖2，點D為△ABC內一點，若∠ABD=∠ACD，∠DCB=∠ABC，求證：BD=AC+AD；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長AD交BC于點F，當△ABF為等腰三角形時，請直接寫出ADBC

2024-2025學年八年級（下）期中數學試卷【滬科版】參考答案與試題解析第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·重慶·開學考試）估計73+3×A．18到19之間 B．19到20之間C．20到21之間 D．21到22之間【答案】C【分析】本題考查了無理數的估算，無理數的估算常用夾逼法，用有理數夾逼無理數是解題的關鍵．根據二次根式的混合運算化簡，估算無理數的大小即可得出答案．【詳解】解：7==7+3∵4.52∴4.5<∴13.5<3∴20.5<7+3∵321∴321∴7+321∴20.5<7+3即73故選：C．2．（3分）（24-25八年級·浙江杭州·自主招生）已知關于x的方程1?2kx2?2A．k≥2 B．k≤2C．?1≤k≤2 D．?1≤k≤2且k≠【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，兩種情況：當1?2k=0時，當1?2k≠0時，分別求解即可得解．【詳解】解：當1?2k=0時，1?2kx2?2當1?2k≠0時，由題意可得Δ=?2k+1解得：?1≤k≤2，∴當?1≤k≤2時，關于x的方程1?2kx故選：C．3．（3分）（2024·山東泰安·模擬預測）如圖，在△ABC中，AD是BC邊的中線，∠ADC=30°，將△ADC沿AD折疊，使C點落在C′的位置，若BC=4，則B

A．23 B．2 C．4 【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質、等腰三角形的性質、勾股定理解三角形等知識，準確添加輔助線，掌握折疊前后圖形的對應關系是解題的關鍵．根據已知條件和圖形折疊的性質可得：∠BDC′=120°,BD=C′D=2，過點【詳解】解：解：∵AD是BC邊的中線，∴BD=DC=1∴∠ADC∴∠BDC∴∠DBC過點D作DE⊥BC′于∴DE=1∴BE=BD∴BC故選：A．4．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·階段練習）已知7=a，70=b，則A．a+b10 B．b?a10 C．ba【答案】D【分析】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的化簡是解答本題的關鍵．先將被開方數化成分數，然后分子分母同乘以10，使得分母部分可以開平方，而分子部分化成含7和70的形式，即得答案．【詳解】∵7=a，∴4.9故選：D．5．（3分）（24-25八年級·湖北武漢·階段練習）有一個邊長為1的大正方形，經過1次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過1次“生長”后，形成的圖形如圖1所示．如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”如圖2所示，若“生長”了2024次后，形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）A．2025 B．2024 C．22023 D．2【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，能夠根據勾股定理發現每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關系是解答本題的關鍵．根據勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結合圖形總結規律，根據規律解答即可．【詳解】解：如圖，由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積=正方形A的面積=1，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2025，故選：A．6．（3分）（24-25八年級·浙江·期中）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點B，D的距離，已經測得∠ABC=45°，∠ACD=90°，AC=CD，BC=152米，AB=40米，則BDA．50 B．40 C．402 D．