...wd...歸結(jié)不定積分的求解方法目錄TOC\o"1-3"\u摘要IAbstractII1引言12不定積分的求解方法12.1根本公式法12.2分項積分法、因式分解法22.3“湊〞微分法〔第一類換元積分法〕32.4第二類換元積分法42.5分部積分法42.6有理函數(shù)的積分53各種方法所對應(yīng)的題型53.1根本公式法53.2分項積分法、因式分解法63.3“湊〞微分法〔第一類換元積分法〕73.4第二類換元積分法83.5分部積分法83.6有理函數(shù)的積分94解決不定積分的一般步驟10摘要：不定積分的求解方法在本科階段可以歸為六大類：根本公式法、分項積分法+因式分解法、“湊〞微分法〔第一類換元積分法〕、第二類換元積分法、分部積分法、有理函數(shù)的積分法。當(dāng)我們看到所求不定積分已經(jīng)對應(yīng)了公式表中的某一條時，我們便用“公式法〞求解。但實(shí)際問題一般較為復(fù)雜，所以我們都需將原題通過其他方法進(jìn)展變換，使其滿足公式再計算。“分項積分法+因式分解法〞通過把多項式分解成單項式求積分，但結(jié)合三角恒等式，我們可以將高次三角函數(shù)降冪，化成容易積分的形式。當(dāng)被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時，我們多考慮換元積分法。“第一類換元積分法〞通過為復(fù)合函數(shù)的中間變量“湊微分〞到達(dá)解題目的。“第二類換元積分法〞多用于當(dāng)?shù)谝活悷o法實(shí)行時，但“第二類換元積分法〞的換元形式比照不容易看出來，真正做到靈活運(yùn)用需要累積許多經(jīng)歷。當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)中任意兩個的乘積時，我們多考慮用“分部積分法〞。“分部積分法〞有著明顯特征，并十分容易上手，是一種很好的解題方法。而“有理函數(shù)的積分法〞與“第二類換元積分法〞一樣，沒有特別固定的套路，多憑借經(jīng)歷和靈活運(yùn)用。所以一般拿到題目可先考慮用別的方法。在拿到不定積分的題目時，我們要分析題目屬于上述六種解題類型的哪一類。排除掉不可能的類型，再在可能的類型中進(jìn)展進(jìn)一步篩選，直到留下兩種或兩種以下的解題方法后，再進(jìn)展嘗試。假設(shè)用某種方法解題時，無論假設(shè)何解都解不出答案，那么可先檢查自己有沒有運(yùn)算的錯誤，或者是否選錯了方法。總之，不定積分雖然有很多題型，但是解題的方法離不開上述六種，只要掌握了上述六種任何不定積分都不再是難題！關(guān)鍵詞：不定積分；根本公式法；換元積分法；分部積分法；有理函數(shù)的積分法1引言函數(shù)在區(qū)間上的全體原函數(shù)稱為在上的不定積分，記作(1.1)其中稱為積分號，為被積表達(dá)式，為積分變量。假設(shè)是的某一個原函數(shù)，則不定積分可記為(1.2)其中為任意常數(shù)。定積分的思想在古代就已萌芽，但是17世紀(jì)下半葉之前，有關(guān)定積分的完整理論還未形成。直到牛頓--萊布尼茨公式建設(shè)以后，計算問題得以解決，定積分才迅速建設(shè)開展起來，并對數(shù)學(xué)的進(jìn)程做出了巨大的奉獻(xiàn)。在初學(xué)定積分時，學(xué)生容易有困難，所以先引進(jìn)求導(dǎo)的逆運(yùn)算——求不定積分，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了方便，拓展了學(xué)生的思維。20世紀(jì)以來，隨著大量的邊緣科學(xué)諸如電磁流體力學(xué)、化學(xué)流體力學(xué)、動力氣象學(xué)、海洋動力學(xué)、地下水動力學(xué)等等的產(chǎn)生和開展，相繼出現(xiàn)各種各樣的微分方程，通過不定積分我們得出這些問題的解，從而處理各種科學(xué)問題，促進(jìn)社會開展。所以不定積分的求解不僅是學(xué)校對我們的要求，也是適應(yīng)社會開展的學(xué)習(xí)趨勢。不定積分是一元微積分中非常重要的內(nèi)容之一，是積分學(xué)中最根本的問題之一，又是求定積分的根基，結(jié)實(shí)掌握不定積分的理論和運(yùn)算方法，可以使學(xué)生進(jìn)一步穩(wěn)固所學(xué)的導(dǎo)數(shù)和微分學(xué)及其它相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，掌握好不定積分的方法是非常重要的。