楚雄州春季學期高二年級第一次月考卷數學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊，選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章~第五章第2節.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.數列，，，，，…的一個通項公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由前5項的共同屬性寫出一個通項公式.【詳解】數列前5項均為分數，其分子是從1開始的正奇數，分母比對應分子多2，則第項的分子為，對應的分母為，所以.故選：B2.已知復數，則z在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先根據復數的除法運算求出復數，再根據復數的幾何意義即可得解.【詳解】，所以z在復平面內對應的點為，位于第二象限.故選：B.3.已知，，且，則向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據數量積的運算律求出，再根據向量夾角的計算公式即可得解.【詳解】由，得，所以，又，所以向量的夾角為.故選：B.4.已知函數，則（）A.729 B.81 C.27 D.3【答案】C【解析】【分析】由內向外，先計算，再算即可.【詳解】因為，所以.故選：C.5.已知數列的前項和為，若，則數列的通項公式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據和的關系求解即可.【詳解】由，當時，，當時，，滿足上式，所以.故選：B.6.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據復合函數的求導法則計算可得結果.【詳解】設，則，∴，即，∴.故選：D.7.已知橢圓的左、右焦點分別為，點為橢圓上一點，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據橢圓的定義及余弦定理可求得結果.【詳解】由橢圓方程知，，，，則，由橢圓的定義知，，又，所以，故選：A8.在數列中，，數列的前項和為，若，則數列的前項和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先并項求和得，則可得，再由裂項相消法求和可得答案.【詳解】因為，所以，所以數列的前項和.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某高校無人機興趣小組通過數學建模的方式測得了自主研發的無人機在關閉發動機的情況下自由垂直下降的距離（單位：m）與時間（單位：s）之間滿足函數關系，則（）A.在這段時間內的平均速度為10m/sB.在這段時間內的平均速度為12m/sC.在s時的瞬時速度為18m/sD.在s時的瞬時速度為16m/s【答案】BC【解析】【分析】應用平均速度計算判斷A，B，應用導函數計算瞬時速度判斷C，D.【詳解】在這段時間內的平均速度為m/s，故A錯誤，B正確；因為，所以，即在s時瞬時速度為18m/s，故C正確，D錯誤.故選:BC.10.已知正數滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】舉出反例即可判斷A；利用基本不等式即可判斷B；利用消元法結合基本不等式即可判斷C；根據基本不等式在“1”的整體代換即可判斷D.【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，由，得，當且僅當，即時等號成立，所以有，故B正確；對于C，由，得，又，則，由二次函數的性質可知，當時，有最小值，故C正確；對于D，，當且僅當，即時等號成立，故D正確.故選：BCD11.給出定義：若函數在上可導，即存在，且導函數在上也可導，則稱在上存在二階導函數，記．若在上恒成立，則稱在上是“下凸函數”．下列函數中在定義域上是“下凸函數”的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用導數運算法則計算導函數與二階導函數，根據題目所給定義可確定選項.【詳解】A.定義域為，，，故A正確.B.定義域為，，，故B正確.C.定義域為，，，故C正確.D.定義域為，，，當時，，故D錯誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在化學實驗課上，某實驗小組的8名同學利用微型天平測量某膽礬化合結晶物的質量，8名同學在測量后得到的數據（單位：克）分別為：56，64，72，76，88，67，76，80，則這組數據的第70百分位數是__________.【答案】76【解析】【分析】由百分位數的概念及運算公式求解即可.【詳解】將數據從小到大排列為，由于，所以這組數據的第70百分位數為76.故答案為：76.13.已知函數，則曲線在點處的切線方程為______________.【答案】【解析】【分析】直接求導代入得，再求出切點和斜率即可得到切線方程.【詳解】由題：，所以，，所以，所以，，，，所以切線方程為，即.故答案為：14.已知函數在區間內恰有3個零點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由三角恒等變換將函數化簡，再由正弦函數的圖像性質可得，代入計算，即可求解.【詳解】因為，當時，，由于函數在區間內恰有3個零點，則有，解得，所以的取值范圍是.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數列是首項為1的等差數列，數列是公比為3的等比數列，且．（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）將題干中的兩個方程含有的項都用基本量來表示，根據方程組可解得公差和首項，進而得通項公式；（2）根據分組求和的方法，結合等差數列前項和公式，等比數列前項和公式計算即可.【小問1詳解】由題意，設等差數列的公差為，因為，所以，解得，因此，，【小問2詳解】16.已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且的周長為．（1）求角B的大小；（2）已知，，求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理角化邊，然后再用余弦定理求解；（2）先求，再根據正弦定理求出，最后再代入面積公式即可.【小問1詳解】由題意得，由正弦定理得：，所以，所以，又所以.【小問2詳解】易知角為銳角，所以，，由正弦定理，所以.17.如圖，在直三棱柱中，為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線性質以及線面平行判定定理證明可得結論；（2）建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法計算可得結果.【小問1詳解】證明：設，連接，在直三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以是的中點，又為的中點，所以.又平面，平面，所以直線平面.小問2詳解】在直三棱柱中，平面，又，平面，所以，，又，所以以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：因為，，，所以，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，令1，得，，所以平面的一個法向量為，又，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知雙曲線：（，）的離心率是，焦距為6.（1）求的方程；（2）若直線：與相交于，兩點，且（為坐標原點），求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意求出、，即可求出，從而求出方程；（2）設，，聯立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，再根據數量積的坐標表示得到方程，代入，求出的值.【小問1詳解】因為雙曲線：（，）的離心率是，焦距為6，所以，，其中，解得，，所以.所以的方程為.【小問2詳解】設，，聯立方程消去得，因為直線：與相交于，兩點，所以，即且，由韋達定理得，，又，，所以，所以，將韋達定理代入上式，得，即，解得，滿足且.19.若數列滿足，則稱數列具有性質．（1）若數列具有性質，且，求的值；（2）若，求證：數列具有性質；（3）設各項都為正數的數列的前項和為，且，數列具有性質，其中，若，求正整數的最小值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）9【解析】【分析】（1）由，且數列具有性質，進而得出的值；（2）證明為常數，即可得出結論；（3）求出數列的通項公式，可得出，再求出數列的通項公式，利用，求正整數的取值范圍即可得解.【小問1詳解】由得，根據題意，數列具有性質，由，所以，故.【小問2詳解】，故(常數)故數列具有性質.【小問3詳