【答案】A【分析】本題考查的是勾股定理的應用，二次根式的化簡，等腰三角形的判定，作出合適的輔助線是解本題的關鍵，如圖，過C作CM⊥AB于M，過D作DN⊥AB于N，求解CM=BM=15，AM=40?15=25，AC=152+252=534，CD=AD=1017，延長DC交AB于E，則∠ACE=90°，由勾股定理可得：CE2=AE2【詳解】解：如圖，過C作CM⊥AB于M，過D作DN⊥AB于N，∴CM∥DN，∵∠ABC=45°，BC=152∴CM=BM=15，∵AB=40，∴AM=40?15=25，∴AC=15∵AC=CD，∴CD=AD=A延長DC交AB于E，則∠ACE=90°，由勾股定理可得：CE∴25+ME2解得：ME=9，∴CE=C∴DE=CD+CE=834∴BE=15?9=6，∴AE=40?6=34，同理可得：AD∴1017解得：AN=10，∴BN=40?10=30，DN=A∴BD=B故選：A7．（3分）（24-25八年級·甘肅天水·期中）字母x、y表示兩個有理數，且x≠y，現規定minx,y表示x、y中較小的數，例如：min3,?1=?1，min?1,0=?1，若minA．3 B．1 C．3或1 D．?3或1【答案】C【分析】本題考查解一元二次方程．根據題意分情況討論，再分別求解即可．【詳解】解：∵minx∴當x2?3≤3?x即：minx∴x2即：x2移項配方得：x2解得：x+1=±2，即：x=1或x=?3（舍），當x2?3>3?x即：minx∴3?x即：x2解得：x=?1（舍）或x=3，綜上所述：x=3或x=1，故選：C．8．（3分）（24-25八年級·重慶萬州·期中）計算：20242?2023×2024×2025×2026+1A．?2024 B．?2023 C．?2025 D．?1【答案】B【分析】本題考查了二次根式的化簡，完全平方公式，整式的乘法，熟練掌握知識點是解題的關鍵．令x=2024，把原式化簡為x2【詳解】解：令x=2024，則原式化為：x======?x+1=?2024+1=?2023，故選：B．9．（3分）（24-25八年級·浙江紹興·期末）在解一元二次方程時，小馬同學粗心地將x2項的系數與常數項對換了，使得方程也變了．他正確地解出了這個不同的方程，得到一個根是2，另一根等于原方程的一個根．則原方程兩根的平方和是（

A．32 B．23 C．45【答案】D【分析】設原方程為ax2+bx+c=0，兩個根為α和β．新方程為cx2+bx+a=0，兩個根為2和β．則可得aβ2+bβ+c=0①，cβ2+bβ+a=0②，4c+2b+a=0③．將①②聯立可解得β=±1．則可得a+b+c=0或a?b+c=0本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，推導出a、b、c之間的關系是解題的關鍵．【詳解】解：設原方程為ax2+bx+c=0，兩個根為α新方程為cx2+bx+a=0則aβ2+bβ+c=0①，①?②得由題意得a≠c，∴a?c≠0，∴β2∴β=±1．當β=1時，a+b+c=0，聯立a+b+c=04c+2b+a=0，得a=2c則α+β=?ba=?則α2當β=?1時，a?b+c=0，聯立a?b+c=04c+2b+a=0，得a=?2c則α+β=?ba=?則α2綜上，原方程兩根的平方和是54故選：D．10．（3分）（24-25八年級·廣東深圳·期末）如圖，在三角形ABC，AB2+AC2=BC2，且AB=AC，H是BC上中點，F是射線AH上一點．E是AB上一點，連接EF，EC，BF=FE，點G在AC上，連接BG，∠ECG=2∠GBCA．92 B．82 C．72【答案】D【分析】延長EA到K，是的AK=AG，連接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，設∠BFE=x，則∠EBF=12180°?∠BFE=90°?12x，然后證明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC則∠FCA=90°?12x，EBF=12180°?∠BFE=90°?12x即可證明∠EFC=∠AFE+∠AFC=【詳解】解：延長EA到K，是的AK=AG，連接CK，∵在三角形ABC，AB2+A∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵BF=FE，∴∠FBE=∠FEB，設∠BFE=x，則∠EBF=∵H是BC上中點，F是射線AH上一點，∴AH⊥BC，∴AH是線段BC的垂直平分線，∠FAC=45°，∴CB=FC=FE，∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC∴∠FCA=90°?12∴∠AFB=∠AFC=180°?∠FAC?∠FCA=45°+1∴∠AFE=∴∠EFC=∴EF∴CF=2設∠ECG=2∠GBC=2y，∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，∴△ABG≌△ACK（SAS），∠K=∠AGB=∠ACB+∠GBC=∴∠ECK=∴∠ECK=∠K，∴EK=EC，∵EK=AE+AK=AE+AG=92∴EF=EK=92∴CF=9，故選D．