現(xiàn)下學(xué)生們解決不定積分的題目普遍覺得困難，即便最后解決了題目，可能也走了許多彎路，最后假設(shè)能從“彎路〞中總結(jié)不定積分的求解方法，那么那些“彎路〞都是有價值的，但是假設(shè)只求結(jié)題，事后不總結(jié)，那么就是在浪費(fèi)時間，也逐漸減少了學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情。本文針對一些常見的函數(shù)不定積分的方法進(jìn)展歸納，希望能提供一種簡便的有效途徑使得大學(xué)生具備解決不定積分題目的便捷能力和根本素質(zhì)。2不定積分的求解方法常見的不定積分求解方法有根本公式法、分項積分法、因式分解法、“湊〞微分法〔第一類換元積分法〕、第二類換元積分法、分部積分法、有理函數(shù)的積分法等。2.1根本公式法我們將一些常見函數(shù)的積分歸納成一個積分公式表，如下：〔是常數(shù)〕，〔〕，，；，，，，，，，，，，，；〔〕，〔〕，，，，。2.2分項積分法、因式分解法分項積分法和因式分解法是基于不定積分兩大性質(zhì)而得。根據(jù)不定積分的定義，可以推得它有如下兩個性質(zhì)：性質(zhì)1設(shè)函數(shù)及的原函數(shù)存在，則(2.2.1)性質(zhì)2設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，為非零常數(shù)，則(2.2.2)利用不定積分的這兩個性質(zhì)，可以將復(fù)雜積分分解為幾項，通過求出每一項的不定積分到達(dá)解題的效果。如：2.3“湊〞微分法〔第一類換元積分法〕如果函數(shù)可以化為的形式，那么有(2.3.1)其中是的原函數(shù)。這種第一類換元積分法即通過變量代換，將積分化為積分進(jìn)展計算。假設(shè)復(fù)合函數(shù)中間變量的微分顯然存在于被積函數(shù)中，如的被積函數(shù)中，“〞是一個復(fù)合函數(shù)，“〞恰好是中間變量“〞的微分，那么就有假設(shè)復(fù)合函數(shù)中間變量的微分并沒有存在于被積函數(shù)中，但可以添加，我們就可以通過“湊〞微分的方式進(jìn)展換元積分。如中間變量的微分為，但并沒有作為因式存在于被積函數(shù)中，這時我們可以乘進(jìn)一個，再通過乘以一個的方法求解：第一類換元積分法又叫做“湊〞微分法的原因?yàn)槭牵覀兛偸窃诮忸}過程中，為被積復(fù)合函數(shù)的中間變量湊一個微分，從而到達(dá)換元解題的目的。2.4第二類換元積分法將積分中的適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換為，則有(2.4.1)其中師的原函數(shù)。這公式的成立是需要一定條件的。首先，有原函數(shù)；其次，求出后必須用的反函數(shù)代回去，為了保證這反函數(shù)存在而且是可導(dǎo)的，我們假定直接函效在的某一個區(qū)間〔這區(qū)間和所考慮的的積分區(qū)間相對應(yīng)〕上是單調(diào)的、可導(dǎo)的，并且。第二類換元積分法與第一類不同的是，我們換的元通常沒有那么明顯的邏輯性，換元的選擇需要憑借個人的經(jīng)歷。例2.4：求解：令，，則2.5分部積分法分部積分法是一種經(jīng)常用到的積分法。設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么(2.5.1)例2.5：求。解：〔將看作，看作〕2.6有理函數(shù)的積分利用多項式的除法，總可以將一個假分式化成一個多項式與一個真分式之和的形式，例如對子真分式，如果分母可分解為兩個多頂式的乘積且與沒有公因式，那么它可分拆成兩個真分式之和如果多項式還可再分拆成更簡單的局局部式，就按上述方法繼續(xù)分。最后，有理函數(shù)的分解式中只出現(xiàn)多項式、、等三類函數(shù)〔這里，為小于次的多項式，為小于次的多項式〕，根據(jù)(2.2.1)和(2.2.2)，多項式的積分可容易求得。3各種方法所對應(yīng)的題型3.1根本公式法當(dāng)我們看到所求不定積分已經(jīng)對應(yīng)了公式表中的某一條〔如可以化成用公式〔〕求解，可以用公式求解〕，此時我們便用公式法求解。