【點睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質與判定，線段垂直平分線的性質與判定，全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理等等，熟知相關知識是解題的關鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·河南洛陽·期中）如圖，要建一個面積為130m2的倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻長16m），并在與墻平行的一邊開一道1m寬的門，現有能圍成32m【答案】1310【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，設倉庫的垂直于墻的一邊長為x，而與墻平行的一邊開一道1m寬的門，現有能圍成32m長的木板，那么平行于墻的一邊長為32?2x+1，而倉庫的面積為【詳解】解：設倉庫的垂直于墻的一邊長為x，依題意得(32?2x+1)x=130，2x(x?10)(2x?13)=0，∴x1=10或當x1=10時，當x2=6.5時，所以，倉庫的長和寬分別為13m，10m．故答案為：13，10．12．（3分）（24-25八年級·河南駐馬店·階段練習）如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設其長AD=80cm，高AB=60cm，水深AE=40cm．在水面EF上緊貼內壁的G處有一塊面包屑，且EG=60cm．一只螞蟻想從魚缸外的A點沿魚缸壁爬進魚缸內的G【答案】100【分析】本題考查平面展開?最短路徑問題，關鍵知道兩點之間線段最短，從而可找到路徑求出解．作出A關于BC的對稱點A′，連接A′G，與BC交于點Q，此時AQ+QG最短；A【詳解】解：如圖所示作出A關于BC的對稱點A′，連接A′G，與BC交于點Q則A'根據題意：BE=AB?AE=20cm，EG=60∴A'∴AQ+QG=A∴最短路線長為100cm故答案為：100．13．（3分）（2025八年級·安徽合肥·階段練習）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去．指的是如果代數式中分母有根號，那么通常將分子、分母同乘以分母的有理化因式，達到化去分母中根號的目的．如：11+2=1×2?12【答案】0【分析】本題主要考查了分母有理數化，完全平方公式，先將m進行化簡，再將要求的式子變形為m?12【詳解】解：m=∴m====2025?2025=0，故答案為：0．14．（3分）（24-25八年級·安徽六安·階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=43，M是AC的中點，N是AB上任意一點，以MN為對稱軸折疊△AMN，得到△DMN，點A的對應點為點D（點B，N，D在（1）當MD⊥AB時，∠ANM=；（2）當DN⊥AB時，BN的長為．【答案】120°5+3/【分析】本題考查了折疊的性質，勾股定理，直角三角形的性質：（1）當MD⊥AB時，由直角三角三角形的性質，求出∠AMN=60°，再根據折疊的性質可得∠AMN=∠NMD=30°，最后利用三角形內角和定理即可求解；（2）過點M作ME⊥AB于點E，根據折疊的性質可知∠ANM=∠MND=12×180°+90°=135°，證明ME=NE，利用直角三角形的性質求出AM=23，NE=ME=3，利用勾股定理求出AE=3【詳解】解：（1）∵MD⊥AB，∴∠ADM=90°，∵∠A=30°，∴∠AMN=90°?∠A=60°，由折疊的性質可得∠AMN=∠NMD=1∴∠ANM=180°?∠A?∠AMN=120°，故答案為：120°；（2）過點M作ME⊥AB于點E，∵DN⊥AB，∴∠AND=∠END=90°，根據折疊的性質可知∠ANM=∠MND=1∴∠MNE=45°，∴∠MNE=∠NME=45°，.∴ME=NE，∵M是AC的中點，AC=43∴AM=1∵∠A=30°，∴NE=ME=1∴AE=A∴AN=AE?NE=3?3∵∠C=90°,∠A=30°,AC=43∴AB=2BC，∴AB∴BC=4，∴AB=8，∴BN=AB?AN=8?3?故答案為：5+315．（3分）（24-25八年級·遼寧沈陽·期中）如圖，點C為直線l上的一個動點，AD⊥l于D點，BE⊥l于E點，點E在點D右側，并且點A、B在直線l同側，AD=DE=8，BE=2，當CD長為時，△ABC為直角三角形．【答案】6或4或13【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理．作BF⊥AD于F，根據矩形的性質得到BF=DE=8，DF=BE=2，根據勾股定理用CD表示出AC、BC，分類討論，根據勾股定理的逆定理列式計算，得到答案．【詳解】解：作BF⊥AD于F，則四邊形DEBF為矩形，∴BF=DE=8，DF=BE=2，∴AF=AD?DF=6，由勾股定理得，AB2ACBC當△ABC為直角三角形時，AB即100+64+CD解得，CD=6；同理可得：當∠ABC=90°時，由勾股定理得，ABACBC∴AC∴64+CD解得：CD=13當∠ACB=90°時，由AB2=A解得：CD=4，綜上：CD的長為：6或4或132故答案為：6或4或13216．（3分）（24-25八年級·安徽合肥·期中）如圖，長方形ABCD中，AB=5cm，AD=4cm，動點P從點D出發，沿DA向終點A以1cm/s的速度移動，動點Q從點A出發沿A?B?C向終點C以3cm/s的速度移動，如果P、Q分別從（1）若經過x秒，用x的代數式表示AP，則AP=cm；（2）經過秒時，以A、P、Q為頂點的三角形面積為2cm【答案】(4?x)6?2【分析】本題考查了一元二次方程的應用、一元一次方程的應用以及列代數式，解題的關鍵是：（1）根據各數量之間的關系，用含x的代數式表示出AP的長；（2）分0<x<53及53（1）利用AP的長=AD的長?點P的運動速度×運動時間，可用含x的代數式表示出AP的長；（2）當0<x<53時，AP=(4?x)cm，AQ=3xcm，根據以A、P、Q為頂點的三角形面積為2cm2，可列出關于x的一元二次方程，解之可得出x的值；當53≤x≤3時，AP=(4?x)cm，根據以A、P【詳解】解：（1）∵動點P從點D出發，沿DA向終點A以1cm/s∴經過x秒，DP=xcm∴AP=AD?DP=(4?x)cm故答案為：(4?x)；（2）4÷1=4(s)，5÷3=5當0<x<53時，AP=(4?x)cm∴12AP?AQ=2，即整理得：3x解得：x1=6?2當53≤x≤3時，∴12解得：x=16∴經過6?263秒時，以A、P、Q為頂點的三角形面積為故答案為：6?26第Ⅱ卷三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·江蘇揚州·期末）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根；(2)如果方程的兩個實數根為x1,x2x【答案】(1)證明見解析(2)?4，?2，0，2【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程等知識．（1）計算一元二次方程根的判別式Δ=1>0，即可得到無論m（2）利用公式法求出方程的解為x=m+1或x=m，根據x1>x2得到x1=m+1，把x1+3x1變形為1+3【詳解】（1）證明：∵a=1,b=?2m+1∴Δ=∴無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根；（2）解：x2∵Δ=∴方程都有兩個不相等的實數根，∴x=?b±∴x=m+1或x=m，∵x1∴x1∴x1∵x1∴3m+1∵m為整數，∴m+1=±1或m+1=±3，∴整數m所有可能的值為?4，?2，0，2．18．（6分）（24-25八年級·湖南邵陽·期末）閱讀下列解題過程：15(1)觀察上面解題過程，計算3(2)請直接寫出1n+(3)利用上面的解法，請化簡：1【答案】(1)10(2)1(3)9【分析】本題考查分母有理化，熟練掌握分母有理化，是解題的關鍵：（1）利用分母有理化進行求解即可；（2）利用分母有理化進行求解即可；（3）先進行分母有理化，再進行求解即可．【詳解】（1）解：原式=3（2）1n（3）原式=219．（6分）（24-25八年級·海南儋州·期末）如圖，某公園有一塊四邊形草坪ABCD，計劃修一條A到C的小路，經測量，∠D=90°，AD=14?m，DC=48?m，AB=40?m(1)求小路AC的長；(2)萌萌帶著小狗在草坪上玩耍，萌萌站在點B處，小狗從點B開始以2?m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到點A【答案】(1)50m(2)24秒【分析】本題考查了勾股定理與勾股逆定理，等面積法，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先運用勾股定理列式計算，即可作答．（2）先證明∠ABC=90°，再運用面積法，得出BH=24，根據勾股定理列式計算得出HC=B【詳解】（1）解：∵∠D=90°，AD=14m，DC=48∴在Rt△ADC中，AC=∴小路AC的長為50m；（2）解：如圖所示：過B作BH⊥AC，