在實(shí)際問題中，一般并不如此簡單，都需將原題通過其他方法進(jìn)展變換，從而滿足公式表再計算。例3.1：求。解：3.2分項積分法、因式分解法這一方法通過把多項式分解成單項式求積分，如將分解成為。不過這一方法的更高價值在于對帶有三角函數(shù)的積分求解，借助三角恒等式，可以將高次三角函數(shù)降冪，化成容易積分的形式。所以我們在碰到兩個因式相乘除、高次三角函數(shù)積分時，就要考慮用這種方法。例3.2.1：求。解：例3.2.2：求。解：先利用三角恒等式化成表中所列類型的積分，然后再逐項求積分：一般的，對于〔、〕型函數(shù)，總可利用三角恒等式：，化成cos2x的多項式，進(jìn)而得出積分結(jié)果。3.3“湊〞微分法〔第一類換元積分法〕當(dāng)被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時，首先考慮這種方法，因?yàn)槲覀兛梢詾閺?fù)合函數(shù)的中間變量“湊微分〞到達(dá)解題目的。一般我們都是根據(jù)構(gòu)成被積函數(shù)的復(fù)合函數(shù)中的中間變量，“湊〞一個微分，從而到達(dá)解題的目的。下面介紹幾種常見的“湊〞微分題型：，，，，；，，，，，，，。上述幾個題型只是將比照常見的“湊〞微分題型進(jìn)展展現(xiàn)，不難看出這些題型都是中間變量的微分已經(jīng)存在于被積函數(shù)中的類型，但是有時也需進(jìn)展一定變形才能發(fā)現(xiàn)，如對于中間變量的微分未存在于題干中的題目，我們可以通過乘以因式。再除以因式的方法“湊〞出微分，如2.3中的。3.4第二類換元積分法在我們碰到被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)時，有很大一局部的中間變量的微分是無法用用第一類換元積分法“湊〞出來的，這時我們就要用第二類換元積分法。第二類換元積分法的換元形式十分多變，真正做到靈活運(yùn)用需要累積許多經(jīng)歷。當(dāng)我們碰到下面這些情況時，要先想到用第二類換元積分法：當(dāng)被積函數(shù)中含有時，令；當(dāng)被積函數(shù)中含有時，令；當(dāng)被積函數(shù)中含有時，令。〔注意：當(dāng)進(jìn)展完三角函數(shù)換元后，通常要畫一個如例2.4般的三角形，方便將“元〞換回來〕當(dāng)被積函數(shù)中含有無理函數(shù)時，轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)，如令。第二類換元積分法相較于第一類換元積分法用到較少，只要找準(zhǔn)代換關(guān)系，題目便會迎刃而解。例3.4.1：求。解：被積函數(shù)中出現(xiàn)了兩個根式及。為了能同時消去這兩個根式，可以令。于是，從而所求積分為3.5分部積分法當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)中任意兩個的乘積時，首先考慮用分部積分法。選擇、時要注意，要使相對于較為好求。下面對常見的、選擇進(jìn)展呈現(xiàn)：、、、、上述關(guān)系可以理解為，在選擇時的考慮順序?yàn)椋簩?gt;反三>冪>三>指。例3.5.1：求。解：設(shè)，，那么3.6有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分與第二類換元積分法一樣，沒有固定的套路，多憑借經(jīng)歷和靈活運(yùn)用。一般來說，這種方法較前5種用到的比照少，所以拿到題目可先考慮用別的方法。雖然如此，但是還是有些特別類型的題目需要用到這種方法，當(dāng)遇到類似下面的題目時，即用有理函數(shù)的積分方法。例3.6.1：求。解：被積函數(shù)的分母分解成，故可設(shè)其中、為待定系數(shù)。上式兩端去分母后，得即比照上式兩端同次冪的系數(shù)，即有從而解得于是例3.6.2：求。解：被積函數(shù)分母的兩個因式與有公因式，故需再分解成。設(shè)則即有解得于是4解決不定積分的一般步驟在拿到不定積分的題目時，我們要分析題目屬于上述六種解題類型的哪一類。排除掉不可能的類型，再在可能的類型中進(jìn)展進(jìn)一步篩選，直到留下兩種或兩種以下的解題方法后，再進(jìn)展嘗試。假設(shè)用某種方法解題時，無論假設(shè)何解都解不出答案，那么可先檢查自己有沒有運(yùn)算的錯誤，或者是否選錯了方法。直觀型