依題意，當小狗在小路CA上奔跑，且跑到點H的位置時，小狗與萌萌的距離最近．∵AB=40m，CB=30m．∴AC即AC∴∠ABC=90°，則S△ABC即BH=AB×BC∴HC=∵小狗從點B開始以2m/s的速度在小路上沿B→C→A∴HC+BC=18+30=48m則48÷2=24∴當小狗在小路CA上奔跑時，小狗需要跑24秒與萌萌的距離最近．20．（8分）（24-25八年級·吉林長春·開學考試）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求找格點M．(1)在圖①中，連結AM、BM、CM，使AM=BM=CM；(2)在圖②中，連結BM、CM，使∠BMC+∠BAC=180°；(3)在圖③中，連結BM，使∠CBM+∠BAC=90°．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據網格在圖①中，作AC，BC的垂直平分線交于點M，即可使AM=BM=CM；（2）根據網格在圖②中，找到格點M，連結BM、CM，根據平行線的性質和四邊形內角和定理可得∠BMC+∠BAC=180°；（3）根據網格在圖③中，連結BM，根據平行線的性質和等腰直角三角形的性質即可得∠CBM+∠BAC=90°．【詳解】（1）解：如圖①，點M即為所求；∵點M在AC，BC的垂直平分線上，∴AM=BM=CM；（2）如圖②，點M或點M'由網格可知：BM∥∴∠BMC+∠ACM=180°由網格可知：∠BAM+∠AMC=90°，∠BMA=∠MAC+∠BCA=45°，∴∠BMC+∠BAC=∠BMA+∠AMC+∠MAC+∠BAM=45°+45°+90°=180°；∴∠BMC+∠BAC=180°；（3）如圖③，點M即為所求；由網格可知：BC∥∴∠CBM=∠NMB，由網格可知：AB=AM，∠BAM=90°，∠DAC=45°，∴∠BMA=45°，∴∠CBM=∠NMB=∠BMA?∠AMN=45°?∠AMN=45°?∠BAD，∴∠CBM+∠BAC=45°?∠BAD+∠BAD+45°=90°．【點睛】本題是三角形綜合題，考查線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質，平行線的性質，四邊形內角和定理，等腰直角三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握等腰直角三角形的判定與性質．21．（8分）（24-25八年級·福建泉州·期中）如果關于x的一元二次方程x2+bx+c=0a≠0有兩個實數根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如一元二次方程x2+x=0的兩個根是x(1)已知關于x的方程x2?m?1x?m=0（(2)若關于x的方程ax2+bx+1=0（a,b是常數，且a>0）是“鄰根方程”，令t=12a?【答案】(1)m=0或m=?2(2)16【分析】（1）先利用公式法解出一元二次方程的兩個根，再根據兩個根的差是1，即可得到結果；（2）根據“鄰根方程”的定義和韋達定理即可列出a與b的關系式，再由t=12a?b2可列出t與本題考查一元二次方程的解，讀懂題意、理解“鄰根方程”，掌握利用完全平方式確定最大值、最小值等知識點是解決本題的關鍵．【詳解】（1）解：∵關于x的方程x2∴解方程可得：x1=m，∴x∴m1=0∴m=0或m=?2；（2）∵關于x的方程ax2+bx+1=0（a,b設兩個根分別為x1∴x由韋達定理：x1+x∴x∴b此時Δ=b∴t=12a?b∴當a=4時，t有最大值，最大值為16．答：t的最大值為16．22．（10分）（24-25八年級·安徽滁州·期中）任意一個無理數介于兩個整數之間，我們定義，若無理數T:m<T<n，（其中m為滿足不等式的最大整數，n為滿足不等式的最小整數），則稱無理數T的“行知區間”為m,n，如1<2<2，所以2的行知區間為(1)無理數17的“行知區間”是________；(2)若a=b?3+3?b(3)實數x，y，n滿足2x+3y?n+3x+4y?2n=【答案】(1)4,5(2)?3,?2(3)6,7【分析】本題考查無理數的估算，二次根式有意義的條件，非負性．熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．（1）夾逼法求出19的取值范圍，即可得出結果；（2）根據二次根式有意義的條件，得到b=?7，進一步求出b（3）根據二次根式有意義的條件，結合算術平方根的非負性，得到2x+3y=n,3x+4y=2n，x+y=41，求出x,y,n的值，進而求出n的“行知區間”即可．【詳解】（1）解：∵16<∴4<19即：無理數19的“行知區間”是4,5；故答案為：4,5；（2）解：∵a=∴b?3≥0,3?b≥0，∴b=3，∴a=?7∵4<∴2<7∴?3<?7∴a的“行知區間”為?3,?2；（3）∵2x+3y?n+∴x+y?41≥0,41?x?y≥0，∴x+y=41，∴2x+3y?n+∴2x+3y?n=0,3x+4y?2n=0，聯立：x+y=412x+3y?n=03x+4y?2n=0，解得：∴n的算術平方根為41，∵36<∴6<41∴n的算術平方根的“行知區間”為6,7．23．（10分）（24-25八年級·上海嘉定·期中）上海市公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔9月份到11月份的銷量，該品牌頭盔9月份銷售500個，11月份銷售720個，9月份到11月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進價為40元/個，商家經過調查統計，當售價為50元/個時，月銷售量為500個，若在此基礎上售價每上漲2元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到9000元，且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔每個售價應定為多少錢？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為20(2)該品牌頭盔每個售價應定為60元【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是根據等量關系列出方程．（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據該品牌頭盔10月份銷售50個，12月份銷售72個列出方程求解即可；（2）設該品牌頭盔每個售價為y元，根據利潤=（售價?進價）×銷售量列出方程求解即可．【詳解】（1）解；設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得：500解得x1答：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%（2）解：設該品牌頭盔每個售價為y元，依題意，得：y?40500?10×整理，得y解得y因為盡可能讓顧客得到實惠，所以y=130不合題意，舍去．所以y=60．答：該品牌頭盔每個售價應定為60元．24．（12分）（24-25八年級·江蘇揚州·期中）如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，過點C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點F，直線BE交直線CD于G點．

(1)設∠BCD=m°，則∠AEC=______°（用含m的代數式表示），并證明：∠AEB=45°；(2)猜想線段AF、EF、AC之間的數量關系，并給出證明．(3)若AC=13，BE=10，求△ACF的面積．【答案】(1)45?m，證明見解析(2)2AC(3)42【分析】（1）利用翻折的性質得BC=EC，則∠CBE=∠BEC，從而求得∠BEC=90°?m°，再根據AC=BC，得到AC=EC，則∠CAE=∠AEC，從而求得∠AEC=45°?m°，最后由∠AEB=∠BEC?∠AEC可得出結論．（2）連接BF，先由等腰直角三角形的性質與勾股定理求得AB=2AC，再由折疊性質，得BF=EF，由（1）知，∠AEB=45°，求得（3）過點C作CH⊥AF于H，由翻折性質得FG=GE=5，利用勾股定理可求得EF=2GE=52，CG=CE2?GE2=132?【詳解】（1）解：∵線段BC沿直線CD翻折得線段CE，∴∠ECD=∠BCD=m°，BC=EC，∴∠BCE=2∠BCD=2m°，∵AC=BC，∴AC=EC，∴∠CAE=∠AEC，∴∠AEC====45?m故答案為：45?m；證明：∵線段BC沿直線CD翻折得線段CE，∴BC=EC，∴∠CBE=∠BEC，∴∠BEC=1∵∠AEB=∠BEC?∠AEC，∴∠AEB=90°?m°?45?m即∠AEB=45°．（2）解：2A證明：連接BF，如圖，

∵∠ACB=90°，AC=BC，∴AB=2由翻折知，BF=EF，由（1）知，∠AEB=45°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴∠EFB=90°，∴∠AFB=90°，∴AB∴2AC∴2AC（3）解：過點C作CH⊥AF于H，如圖，

由翻折知，GE=BG=12BE=∴∠EGF=90°，由（1）知：∠BEF=45°，∴∠GFE=∠BEF=45°，∴FG=GE=5，∴EF=2∵CE=BC=AC=13，∴CG=C∴CF=CG?FG=12?5=7，∵CH⊥AF，∴∠CHF=90°，∵∠HFC=∠GFE=45°，∴∠HCF=∠HFC=45°，∴CH=HF，由勾股定理，得CH∴2CH∴CH=7由（2）知：2AC∴2×13∴AF=122∴S△ACF【點睛】本題考查翻折的性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理，三角形內角和定理，三角形的面積等知識．熟練掌握翻折的性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質，是解題的關鍵．25．（12分）（24-25八年級·重慶九龍坡